книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

Основные свойства целой рациональной функции

Теорема 1. (Безу). При

делении

многочлена

Рп(х) (гс^-1) на

разность х — с,

где с — произвольное

число,

получается

остаток,

равный значению

многочлена

при х =

с, т.

е. при

любом

с много­

член Рп (х) может быть представлен

в виде

Рп

(х) = (х-с)Рп_1

(х) +

Рп(с).

С л е д с т в и е .

Если

с — корень

многочлена

Рп(х),

т. е.

Рп

(с) — 0,

то

многочлен

делится

без остатка на

разность

х — с

Рп (х)={х-с)Рп_1

(X).

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий

многочлен сте­

пени

п >- 1

имеет

по крайней

мере

один

корень —

вещественный

или

комплексный.

С л е д с т в и е .

Всякий

многочлен

я-й

степени

разлагается

на

я

линейных

множителей

вида

х — с

и

множитель,

равный

коэффициенту

при

старшем члене

Рп(х)

= а0(х—с1)(х—с2)

. . .

(х—сп).

Здесь clt

Со, с3, .

. . , сп—

корни

многочлена.

В общем

случае

среди чисел сх,

с2, с3,

. . . , сп

могут быть равные. Обозначая через

сх,

с2,

. . . ,

ст

только различные корни многочлена

Рп (х),

можно

его

разложение

представить

в

виде

Рп

(х) = а0

( х ^ ф

{

х -

ф

. . . (x~cjm.

(5.2)

имеет /г одинаковых

корней с. Отсюда: всякий многочлен степени я

имеет ровно я корней (вещественных или комплексных).

Теорема 3. Если

многочлен

Рп

(х) с вещественными коэффициен­

тами имеет комплексный

корень g

+ hi, то сопряоюенное число g—hi

также является корнем

этого

многочлена.

С л е д с т в и е .

В

разложение многочлена с вещественными

ными.

Если g + hi — корень кратности 1г, то сопряженное число

g — hi

есть корень той же кратности.

что произведение

линейных

множителей

lx — (g+ hi)}

[х — (g—

hi) ] =

(x.— g)2 + h2 = x2 - 2gx +

+ (g2 +

h2)

представляет собой квадратный трехчлен вида х2

- j - рх -f- q с ве­

щественными коэффициентами р = — 2g,

q = g2

+ h2, то можно

сделать важный для дальнейшего вывод: всякий

многочлен сте­

пени

п с вещественными

коэффициентами

может

быть ' предста­

влен

в виде произведения

вещественных линейных

и квадратичных

{неразложимых

на линейные

вещественные множители)

множителей

Рп

(х) = а0(х-ф

( х - ф

• • • ( х - ф X

X ^

+

PiJt +

ft)'1

•••

(x* + psx

+ qs)'s.

Множители (х—сх)\

. . ., (х—cr)kr

соответствуют вещественным

корням

многочлена

clt

с2,

. . . , сг

кратности 1гг, /г2 ,

. . . , 1гп а

множители

( * 2 + Pi* + <7i)'1>

• • •>

(*2

+ Ps* + <7s)/s— s-парам

сопря­

женным

комплексным корням

кратности,

соответственно,

l l t

L

ls. При этом

lh + h+-

• • + kr + 2l1 + 2l2

+ .

~.-\-2ls-=n.

сократить.

Определение. Рациональные

дроби

А

.

Мх+

N

(х — а)" '

(x° +

px + q)k

'

где А, М, N,

а, р,

q — любые вещественные

числа,

k — любое на­

туральное

число

и

р2

— 4<7<0,

т.

е.

квадратичный

трехчлен,

х2'+

рх -\- q не имеет

вещественных

корней,

называются

простей­

шими

дробями

соответственно

первого

и второго вида.

Теорема

4.

Всякая

правильная

дробь

может быть представлена

в виде суммы

простейших

дробей,

так

что каждому

множителю

вида (х — с)'1

в разлоокении

знаменателя

отвечает сумма

/г простей­

ших

дробей

первого

типа

Ах

,

^ 2

I

_1

Ak

х — с

[х-су-

' ' "

(х — с)* '

и каждому множителю

вида (х2

+ рх

- j -

q)1 — сумма

из

I

простей­

ших

дробей

второго

типа

MyX +

N-t

M2x+N2

Mtx + Ni

x* +

px +

q

(x* +

px +

qy

' '.

(jfl + px +

p)'

'

причем такое

разложение

единственно.

Рп (х) = а0 [ х - ф

. . . {х—ф

(х2 + Plx +

qtfi...

Рп(х)

Х —

СХ

(X

— Cj)2

+ •

(X —

Cj)

J

£

I

_

i_

_i

i

|_

( x - c 2 ) 2

(x-c2)H

A™

+ . . . +(X-Crfr

+

X

— cr

M\l)x+N[l)

:

h • • • +

M^h+N^

4

—

1 )' 1

X2

+ PlX + ft

(х2 + р1 д: + ?

циентам многочлена Рт(х),

получают

п

уравнений 1-й степени

для определения п неизвестных коэффициентов.

Пример 1.

Разложить дробь

—

на простейшие.

( х + 1 ) 2

(ха

+

1)

Выписываем

разложение

с неопределенными

коэффициентами

Зх2 — х + 5 _

А

В

Сх + Р

(х+1)*(х*+1)~

х+1

~ ( х + 1 ) 2

х 2 +

1

Освобождаясь от знаменателей, получим равенство

Зх2 — х +

5 =

А

(х + 1) ( х 2 ' +

1) +

В (х2

+

1) +

(Сх +

D) {х +

I ) 2 . ' (*)

Приравнивая

теперь

коэффициенты

при

одинаковых

степенях

х слева

и справа,

получаем

систему

четырех

уравнении

с

четырьмя неизвестными:

_ х3

А + С =

О,

х 2

А + В + 2С + D = 3,

xi

Л +

С +

2D =

— 1,

х°

Л + В + £ >

=

5.

Решая

систему,

находим

Л =

1,

5 = — ,

С =

—1,

£> =

2

2

Таким

образом,

Зх2 — х + 5

=

1

9

1

1 2 х + 1

( х + 1 ) 2 ( х 2 + 1) ~ х + 1

2 ( х + I ) 2

2 х 2 + Г

вой части,

находим

сразу

откуда

2В

=

9,

В =

2± .

Полагая

х =

/., при

котором

обращаются в нуль первое 'и вто­

рое слагаемые,

получаем

2 — i =

(Ci

+ D) (i +

l ) 2 = — 2С + 2Di,

откуда

следует, что

— 2С = 2, 2D = — 1,

т. е.

С = — 1, D = — — .

2

Для

определения

коэффициента А положим х = 0; тогда полу­

чим

Так как

Л + В + D = 5.

В + D = 4,

то Л = 1.

Получили те же значения искомых

коэффициентов.

Этого и

следовало

ожидать,

так как, согласно

приведенной теореме, раз­

ложение

правильной

дроби на простейшие единственно.

Указан­

имеет только простые вещественные корни. В этом случае

разло­

жение имеет вид

——— =

1

(-•••-!

г • • • i

•

Рп (X) X — Сг

X — Cn

X — С/;

х — с„

Для

определения

коэффициента

Ак умножим это равенство на

х — ск

и в полученном

тождестве

положим х = ск; тогда

сразу

находим

Ak =

^

, (5.4)

( c k - c i ) <

• • • > ( c k - c k - i ) ( c k - c k + \ ) ' • • -

{ с , - ° п )

Пример 2. Разложить

дробь

3v + 1

—

и а простейшие.

— 1) (ж +

I) (JC — 2) (JC 3)

В данном случае знаменатель имеет только простые корни

сг = 1, с 2 = — 1, с3 = 2, с4 = — 3.

Применяя формулу (5.4),

находим

АГ-

3-1 + 1

1

2 ( - 1)4

А

3-(-1) + 1

_

1

2

( _ 2)( - 3) - 2

6 '

л

_. 3-2 + 1

7

Г\ ту

1-3-5.

.

15

АЛ

= -

3-(—3)+ 1

=

2

( _ 4 ) ( - 3 ) ( - 5 ) _

15

Таким образом, имеем

Зх + 1

1

1

1

1

,

(л— 1) (л.-+ 1) (х — 2) (х +

3)

_

2

х — 1

6

х + 1 ^

+ - ^

-

! -

+

^

—

U

15

х —2

15 х +

3

Пример

3. Разложить

дробь

-

на

простейшие.

(х +

4 ) ( х - 2 )

Замечая, что разность сомножителей знаменателя равна 6, можно вы­

полнить следующие

тождественные преобразования:

1

1

х +

4 — (х —2)

_

1

/

1

1 _ \ _

(х +

4) (х — 2)

_ 6

(х + 4) (х — 2)

~

6

[ х — 2

х + 4 /

_

1

1

1

1

~

6

х — 2

6

х +

4

'

интегралов от таких

функций.

Интегралы

простейших дробей первого типа вычисляются

просто:

при k =

1

J

х - a

J х ~ а

1

J ( х - a ) *

J {x — a)k

\ - k

(х-а)"'1

*2 -|- рх + q = [х + -££ + Ц ~ ^ = (х + -§-)* + а2

^через а обозначено положительное число

и сде-

лаем замену переменной по формуле

Тогда

получим:

г*

Mx

+

N

•dx = M

tdt

N—M-P-

dt

(*)

,

(x*(х

+

px

+

J (fl + aP)k- '

У J

(t

+

a

)k

q)k

у

22

2

2

2

Дальнейшие вычисления

выполняем раздельно

для

k = 1 и

k =

2,

3, . . .

При k — 1 (см. пр. 6

§

4.3)

?_M*±N_dx

=

м

С_Ш_

,

_р\

С

dt

J * 2 + P* + <7

J Р + а*

\

2 ]) t2

+ a2

=

| - l n ( f -

+

a2 )

2N — Мр

,

t

,

п

2а

arc tg

а

h С =

&

^

При k

= 2,

3, . . . первый интеграл в

правой части равенства

(*) вычисляется

просто:

1 р rf(/2

+ a2 ) _

1

l

•С.

(i2 +

а2 )*

2

1 —k

( / 2

_|_ a2)fe

(t2 + a 2 ) * - 1

г

С

dt

(t2 +

a2)k

dt

t2

+ a2 — t2

I (t2 + a2)*

* 1

dt =

(t2 + a2)k

1

I (t2

a7

*2 d/

+ a 2 ) * - 1

J;(/2 + a2 )* J

а*\

J

(<2 +

а2 )*,

Ко второму интегралу в правой части применим формулу ин­

тегрирования

по частям,

полагая

tdt

— dv,

t — U.

(t2

+

а2)''

Тогда

v =

1

— у — г , da — dt

2 ft — 1 (i2 +

a2)k-x

и,

следовательно,

С t2dt

_

1__1

t

.

1

С

dt

,)(/ 2 +

а 2 ) * _

2

ft

—1

(t2 + a2)k-]

2 (ft — 1) J

(^ - ba 2 )* - 1

Таким

образом

получаем

/ = _ L / 7

+ L

i

!

7

й

a 2

I

2 (A — I)

(<2 + а 2 ) * -

1

2 (ft— 1) * - i

или

/,=

!

—

+

2*~3

J. .

(/г =

2, 3, . . . ) •

* 2 a 2 ( f t - l )

( ^ 2 + a 2 ) ft - l 1

2 a 2 ( f t - l )

'

Полученная формула позволяет находить (без интегрирования)

интеграл 1к, если известно

выражение для интеграла с индексом

на

единицу

меньше

I k - \ -

Такого

типа формулы

называются р е -

к у р р е н т н ы м и.

В данном случае, зная что

г

С

dt

1

,

t

,

п

1л—

= — a r c t g

\-С,

находим

по рекуррентной

формуле

/ 2

= —

*2 + а2

arc tg

г-С.

2а2

2а3

а

Используя

полученное

выражение для / 2 , по той же формуле

находим

з =

а2

arc tg

С

4а2 (г"2

+

а 2 ) 2

8а* Г2 +

8а5

а

.

С

х3

- 1

- 2

dx.

Пример 1. Вычислить \

— '

J x*-x*

+

x - l

Подынтегральная .функция

представляет собой неправильную дробь,

- * 3 + 2 . = 1 + .

х * - х + 3

х3 — А 2 + А — 1

х3 — х 2 -J- х — 1

х а

— х + 3

_

А

Вх+С

( А - 1 ) ( х 2 + 1)

. V - ] А-2 +1

Освобождаясь

от знаменателей,

получаем

равенство для определения

коэффициентов А,

В, С

х2 — х +

3 = А (А-2

+

1) + (ВА- +

С ) (А- — 1).

Полагая

х =

1,

находим

2

Полагая

х =

i,

получаем

откуда

с

= — L

, в =

—-

2

2

Итак*

*3 +2

ds-ffi+J—!

L £ ± 2 b , =

А"3 — А 2 + X — 1

J \

2 А — 1

2 А 2 + 1 ]

= х + — In | л — 1 |

- 1 п ( х 2 + 1 )

— arctgx + C .

2

4

2

А 2

1

З А 2 + 2 — 2

1 /

2

2 + З А 2

3

2 + З А 2

3 V

2 + Зх2

Следовательно,

x*dx

I

f / ,

2

\ d x

= 1

г, Г

+ ЗА 2

3 J V

2 + З А 2 /

3 \

J 2 + З А 2

Для вычисления

полученного

интеграла сделаем замену переменной,

по формуле

2t\

З А 2

=

Полагая

получим

dx =

Таким образом,

Г

dx

JГ 2 +

Зх'

/

l

l

2 +

2^2

—

-

l

I

l / farcigt

+

C =

- L

y | a r c

t g j /

j x -

C .

Окончательно

I

x2

dx

1/ ¥arctgl/ д.- М - С.

J 2 + 3x2

Пример 3.

Вычислить

dx

х 2 ( х 2 —4)

Подынтегральная функция — правильная дробь. Разлагаем ее на про­

стейшие дроби

следующим

образом:

1

1

х 2 —(л-2

—4)

1

х 2 ( х 2

— 4)

4

х 2 ( х 2 —4)

4

\х

4

х 2

1 х +

2 — ( х —2)

1

1

I

1

J _ _ l _

4 (х + 2) (х — 2)

16 х - ^ 2

16 х + 2

4

х 2

Следовательно,

dx

1

1

1

dx

=

х 2 ( х 2

—4)

V 16

х —2

16

х +

2

4

х 2

:

_ L 1 п | * _ 2 | — — I п | * + 2 | + — — • С =

16

16

4

х

=

— I n х — 2

4х

С.

16

х + 2

Пример 4.

Вычислить

dx

Xs

— 1

Подынтегральная

функция — правильная

дробь.

Знаменатель

дроби

разлагается на

множители

х 3 — 1 = (х — 1) (х2 + х + 1).

Разлагая дробь

1

на простейшие,

получим

— 1

х 3

dx

_

1

dx

I

f

х + 2

• dx.

х" — 1~~ 3 J х — 1

3 JJ х*2 2 ++ хх- + :

Первый интеграл

в правой

части вычисляется

сразу:

dx

=

In |х — 1 I + С.