Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Объем такого цилиндра равен, как известно, произведению площади основания на высоту. Таким образом, приближенно объем слоя

Так как объем тела

п—1

v = 2 vk>

k=0

то приближенное значение этого объема будет

У~ 2 Q ( У Д**.

ft=0

Очевидно, погрешность приближения будет стремиться к нулю при безграничном увеличении числа секущих плоскостей и стрем

лении всех			расстояний				между
ними к нулю. Поэтому точное
значение		объема				равно	пре
делу	полученной					суммы	при
max	Axk	-> 0.		Но		эта	сумма
представляет				собой		интеграль
ную	сумму		для		функции		Q (х)
на промежутке				[а, Ь], и ее пре
дел	равен
			J Q (х)		dx.
Таким			а
		образом,
			ь				(7.6)
Рис. 79	V	—\		Q(x)dx.

Если, в частности, тело образовано вращением вокруг оси абс цисс криволинейной трапеции, ограниченной линией у = f (х) и

прямыми	х = а, х= Ь (а<^Ь)	(рис. 79),		то поперечные	сечения
плоскостями, . перпендикулярными оси			х,	суть круги	радиуса
\| / (х) \| с	площадью
	Q(x) = я	\|/2 (х)\|2 =	л/ 2	(*).

Следовательно, в соответствии с формулой (7.6), объем тела вращения

V=n$f*(x)dx. (7.7)

Очевидно, если дуга линии задана параметрическими уравне ниями х — ф (t), у = g (t) так, что при изменении параметра t от а до р переменная точка М (ф (t), g (t)) пробегает слева направо

160

всю

дугу,

то

объем

тела,

образованного

вращением дуги

вокруг

оси

х,

выразится

формулой

V = n J V ( 0 < P '

(t)dt.

(7.8)

Пример

Вычислить объем тела, образуемого

при вращении

эллипса

х2

— +

- 2 _ =

а 2

б 2

вокруг оси х (рис. 80)

\ .

\~~">

\ \

1 1

—'I V ,т

/—— 3

-ь

Рис.

Рис. 81

Из уравнения

эллипса

находим

и по

формуле

(7.7)

У =

я&2

а 2

dx =

—

яа&2 .

частности, при

а =

b получаем

из

вестную формулу для объема шара ра

диуса

а:

V =

—

яаз.

Пример

Найти,

объем

тела,

полу

2Жа X

чающегося

при вращении

синусоиды

= sin

х ( 0 < х < я ) ,

вокруг

оси

(рис.

81).

По формуле (7.7)

имеем

V =

я J

sin2 xdx =

я J • 1 — cos

dx = •

Пример 3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси х

одной арки

циклоиды (рис. 82)

x = a(t

— sin 0,

у =

а{\—

cos 0 (0 < t < 2я).

Заказ № 1 181

161

По	формуле	(7.8)		имеем
2л							2л
V=n \	а- (1 — cos О2 -а (1 — cos t)\dt =						па3 [ (1 — 3 cos t + 3 cos2 t — cos3 t)dt=
о
	2л		- 3 cos t -I- —			(1 +	cos 20 — (1 — sin21) cos t dt =
	= па3		- 3 cos t -I- —			(1 +	cos 20 — (1 — sin21) cos t dt =
	= па3			2
	о
	— па3	f	f —	4 cos t -f-			cos 2/ +	sin2	t cos t] dt =
		J	V 2			2			/
		о
		5			3		1	\	2л
		5	t — 4sint-'		3		1	\	t) = 5ла3 .
		—	t — 4sint-'			sin2/H		sin3	t) = 5ла3 .
		2			4		3	Л	о
									о

7.4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Впервом разделе (§ 2.16) было дано определение длины дуги кривой как предела длин вписанных в нее ломаных при стремле нии к нулю наибольшей стороны ломаной.

Там же было получено выражение для дифференциала длины дуги кривой, ограниченной фиксированной точкой А и переменной (текущей) точкой М.

Если плоская дуга АВ задана параметрическими	уравнениями
* = Ф(9. y = g(t) ( а < ^ < 6 ) ,	(7.9)

где функции ф (t) и g (t) имеют непрерывные производные, не обра щающиеся одновременно в нуль, то дифференциал длины дуги s (t) от точки А до переменной точки М (х, у)

ds=Ydxt-\-dyi

или

ds = y[ф' (t)]2 + [g' (t)fdt.

(7.10)

В частности, если уравнение дуги дано в виде

y = f{x) ( a < x < & ) ,

то

ds=}/

1+у'Чх.

(7.11)

Пользуясь указанными выражениями для дифференциала длины дуги, можно интегрированием соответствующих дифференциалов сразу получить формулы для длины дуги (исходя из второй схемы применения определенных интегралов).

Таким образом, если дуга задана параметрическими уравнениями (7.9) так, что при возрастании параметра t от а до 6 переменная

162

точка М (ср (t), g (t)) описывает всю дугу, то, пользуясь формулой (7.10), получаем

Р г	+ lg'{t)]2dt.	(7.12)
S = lVW{t)\2

Если же дуга задана уравнением в явном виде у — f (х), где

а^х^Ь,	то
	ь	l+yl2dx.
	S = J ] /	l+yl2dx.	(7.13)
Пример 1. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 82)
	х = a (t — sin t), у —ха (1 — cos i)		(Q<t<2n).

	Рис.	83		Рис.	84
По формуле (7.12)		имеем
2Я			2л				2я
К " •cos/)2 -bsin2 *fl7 =			2а J sin	•dt =	• 4а cos -		= 8а.
Пример 2.	Вычислить длину дуги параболы у —				х2	между точками
А и В с абсциссами 0 и 2 (рис. 83).
		2	_	.
По (7.13)	находим: S = jV 1 +		хЧх = У5	+ — In (2 +		Уъ)	•
		о		2

Из формулы (7.12) легко получить выражение для длины дуги, уравнение которой дано в полярной системе координат. Действи тельно, пусть дуга АВ дана уравнением в полярных координатах

Р = / Ч ф ) ( а < Ф < Р )

так, что точки А и В имеют полярные углы а и В соответственно (рис. 85). Рассматривая в этом случае формулы перехода от. по лярных координат к прямоугольным

х = р COS ф = / (ф) COS ф, у = р sin ф = / (ф) sin ф

163

как параметрические уравнения дуги АВ с параметром ср, можно воспользоваться формулой (7.12). Имеем

х' — р' cos ф — р sin ф, у'		=	р' sin ф 4- р cos ф,
откуда	*'а + У'2 = (Р')2		+ Р2 -
	*'а + У'2 = (Р')2		+ Р2 -
	Таким		образом,
Wa4Жа		S = ] К ( р ' ) 2 + Р % .			(7.14)
Wa4Жа			а
			а
	Пример 3. Найти длину			(рис. 85) пер
	вых двух витков спирали			Архимеда
Рис. 85			р = ш р ( а > 0 ) .
По формуле (7.14) имеем (см. пример 4 § 5.4)
4п	,	4л
S = J	] / а 2 4- a2<p2dcp =	a j	Vl + ф2 йф =
			т4л
- j - ф Vl + ф3 + ~ In (ф + Vl + Ф2)

	= а 2л V 1 4- 16л2	4- - j - 1п (4л 4- Vl 4- 16л2 )
Пример 4. Вычислить длину окружности радиуса /?. Так как для окруж
ности
	р =	R, р' =	О,
то по формуле (7.14) находим
	2я
	S = \|	ЯЛр =	2л/?.
	о
7.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пусть на плоскости дана дуга АВ,			уравнение которой у =	f{x^.
(у^-0).	Требуется вычислить	площадь Q поверхности,* получаю-'
щейся при вращении дуги вокруг оси х (рис. 86).
Будем решать эту задачу по второй схеме применения опреде
ленных	интегралов. Пусть s (х) и Q (х) соответственно длина			дуги

и площадь поверхности, соответствующие промежутку [а, х]. Дадим х приращение dx и найдем значение dQ (х).

Принимая выделенный элемент поверхности между плоскостями, перпендикулярными оси х и проходящими через точки х и х + dx, за боковую поверхность усеченного конуса с образующей, равной

* Так же как в отношении площади плоской фигуры исходим из интуи тивного представления о площади кривой поверхности. Строгое определение этого понятия можно найти, например, в книге Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц «Основы математического анализа», т. 2.

164

ds, и радиусами' оснований у и у + dy; найдем, что приращение функции Q (х)

AQ (х) fa 2к у + ( у + d y ) ds = 2nyds + ndyds

или, заменяя дифференциал дуги ds его выражением по формуле (7.11),

AQ (х) т 2пу У1 + у'2 dx + яУ 1 + y'Hxdy.

Отбрасывая второе слагаемое как величину бесконечно малую второго порядка (относительно dx), получаем главную часть при ращения функции Q (х) — линей

ную, относительно dx, т. е. диффе ренциал этой функции

й<2{х) =

2пуУ\+у'Чх.

х dxx+dx

Рис. 86

Рис. 87

Интегрируя полученное выражение в пределах от а до Ь, полу чим искомую формулу для площади поверхности, образованной вращением дуги АВ вокруг оси х

	<2 = 2П$УУ			1+у'Чх.			(7.15)
Ясно, что если дуга АВ		задана		параметрическими			уравнениями
х = Ф (0. У =	§ (0 т а к . ч т о	П Р И возрастании параметра					t от а до В
переменная точка М (ср (t),		g	(t))	описывает всю дугу, то площадь
поверхности,	образованной	вращением			дуги вокруг оси х, выра-
• зится формулой
	Q = 2nJ\g(x)\y		[ф' (t)?		+	[g'(t)fdt.	(7.16)
Пример. Вычислить площадь			поверхности			сферы радиуса R.
Эта поверхность образуется			при	вращении верхней полуокружности
		у-У	R*-— х2

165

вокруг оси х (рис. 87). Находим подынтегральную функцию в формуле (7.15)

У_	je» 1 /	1+	*" = R,
следовательно,	V		— х°~
следовательно,
Q =	2л	[ Яо\х- =	4яЯ3 .

-Л

7.6.ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАССЫ

В заключение рассмотрим простейшую механическую задачу на вычисление координат центра массы плоской линии и плоской фигуры.

Пусть вдоль линии АВ, длина которой равна S (рис. 88), непре

рывно распределена масса с постоянной					линейной плотностью р.*
Найдем координаты центра		массы.
Из механики известно, что координаты центра масс хп, уп								систе
мы п материальных точек Мг [xlt			у,), М2		(х.2, у2), . . . , Мп [хп, уп)
		с	массами			соответственно		тг,
		/722 > .		. , тп		выражаются форму-
		лами
				п
				У,	mkxk		ткУк
			х„ =				/;=1
			х„ =	V			Ять
				V	ГПк		Ять
				ft=l				(7.17)
								(7.17)
	Рис.		Пользуясь			этими	формулами,
	Рис.	найдем		приближенные			выражения
		найдем		приближенные			выражения
для	искомых координат. Предположим, что уравнение						линии АВ
дано	в параметрической форме:
	х = х (s), у = у (s),
где s — длина дуги линии от		точки		А	до	переменной		точки

М (х, у) (0<;s<;5) . Разобьем линию АВ на п частей при помощи

точек А1 (х{, у{), А2 [х2, у2) . . . , [xn_v уп_{), следующих друг за другом от точки А к точке В. Для удобства записи обозна


чим точки А и В и их координаты			через А0 (х0, у0), Ап (хп,			уп).
Длину	дуги AkAk+i	(k = 0, 1, . . . , п — 1) обозначим			через	Ask.
Если каждую часть дуги AkAk+v				масса которой	равна	pAsk,
считать	материальной точкой, расположенной в некоторой					точке
Mk fik,	т)й) кривой между точками Ak		и	то координаты центра

* Линейной плотностью называется масса, приходящаяся на единицу длины линии.

166

масс такой системы п материальных точек, в соответствии с форму лами (7.17), будут

	Л—1
	2	P&Sklk		2	^ A	S *
				ft:=0
	л—1			л—I
	2 P A s *			2	A	S *
	л—I			л—1		(7.18)
	л—I			л—1
	2 р Л ^ щ			2 iifeAsfc
Уп				fe=0
Уп	л—1		—	л — l
			—
	2	pAsfe		2
	fc=0

Величины x„ и y„ можно принять за приближенные значения координат искомого центра массы М (х, у). Погрешность такого приближения будет стремиться к нулю при безграничном измель чении линии АВ на части. Поэтому точные значения координат х и у равны соответствующим пределам х„ и уп при max Ask ->• О, т. е.

х=	ilim хп, у=	lim уп.
	max As^ —О	max As^ — О

Замечая, что числители дробей в выражениях (7.18) представ ляют собой интегральные суммы для функций х (s) и у (s) на про межутке [О, S ], а знаменатели

л - 1

2Asft = S,

А=0

получаем

s
J A; (S) ds		f г/ (s) ds
s	У-	(7.19)
s		s

Если линия АВ задана уравнением в явном виде

г/ = /(х) а < х < & ,

то, вспоминая, что

ds= y\+[y'(x)fdx

S=$Vl

+ [y' (x)]2 dx,

167

находим
_ а		$nx)Vl	+ V/'(x)?dx
_ а	У=а	a	(7-20)
	У=а	a	(7-20)
$У\+\У'	Wl 2 dx	]Y \ +	[y'(X)r-dx

Пример 1. Найти центр массы четверти окружности хг + г/2 = R2, х > 0, у>0 (рис. 89).

Вычисления выполняем по формулам (7.20). Имеем

У' =
V	R2	х-
Vi + [y']2 = V	R
Vi + [y']2 = V	R2	— х2

Ж	R
•к
Рис.	89				Рис.	90
К		R
xV\+[yTdx=		[	R x	dx=-	RVR-X		= R\
			R x
J .		J V R2 — x2
0		0				и
j уУТ+йп*		dx = j		y > - * »	. *	= /г».

o o

Таким образом, учитывая, что длина данной дуги окружности равна

, находим

2R	2R
	У — -

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную линией г/ — / ( * ) > • 0 (а <.*:•< 6), по площади которой непрерывно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью р*, и найдем координаты центра массы такой .трапеции (рис. 90). Для

* Поверхностной плотностью называется масса, приходящаяся на еди ницу площади фигуры.

168

этого разобьем трапецию на п мелких трапеций при помощи пря

мых	х = xv	х = ху	. . . ,	х = хп_х так, чтобы			а =	x0<*x{<i
<Ix2 <C • • •		= b,	и заменим каждую			трапецию,		построен
ную	на промежутке		[xk, Jef t + 1 ],		прямоугольником		с основанием,
равным длине		промежутка		xk+l	— xk = Axk,	и высотой; равной
ординате линии в средней точке промежутка						£ f e =		. Масса
этого прямоугольника, очевидно, равна р/						Axk.	Из	механики
известно, что центр массы				однородной прямоугольной				пластинки

находится в ее геометрическом центре. Поэтому центр массы каж дого прямоугольника находится в точке

Сосредоточим массу каждого прямоугольника в его центре массы и вычислим по формулам (7.17) координаты центра массы полученной системы материальных точек

	п—1
	Sp/(Ejk)6*AJfft-
	ft=0
Х * ~	п - 1
	2 Pf (Ss) А * *
	fc=0
n = i
ft=0
# n :	n—l
	2 P/(£ft)A*FT
	ft=0

n—l

2 6ftf(E*)A** fc=0

n—l
S H S f t )		A ^
fc=0		(7.21)
n — l		(7.21)
S	i " (Eft)]2 AXA
ft=0
	2 7	(S*) A ^
	ft=0

Величины JC„ и г/л можно принять за приближенные значения координат искомого центра массы М (х, у). Погрешность такого приближения будет стремиться к нулю при безграничном измель чении трапеции-на части. Поэтому точные значения координат х и у равны соответствующим пределам величин хп и уп при max Axk -> 0, т. е.

lim хп, у=	lim уп.
max ДхЬ 1- О	max Д*»,-- О

Замечая, что числители дробей в выражениях (7.21) представ ляют собой интегральные суммы для функций соответственно

xf(x) и -^-f*(x) на промежутке [а, Ь], а знаменатели — интеграль ную сумму для функции / (х) на том же промежутке, предел кото-

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ