книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

ственно слева и справа равны:

*о+Д

В случае приближения слева математическое ожида­ ние тл, дисперсию Dn погрешности метода итераций можно определить следующим образом:

В случае приближения справа эти величины также соответственно равны:

Следовательно, среднеквадратическое значение сгм погрешности метода итераций можно рассчитать следую­ щим образом:

д;+ д0«+ «*

Ошибка метода итераций может быть уменьшена, если соответствующим образом корректировать величи­

160

и, следовательно,

(Тм= (е—Ас) / |/ 3.

2°. Вторая коррекция. Смысл второй коррекции за­ ключается в том, чтобы математическое ожидание кор­ ня Хо* совместить с истинным значением Хо:

g (x0***)=\/[s~ A c).

Таким образом, наименьшее значение среднеквадра­ тической ошибки метода итераций имеет место при вто­ рой коррекции вычисленного корня хо*.

Систематическая ошибка Ас метода итераций соиз­ мерима с величиной е:

Ас= е |/(х о ± е ) |,

то в случае второй коррекции желательно корректиро­ вать вычисленный корень путем алгебраического сложе­ ния с поправкой А:

д = (8 + Дс)/2 = s [ 1 + Г (х*0 s)]/2,

причем среднеквадратическое значение ошибки метода уменьшается в два раза по сравнению со случаем пер­ вой коррекции. ,.

Таким образом, в случае монотонных итераций среднеквадратические ошибки метода после коррекции уменьшаются.

Вслучае осциллирующих итераций (ошибка метода

вкаждом последующем приближении изменяет знак) систематическая ошибка Ас метода прилегает к точному значению корня х0 слева или справа и ее величина опре* деляется выражением

| Ас | = )Хо—/ (хо±е) | ,

Плотности распределения значений корня Хо* при тех же предположениях (см. монотонные итерации) име­ ют вид:

О — в остальных случаях.

т ~ х О*

Дисперсии ошибок метода в случае осциллирующих итераций определяются выражениями:

162

Все расчётные' соотношения выведены для случаев, когда

!/'(*) K V *

В противных случаях необходимо метод итераций проводить в соответствии с выражением

У (*«)

1- У (*i) О ,

причем величина значений среднеквадратических оши­ бок метода не изменится.

д) Метод Ньютона. Метод Ньютона (метод касатель­ ных) является разновидностью метода итераций при отыскании корней с помощью соотношений

X i+ l = Xi — f( X i) / f ' ( X i) .

При заданной допустимой погрешности е вычисления корня Хо метод Ньютона дает систематическую погреш­ ность Ас:

Л0=е—f(x0±e)/f'(xo±E).

В предположении, что вычисленное значение корня Хо* равномерно распределено в пределах x0±Ac^X o * ^ ^ х 0± е с плотностью g(%o*) распределения:

g(x0*) = 1/(е—Ас)

можно оценить ошибку метода Ам в соответствии с вы­ ражением Лм= |*о±Дс:+-*о*|, в котором случайной вели­ чиной является только Хо*.

Тогда справедливы соотношения:

тя = тп= х0± (е+Ас)/2; т[Дм]= + (е+Д с)/2.

Как и в методе итераций вторая коррекция дает

(Тм= (е—Ас)/2 ]/ 3,

причем величина поправки равна:

А ^ е[ 1 + П х 0*+е)]/2.

е) Квадратурные формулы. Вычисление определенно­ го интеграла

ь

t/= j f{x)dx

а

с помощью квадратурных формул дает абсолютную по­ грешность R n, которая определяется выражениями:

для .метода парабол (метода Симпсона), где п — число отрезков разбиения интервала [a, b], Mi, М%— макси­ мальные значения модуля соответственно второй и чет­ вертой производных подынтегральной функции на отрез­ ке [а, Ь].

Очевидно, что

§ 4.4. ОШИБКИ ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ В ЦИФРОВЫХ М АШ И НАХ

Инструментальная ошибка ЦВМ обусловлена, как уже об этом говорилось, конечной величиной разрядной сетки и необходимостью округления результатов некото­ рых элементарных операций. Ошибки округлений в про­ цессе вычислений накапливаются и могут существенно повлиять на точность результатов. Поэтому при выборе разрядной сетки ЦВМ на этапе проектирования в зави­ симости от требований к точности вычислений необходи­ мо прогнозировать либо максимальную величину инстру­ ментальной ошибки машины, либо ее среднеквадратиче­ ское значение.

Анализ ошибок округлений при выполнении элементар­ ных операций проводится ниже при следующих предпо­ ложениях:

—система счисления, принятая в проектируемой ЦВМ, позиционная с основанием |3;

—в ЦВМ с «плавающей запятой» числа, участвую­ щие в элементарных операциях, нормализованы;

•164

—в ЦВМ с «фиксированной запятой» числа, участ­ вующие в элементарных операциях, меньше единицы; переполнение разрядной сетки не допускается;

—округление результата элементарной операции вы­ полняется по правилу: в младший разряд числа, остаю­

щийся после округления, добавляется единица, если в старшем из отбрасываемых разрядов записана едини­ ца, либо нуль в противном случае.

разряда и равномерно распределена в пределах

—|3-”/ 2 ^ | 0< + р - п/2.

Плотность ее распределения имеет вид

£(so) = |3(n>.

Математическое ожидание ошибки округления может быть найдено в соответствии с выражением

Среднеквадратическое значение а [$0] ошибки округле­ ния определяется выражением

в[У = р-я/ 2 / ЗГ.

Собственно ошибка округления go рассматривалась безотносительно типа элементарной операции и способа представления чисел.

Анализ ошибок округления, возникающих при выпол­ нении конкретных типов элементарных операций, про­ водится ниже.

1. Операция сложения (вычитания). Ошибки округ­ ления при выполнении операции сложения могут воз­ никнуть, во-первых, при выравнивании порядков слага­ емых и, во-вторых, при нормализации результата, если произошло переполнение разрядной сетки мантиссы.

165

мающая значение большего или меньшего из них соот­ ветственно.

Ошибка округления при выравнивании порядков воз­ никает при сдвиге мантиссы меньшего слагаемого впра­ во на число разрядов, равное разности порядков слага­ емых. Поскольку округление происходит в п-м разряде сдвинутого числа, порядок которого равен порядку боль­ шего слагаемого, то можно записать

8,п=Е.Р{,,' Ч ‘ .

В случае равенства порядков слагаемых выравнива­ ния не происходит и ошибка округления равна нулю:

Ошибка округления при нормализации результата возникает только в случае переполнения разрядной сетки мантиссы. При этом мантисса результата сдвигается на один разряд вправо с одновременным увеличением по­ рядка результата на единицу. Поэтому можно записать

шую сторону до единицы младшего разряда целой части; в данном случае это есть целая часть модуля мантиссы суммы.

/, = /, = £ ( К |) = 0

и ошибка округления операции сложения (вычитания) равна нулю (в нуль обращается выражение, стоящее

вквадратных скобках).

2.Операция умножения. Обозначим:

Ьг — ошибка округления операции умножения; |Я |— модуль мантиссы произведения до нормализа­

ции.

Модуль мантиссы произведения в зависимости от значений мантисс сомножителей может изменяться в пре­ делах

Если в результате умножения модуль мантиссы про­ изведения примет значение из диапазона б), то это зна­ чит, что мантиссы произведения есть величина нормали-

167

зованная, и ошибка округления операции умножения в этом случае описывается выражением

8s = S„p,,+,\

Если же модуль мантиссы произведения примет зна­ чение из диапазона а), то это означает, что результат операции необходимо нормализовать путем сдвига ман­ тиссы на один разряд влево и уменьшения порядка ре­ зультата на единицу.

Выражение для ошибки округления примет вид

b2 = t0f +k~ \

если округление производится после нормализации ре­ зультата, и

б2= ^ 1+/а

в противном случае.

Общее выражение для ошибки округления в первом случае, когда округление производится после нормали­ зации, имеет вид

Действительно, если

р"1< ] Я1< 1 — 2р-та -}- р-£”, то

£ { ^ |Я |} = 0 и b2 = t0f +h.

Если же р"2 < | X| < р~1— j3-n, то

£{iog?Ui} = - - i И

Вероятности событий, заключающихся в том, что модуль мантиссы произведения примет в точности одно из значений, равных р '1 или ($~2, малы по сравнению с вероятностью попадания мантиссы в любой из этих диапазонов и неточностью выражения (4.7) можно пре­ небречь.

Если же округление мантиссы произведения выпол­ няется до нормализации результата (на практике так чаще всего и бывает), то общее выражение для ошибки округления операции умножения имеет вид

В цифровых машинах с фиксированной запятой ре­ зультаты операции умножения не нормализуются. Кром§

168

fOfo, для них справедливо выражение / 1 = 4 = 0 . Поэтому ошибка округления операции умножения для таких ма­ шин совпадает с величиной go-'

6 2 = go-

3. Операция деления. При делении мантисса частно­ го может оказаться нормализованной либо ненормализо­ ванной. В последнем случае происходит переполнение разрядной сетки, вследствие чего необходимо сдвинуть мантиссу частного на один разряд вправо, а его порядок увеличить на единицу.

В общем виде ошибку 6 3 округления, имеющую место при операции деления, можно записать так:

где v — частное; £ (jv )) — целая часть модуля частного. Для машин с фиксированной запятой справедливо

6з=£о,

поскольку выполняется соотношение

/i= /2= £ ( | v|)= 0 .

Выражения (4.6) — (4.9) позволяют оценить макси­ мальные значения ошибок округлений, возникающих в процессе выполнения элементарных операций:

для машин с плавающей запятой:

округлений элементарных операций являются функциями системы случайных величин, к которым относятся поряд­

ки Л, I? чисел, участвующих в операции, их сумма d ly

169