книги из ГПНТБ / Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ

Пусть масштабирование задачи выполнено. Тогда возможны три случая:

— максимальное значение модуля функции изобра­ жается двоичным числом, имеющим единицу в старшем разряде после запятой, а максимальное значение модуля аргумента [x;|max изображается двоичным числом, у -ко­ торого перед первой значащей цифрой имеется Rn нулей, расположенных после запятой;

— максимальное значение модуля функции ■пред­ ставляется двоичным числом, имеющим между первой значащей цифрой и запятой Рп нулей, а максимальное значение модуля аргумента есть двоичное число, имею­ щее единицу в старшем разряде после запятой;

— максимальные значения модулей функции и аргу­ мента представляются двоичными числами, у которых в старшем разряде после запятой имеются единицы.

Расчет разрядности операционного устройства ЦВМ для каждого из этих случаев приводится ниже.

1-й сл уч а й: Rn¥=0; Rn— 0 (рис. 4.1).

Пусть Т — цена младшего из R'0 разрядов в размер­ ности выходной величины. Тогда величина G„, показы-

Рис. 4.1.

вающая, на сколько двоичных позиций, отсчитываемых от разряда операционного устройства с ценой Т, отстоит разряд, содержащий в себе не более среднеквадрэтиче­ ского значения инструментальной ошибки, но и не менее половины этого значения, может быть подсчитана сле-

180

дующим образом:

Значение инструментальной ошибки в размерности выходной величины находится в соответствии с выраже­ нием

Величина Л?а1, определяющая, на сколько двоичных

позиций отстоит разряд операционного устройства с це­ ной Т от разряда операционного устройства с ценой младшего из R разрядов, подсчитывается как разность:

и в другом случаях общность рассуждений не наруша­ ется.

Для компенсации ошибок округлений требуется опре­ деленное количество разрядов операционного устройст­ ва. Так как среднеквадратическое значение инструмен­ тальной ошибки в единицах младшего разряда опера­ ционного устройства определяется соотношением

то накопившаяся в результате последовательных округ­ лений инструментальная ошибка требует для своего вы­ ражения

разрядов.

Младший разряд операционного устройства отстоит от позиции с ценой Т в сторону младших разрядов на величину S', которая подсчитывается как разность: S' = = S—G„. Поэтому число разрядов операционного уст­ ройства, которое обеспечивает заданную точность вы­ числений, определяется в соответствии с выражением

181

Если окажется, что (S— Gw) <С0, то должно соолюдаться равенство Roa—R'o- Такое положение возможно, если входные аргументы подаются в ЦВМ е завышенной точ­ ностью. В этих случаях целесообразно снижать точность представления входных аргументов до тех пределов, по-

Величина <3Иопределяется’следующим образом:

<2И= Е (log, зи) — Е (log, а) — Rg2,

В зависимости от значений величин ои, сг, R', Ro мо­ жет оказаться, что (?и^г0 или GH<0.

Если величина неотрицательна, то разряд опера­ ционного устройства, содержащий в себе не более сред­ неквадратического значения инструментальной ошибки, но и не менее половины этого значения, отстоит на GK разрядов от позиции с ценой Т в сторону старших раз­ рядов. В противном случае — в сторону младших раз­ рядов.

182

Количество разрядов S, необходимых для компенса­ ции инструментальной ошибки, определяется в соответ­

в себе не более среднеквадратического значения инстру­ ментальной ошибки, но и не менее половины этого зна­ чения

Таким образом, разрядность операционного устрой­ ства может быть подсчитана по формуле

тельной в зависимости от значений R0, R. В обоих слу­ чаях для определения величины GH справедливо выраже­ ние

G„>0 ведется в сторону старших разрядов, при GH< 0— в сторону младших разрядов.

Значения величин S и S' определяются в соответст­ вии с выражениями (4.13) и (4.15).

Количество разрядов операционного устройства, обес­ печивающего требуемую точность вычислений, подсчиты­ вается по формуле (4.14).

то расчет разрядной сетки для любого случая заключа­ ется в последовательном счете по формулам:

183

6)/?oa= JR*0 + S'.

Пример. Пусть требуется рассчитать разрядную сетку управляю­ щей ЦВМ с фиксированной запятой, предназначенной для выработки управляющих сигналов в соответствии с функцией одного аргумен­ та х вида

виями работы системы управления констант, причем ошибка числен­

гические значения трансформированной и инструментальной ошибок,

в предположении, что последняя подчиняется нормальному закону, определяется по формуле

184

6.S' = S — G„ = 3.

7.tfon = tf*o + S' = 20.

Таким образом, для обеспечения заданной точности при вычисле­ нии функции управления у операционное устройство машины должно иметь 22 разряда (с учетом двух знаковых). Запоминающие устрой­ ства, предназначенные для хранения исходных данных, промежу­ точных и окончательных результатов должны иметь с учетом знако­ вых соответственно 18, 22 и 15 разрядов.

В правильности расчета можно убедиться следующим образом. Выбор масштабных коэффициентов приводит к согласованию ма­ шинных переменных в пределах единой разрядной сетки, т. е.

а = < з / М у \ а х = а х / М х ,

где а, сх — соответственно машинные изображения математических величин о, ах.

Другими словами, зная значения а и ах, можно определить

количество двоичных позиций, разделяющих младшие разряды ис­ ходных данных и окончательных результатов, цена которых не пре-

росходит значения а и ах соответственно. Следовательно, имеет место соотношение

185

Числа, участвующие в элементарных операций,

(Ух—среднеквадратическое значение ошибки аргумента. Пределы изменения порядка могут быть определены

следующим образом:

lx max= Е (log2 Xmax) + 1, min— Е (log2-^min)

где Ixmax и /жпяп — величины порядков максимального и минимального значений аргумента соответственно.

Если порядки в ЦВМ представлены в абсолютных значениях, то разрядность устройства, предназначенного для приема и хранения порядков исходных чисел, опре­ деляется количеством разрядов Rix, необходимых для изображения максимально возможного по абсолютной величине порядка аргумента. Это число разрядов рас­ считывается по формуле

Rlx— E (log2 | lx| max) H~ 1 ,

где | lx |max — наибольшее значение модуля порядка ар­ гумента.

С учетом знакового разряда разрядность устройств, предназначенных для представления порядка, выбира­ ется на один разряд больше.

187

Так как в управляющих ЦВМ с плавающей запятой чаще всего не является обязательным выражение поряд­ ка в абсолютных значениях, то с целью сокращения раз­ рядностей устройств машины, а также для предотвраще­ ния действия над отрицательными порядками целесооб­ разно принять минимальное абсолютное значение поряд­ ка за нулевой «машинный» порядок. Тогда количество разрядов R'ix, необходимых для изображения порядка в относительных значениях, подсчитывается в соответст­ вии с выражением

R lx= E (log2 | lxmax Txmln | ) "T 1.

Пусть, например, пределы изменения порядка аргу­ мента следующие:

Тогда разрядность R'lx равна:

£(log2(65—50)) + 1= 5,

имашинные порядки будут отличаться от истинных на величину /жтШ = 50.

Для выражения порядков в абсолютных значениях потребовалось бы

Rix = E (log2 65) + 1=7

разрядов.

2. Определение числа разрядов, необходимых для представления управляющих сигналов на выходе ЦВМ.

Количество разрядов Rqy, необходимых для изображения нормализованной мантиссы выходной функции, подсчи­ тывается следующим образом:

Число разрядов Riy, необходимых для представления порядков в истинном виде на выходе ЦВМ, определяет­ ся по формуле

188

выходе ЦВМ рассчитывается в соответствии с выраже­ нием

R (V = £{l°g2| /ушах /утт|}+1,

где lymax и 1утш — соответственно значения максималь­ ного и минимального порядков функции управления.

3. Определение разрядности операционного устройст­ ва. Операционное устройство управляющей ЦВМ с пла­ вающей запятой в случае представления порядков в истинных значениях должно иметь для изображения последних Ri разрядов, которые могут быть определены соотношением

R i = E ( \ o g 2\l\ max) + 1»

где j / | m a x ~ наибольшее значение модуля порядка аргу­ мента, функции или промежуточных результатов.

Если ЦВМ оперирует с относительными порядками, то число разрядов R'i рассчитывается следующим обра­ зом:

R l= E (log2 1/шах йп1п| ) + 1,

где /Шах и /mm — соответственно максимальное и мини­ мальное значение порядков аргумента, функции или промежуточных результатов.

Для подсчета количества разрядов мантиссы опера­ ционного устройства по требуемой точности вычислений должна быть определена величина результирующей ин­ струментальной ошибки, возникающей при реализации функции управления.

Пусть среднеквадратическое значение ои инструмен­ тальной ошибки известно: аа=2~пС. Тогда эта ошибка не превысит U единиц младшего разряда:

U = 2"пС/2"п-2 1 :С/ Г

где /max— максимальный порядок нормализованных ре­ зультатов.

Поэтому число 5 разрядов мантиссы, необходимое для компенсации инструментальной ошибки, может быть рассчитано следующим образом:

S — E [log2 (С/2/fnax)] Ц -1.

Число разрядов S должно отсчитываться в сторону младших позиций от разряда, величина которого не пре­ вышает среднеквадратического значения инструменталь­ ной ошибки. В свою очередь, этот разряд отстоит от раз-

189