Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

KQB,. .Таким образом, по определению

		Ь			п-1
		$f(x)dx=		lim	2	f(h)^xk.
		а	•	max Д£ - 0 fc=0		b
В символе		определенного интеграла				lf(x)dx:	f	(х) — подын-
						а
тегральная	функция,		/ (к) dx — подынтегральное				выражение, х —
переменная	интегрирования, а — нижний предел						интегрирования,
b — верхний		предел	интегрирования.			Промежуток		[а,	Ь] назы
вают п р о м е ж у т к о м				и н т е г р и р о в а н и я .
Если для функции f (х)				существует		интеграл по		промежутку
[а, Ъ], то	она называется			и н т е г р и р у е м о й ,				п о	э т о м у
п р о м е ж у т к у .							ь
							ь
З а м е ч а н и е .			В определении		интеграла		Jf(x)dx		сущест-
							а		и прак
венно, что а<СЬ; это условие ограничивает теоретические									и прак

тические возможности интегрального исчисления, в связи с чем понятие определенного интеграла обобщается на случаи Ь<^а и b = а.

Исходя из соображений теории интегрального исчисления и ее приложений, целесообразно ввести следующие определения:

если Ь < о , то

Ь	а
$f(x)dx=	— jf(x)dx;		(6.3)
a	b	,	.
если b = а, то
U{x)dx = Q.			(6.4)

Установим геометрический смысл определенного интеграла. Пусть на промежутке [a, b ] задана неотрицательная н е п р е р ы в н а я функция у = / (х) и пусть линия / (рис. 50) — график этой функции. Рассмотрим интегральную сумму

порожденную некоторым разбиением а = х 0 < х х < ; . . . <^хп = b промежутка [а, Ь] и некоторым выбором промежуточных точек Если через все точки xk провести вертикальные прямые, то, как видно из чертежа, криволинейная трапеция, ограниченная линией /, разобьется на п более мелких криволинейных трапеций. Из чертежа

видно также, что каждое слагаемое / (Hk) Axk		интегральной суммы
представляет	собой площадь прямоугольника	с	основанием Ахк
и высотой f	( U . Площадь этого прямоугольника		можно лринять

за приближенное значение площади соответствующей частичной криволинейной трапеции. Таким образом, интегральная сумма

*S- о 1/(6*) А**

120

для функции / (х), соответствующая данному разбиению проме жутка [а, Ь ] и данному выбору точек Ь,к, является приближенным значением площади криволинейной трапеции, ограниченной гра фиком функции f (х), и представляет собой сумму площадей прямо угольников, порожденных рассматриваемым разбиением. Точное значение площади криволинейной трапеции равно пределу интег ральной суммы при безграничном измельчении промежутка [а, Ь], т. е. определенному интегралу от этой функции.

Для того чтобы дать геометрическую интерпретацию интегралу от любой непрерывной функции, принимающей на промежутке [а, Ь] не только положительные, но и отрицательные значения, до-

РL	H i		MU
Ш	Ж		т
и а=х010 х, Ъ,х2	Ч	1кхы	хп=ь
	Рис.	50

статочно, как мы уже это делали раньше (рис. 48), площадям, огра-' ничейным графиком функции, приписывать знак, а именно: поло жительными считать площади, расположенные над осью х, а от рицательными — под ней. Тогда геометрический смысл определен ного интеграла можно сформулировать следующим образом: опре

деленный	интеграл от непрерывной	функции f (х) на		промеэюутке
[a, b ] численно равен алгебраической		сумме	площадей	криволинейных
• трапеций,	ограниченных графиком	этой	функции.

6.2.УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Так как определенный интеграл является пределом последова тельности интегральных сумм, то очевидно, что его существование зависит от структуры рассматриваемой функции. В этой связи не обходимо установить условия, при которых существует указанный предел.

Определение. Функция f (х) называется, кусочно-непрерывной на данном промежутке, если на этом промежутке она ограничена и имеет не больше чем конечное число точек разрыва.

121

Из определения следует, что кусочно-непрерывная функция может иметь разрывы только первого рода. Геометрически кусочнонепрерывная функция изображается линией, состоящей из конеч ного числа непрерывных участков.

iЛ

-1	о	/\| /г з	X
		1

/ •	1
	1
0	/'
-1	1
	1

Рис. 51

Рис. 52

Рассмотрим несколько примеров кусочно-непрерывных функций.

	' —х2 + 1	при	—1		х < 0 ,
1. f{x)	= . 2-х	при		0 ^ х < 1 ,
	л-2 —2х при			1 < х ^ 3 .
Эта функция (рис. 51) на			промежутке [— 1,31 кусочно-непре
рывная; она имеет две точки разрыва					первого рода: х =				0 и х =		1.
	У						[ х— 1		при	X = f = \ ,
	У			2.		/(*)=.	X—	1	при	X = f = \ ,
	JT			2.		/(*)=.	X—	1	при	Х =	1 .
	JT						о		при	Х =	1 .
	2			Эта функция (рис. 52) кусочно-
	1			Эта функция (рис. 52) кусочно-
				непрерывная			на	всей	оси;		она
	0		X	рода: х =		1.
	0

	2			3.	f(x)	=<	arc t g —		при	хфО.
	2			3.	f(x)	=<	1		при	х = 0.
	Рис. 53						1		при	х = 0.
	Рис. 53
Эта функция (рис. 53) кусочно-непрерывная на всей числовой
оси; она имеет одну точку разрыва первого рода: х								= 0.
Теорема (теорема существования определенного интеграла).
Всякая кусочно-непрерывная функция					на	конечном		замкнутом		про
межутке	интегрируема.
Эту теорему принимаем без доказательства.
С л е д с т в и е 1.		Всякая непрерывная на замкнутом								проме
жутке функция интегрируема			на этом промежутке. Действительно,

122

так как всякая непрерывная на замкнутом промежутке функция ограничена, то ее можно рассматривать как частный случай ку сочно-непрерывной функции на этом промежутке (без точек раз рыва).

С л е д с т в и е	2. Все элементарные	функции на	любом ко
нечном промежутке	их существования, а также все кусочно-непре-
, рывные функции,	состоящие из кусков	элементарных	функций,

на любом конечном промежутке их определения интегрируемы. Приведем простейшие примеры на вычисление определенного

интеграла, исходя из определения и теоремы		существования. Вы-
. числим, пользуясь определением определенного интеграла,			интеграл
от функции, постоянной	на промежутке [а,	ь	Cdx, где
		Ь], т. е. j
С — постоянная.		а
	случай, когда а<^Ь.
Рассмотрим сначала		Так как	подынтег

ральная функция постоянна на промежутке интегрирования, то ее

интегральная сумма ап		при любом разбиении промежутка и любом
выборе промежуточных		точек	равна
	п—1			п—1
	2	CAxk = C У,			Axk.
	U=0			й = 0
Но сумма длин всех частичных промежутков равна длине всего
промежутка [а,	Ь]
		2	&xk	= b — a,
		ft=0
следовательно,	все интегральные			суммы	(при любом значении п

и произвольном выборе промежуточных точек) имеют постоянное значение

оп = С{Ь—а).

Постоянная величина имеет предел и он равен самой постоян ной. Таким образом,

J Cdx = C(b—а).

Пусть теперь а^>Ь. В этом случае имеем

Ьа

\Cdx	= — $Cdx = —C (a — b) = C(b—a).
'а	Ь

При а = b очевидно равенство

\ Cdx = C(b — a).

Итак, при любом соотношении чисел а и b определенный ин теграл от постоянной на промежутке [а, Ь] существует и равен

123

произведению этой постоянной на разность между верхним и ниж ним пределами интегрирования. В частности, при С = О

\Ых-- = 0.

Впрочем, этот результат можно получить и непосредственно. Если подынтегральная функция на промежутке интегрирования тождественно равна нулю, то равны нулю все интегральные суммы, так как каждое слагаемое этих сумм равно нулю. Следовательно, равен нулю и предел интегральных сумм.

Вычислим теперь \xdx. В данном случае подынтегральная

функция непрерывна на промежутке [0, 1 ] (она непрерывна на всей

			числовой оси), следовательно, по тео
			реме существования,				интеграл			суще
			ствует.						'
			Так	как	предел		интегральных
			сумм не	зависит		ни	от	способа раз
			биения промежутка, ни от выбора
			промежуточных точек, то мы можем
			разбивать промежуток					и	выбирать
			промежуточные точки по своему ус
0			мотрению.
0	i	х	Разделим		промежуток				[0, 1 ] на п
	i	х	Разделим		промежуток				[0, 1 ] на п
	Рис. 54		равных частей длины Ад:= —							при по-
					1	2	'3			1
			мощи точек — , — , — ,							я
					я	л	л			я

и в качестве промежуточных точек возьмем, например, левые концы частичных промежутков. Соответствующая интегральная сумма будет равна

П 1 1 1 1 . 2 1 1	I я — 1 1
о_ = 0	b • • • +

= - ^ [ 0 + 1 + 2 + . . . + ( " - ! ) ] •

В скобках получили сумму натуральных чисел от 1 до п — 1, которая равна сумме членов арифметической прогрессии с раз ностью, равной 1:

1 + 2 +

+ ( „ _ l ) = £ ( 2 _ z i i .

Таким образом,

л — i

124

Переходя к пределу при п

со, получим

\ xdx — \im —

2п 2

Полученный результат с геометрической точки зрения очевиден. Криволинейная трапеция, ограниченная графиком подынтеграль ной функции.у = х, представляет собой прямоугольный треуголь ник (рис. 54) с катетами, равными единице. Площадь такого тре угольника равна -—.

6.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определенные интегралы обладают рядом свойств, которые ис

пользуются при их вычислении и в приложениях.

Свойство 1. (Линейность относительно подынтегральной функ

ции.)

Определенный

интеграл

от

линейной

комбинации

конечного

числа

функций,

интегрируемых

на

рассматриваемом

промежутке,

равен

линейной

комбинации интегралов

от

этих

функций,

т.

е.

.f [Cifi

(*) +

• • • + cjm(x)]dx

= c1$f1(x)dx

+ . . .

• • • +cm\fm{x)dx

(6.5)

или,

в более компактной

записи,

dx=

k=l

y,ck$fk(x)dx;

где

с1г . .

Рассмотрим сначала

случай,

когда

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a<ib.

Любая интегральная сумма для функции cjt

(х)

+ с 2 / 2

(х)

. . . + cmfm

(х)

может

быть, очевидно,

представлена

виде

суммы интегральных сумм для

слагаемых

2	[ci/i Ни) + tfa (У + . . . cjm	&)J Axk =
ft=0
n—l	n—l	n—l
= S ci/i (lk)	&xk+ 2 c2f2 (tk) Axk + . . .	+ 2 cjm(lk)	Axk.
fe=0 ft=0 ft=0

Вынося в каждой сумме, стоящей в правой части этого равенства, общий множитель слагаемых за знак суммы и переходя к пределу, получим требуемое равенство (6.5).

125

Пусть		теперь	a^>b.		Используя		доказанное,		будем последова
тельно	иметь
b	т				а т			in	а
I	2	ckfk (*) dx =		—J 2		C F T / F T (x) dx =		— 2 cft	J/A (*) dx- = -
a		fc=l			6	ft=l	fc=l		b
		in		j	a	\	m	b
		= 2	сЛ		—JfA	(x) dx	= 2	ck If* (x) dx.

З а м е ч а н и е . Из свойства линейности определенного ин теграла относительно подынтегральной функции следуют, в част ности, два практически важных правила, используемых при вы числении определенных интегралов.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определен ного интеграла. Если с — постоянная, то

ь	ь
$cf{x)dx	= c$f(x)dx.	(6.6)

аа

2.Интеграл от суммы конечного числа функций, интегрируемых по рассматриваемому промежутку, можно заменить суммой интег ралов от каждой функции в отдельности:

ь								ь
I	Ui (х) + /а (*)+•••			+ fn	Ш	dx = J h (*) dx +
a								a
	.	b				b
	+	J72 (x)dx+		. . . +$fnix)dx.							(6.7)
Свойство		a				a		промежутка			интегри
Свойство	2. (Аддитивность относительно							промежутка			интегри
рования.) Каковы бы ни были три числа а,							Ь, с, такие, что функция
f (х) интегрируема в		наибольшем		по длине			промежутке,				определяе
мом этими	числами,	имеет место			равенство
	]f(x)dx		= ]f{x)dx-Y\f{x)dx.								(6.8)
	а		а			с
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть		а<Се<С.Ь;				следовательно,
функция / (х) интегрируема в промежутке								[а,	Ь].	Пользуясь тем,
что предел	интегральных		сумм	не	зависит			от	способа		разбиения

промежутка, будем при составлении интегральных сумм для функ ции f (х) на промежутке [а, Ь \ точку с включать каждый раз в на бор точек деления. Тогда каждая такая интегральная сумма ра

зобьется на две, распространенные на промежутки				[а, с]	и	[с,	Ь],
Переходя	к пределу при max	Axk -> 0,	получим	равенство		(6.8).
Другие	возможные случаи	взаимного	расположения		точек		а,
Ь, с'легко приводятся к рассмотренному. Пусть, например,					а<СЬ<Сс

По доказанному

с	b	с
f f	(х) dx = j / (х) dx -f- J7 (x) dx,
a	a	b

126

отсюда

h(x)dx	= jf(x)dx~jf(x)dx		= jf(x)dx	+	^f(x)dx.
a	a	b	а		с

Свойство 3. (Оценка определенного интеграла.) Если т и М — наименьшее и наибольшее значения функции f (х) на промежутке [а, Ь] и а<^Ь, то

ь
m{b—a)^,\f{x)dx^CM(b	— a).	(6.9)
а
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как	при всех х из	промежутка
[а, Ь)

т< f ( х ) < М

ипри а<СЬ все Axk^Q, то для любой интегральной суммы для

функции / (Л:) будем иметь очевидные неравенства:

k=0		k=0		k=0
Но
п—1		п—1
2	mAxk	= m S	Axk	— m(b — a),
fe=0 fc=0
n— 1		n-l
2	MAxk	= M 2	Axk	= M (b — a),

поэтому для всех интегральных сумм получаем следующую оценку снизу и сверху:

		п-1
	т (Ь—а) <	2	/ (к) Д ^ Й	<	М	ф—а).
		к=0
Переходя теперь в этих неравенствах к пределу при max Axk									О,
получаем неравенства (6.9).
Свойство 4. (Теорема о среднем.) Если					функция		f (х)	непрерывна
на промежутке	[а, Ь], то между точками				а и b найдется по				край
ней мере одна	точка § такая,		что будет			иметь	место	равенство
	ь
	U(x)dx		= f(l)(b—a).					(6.10)
	а
Значение функции в точке § называется с р е д н и м								значением
функции на промежутке		[а,	Ь].	сначала а<Ь.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	сначала а<Ь.				Обозначим
через т и М наименьшее и			наибольшее значения функции f (х)
на промежутке	[а, Ь]. По предыдущему свойству имеем
		ь
	тф—а)	а	<cUi.x)dx^M(b—a),
		а

127

откуда после деления на Ь — а (Ь — а^>0) находим

m < — ]7 (х) dx < М|.

Ь — а а

Но функция, непрерывная на замкнутом промежутке, прини мает все промежуточные значения между своими наименьшими и наибольшими значениями. Следовательно, на промежутке {а, Ь] найдется по крайней мере одна точка, в которой функция f (х) при- ^ мет значение, равное

1г

Ь— а а

Обозначая эту точку буквой \, будем иметь

о — а а

откуда следует равенство (6.10).

Если

а^>Ь, то,

используя

доказанное,

будем

иметь

]f{x)

dx=

-]f(x)dx

= -f(l)

(a-b)=f(Z)

(b-a).

При

a =

b теорема

очевидна.

Теорема о среднем имеет наглядный геометрический смысл для

случая / (х) > 0

и а < 6

(рис.

55). Она говорит о том,

что для

вся

кой непрерывной функции на про

межутке

ее

интегрирования

най

дется по крайней мере одна точка £,

такая, что

площадь

криволинейной

трапеции,

ограниченной

графиком

функции,

будет

равна

площади

прямоугольника с основанием, рав

ным длине промежутка

интегриро-

- |

вания

высотой,

равной

орди-

^ х

нате

графика

функции

точке

£.

Рис

(Для

функции,

изображенной

на

рис.

55,

искомых

точек

три:

Свойство

Если а<СЬ и на промежутке

[а,

Ь] функция

(х)

одного знака

(/(х)!>0

или

/ ( х ) - < 0 ] ,

то

интеграл

— число

того

же

знака.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

/ (х)!>0,

то

все

интегральные

суммы

так

как

все

слагаемые

/ ( У Д х А > 0 .

128

Отсюда
Аналогично	проводится доказательство для случая f (х) < 0 .
Свойство 6.	Если а<С.Ъ и на	промежутке [a, b] f (х) < ! ф (л-'),
то	ь	ь
	ь	ь
	j - f (х) dx <	J" ф (х) dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя предыдущее свойство к функции / (х) — ср ( * ) < 0, получаем

J[f(*) — 4> (*)]<**< О,

откуда по свойству линейности определенного интеграла

ь	ь	ф (х) dx < 0.
\f (x)dx—J
Свойство 7. Если а<СЬ,	то
f (х) dx		<l\f{x)\dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Так как абсолютная величина суммы

не больше суммы абсолютных величин слагаемых, то для любой

интегральной суммы (все Axk	0) имеем
2	< S \| / ( £ * ) \| A * * -
Л = 0	fe=0
Переходя к пределу при max Axk		-»• 0, получим		требуемое не
равенство.
Свойство 8. Изменение значения		функции	f (х)	в	одной	или
в любом конечном числе точек промежутка			интегрирования			не
влияет ни на интегрируемость	функции, ни на значение				интеграла.

Это свойство, полезное для дальнейшего, принимаем без дока зательства.

. В заключение сделаем одно очевидное, но важное замечание: определенный интеграл не зависит от обозначения переменной ин

тегрирования, т. е.
ь	ь	ь
$f(x)dx	= Sf(t)dt	= $f(u)du.
а	а	а

Замечание следует непосредственно из определения определен ного интеграла как числа, являющегося пределом интегральных сумм для рассматриваемой функции на промежутке [а, Ь].

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ