Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

же	k	элементов	соединены		параллельно, то сила тока будет
———. Следовательно, сила тока						в цепи от всей			рассматриваемой
7 +	*
батареи		будет равна
		I, =	Е	=	Е	=	Ex	[[а = г
						4
		J_+R_			I^_j_JL		ax2 + R \		п
		у	х	п	1 X

Аргумент х этой функции принимает натуральные значения, причем х О г ; будем, однако, рассматривать функцию 1 = 1 (х) на интервале (0; /г). Находим производные

	Г(х) = Е	R ~ a	x 2	,	Г'(х)=2аЕ		(ах2~3^х	.
	V	(ax* +	R)*		К	1	(ax* +	R)»
Производная Г (х) существует, конечна во всех точках интер
вала (0; п) и обращается в нуль в единственной точке х=									- j - =
=	1 которая может принадлежать этому							интервалу.	Если
Д - < п ,	то точка	х=	j	/	"	- ^	принадлежит интервалу (0;

I " (х)<^0 в этой точке, в силу чего этой точке будет соответство вать максимум функции I (х), а так как это е д и н с т в е н н ы й экстремум функции в рассматриваемом интервале, то этот максимум будет и наибольшим значением тока / (х). Итак, в этом случае сила тока в цепи будет наибольшей, если

	Rn	п	л /	гп
	/
Обычно	вычисленные по этим формулам хну				будут	иррацио
нальными,	тогда как имеют	смысл	только	натуральные		числа х

и у. Поэтому при составлении батарей для х и у надо брать нату ральные значения., возможно более близкие к вычисленным ирра циональным.

Если сопротивление R внешней цепи настолько велико, что ~^>п, то найденное выше критическое значение х не будет при^

надлежать интервалу (0; п). На этом интервале / ' ( х ) > 0 , так что функция / (х) на интервале (0; п) будет возрастать. Следовательно, в этом случае сила тока / (л:) будет наибольшей при х = п, т. е. если все п элементов соединить последовательно.

.5.0 .

2.11. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВЫХ

Кривая, являющаяся графиком функции у = f (х) называется в ы п у к л о й на некотором промежутке (конечном или бесконеч ном), если она целиком лежит под касательной, проведенной к ней в любой точке этого промежутка (рис. 26, а). Кривая называется


в о г н у т о й		на некотором промежутке, если она целиком лежит
над	касательной,		проведенной	к ней в	любой точке промежутка
(рис. 26, б). Если			график функции у =		/ (х) на некотором проме
жутке выпуклый,			то Ay<C_dy,- а если вогнутый, то Ay~^>dy в лю
бой	точке х	рассматриваемого		промежутка и для произвольного
Ах	=j= 0, настолько малого по модулю, чтобы точка х + Ах не вы-

х+йх

•

х+Ах

Рис.

шла за пределы этого промежутка. Так как

Ау =

/ (л: +

Ах) —

— / (х), a dy = Ах f

(х), то приходим к определению: кривая,

яв

ляющаяся

графиком

функции

у — f'(x),

называется

выпуклой

на

некотором

промежутке,

если в любой

точке х этого промежутка

выполняется условие

f(x^Ax)~f(x)-Ax-f'(x)<0,

(2.20)

и вогнутой

на этом

промежутке,

если

в любой

его точке

f(x+Ax)^f{x)

— Ax-f(x)>>0,

(2.21)

где Ах Ф 0 — произвольная,

достаточно

малая по модулю

величина.

Теорема. Если функция

f (х)

дважды дифференцируема

на неко

тором

промежутке,

причем

на

этом

промеоюутке

f" (х)<;0,

то

график

функции на этом

промежутке выпуклый;

если же f"

(х)^>0,

то график

вогнутый.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х — некоторая точка рассмат риваемого промежутка, а Ах настолько мал по модулю, что точка х + Ах тоже принадлежит этому промежутку. Напишем формулу Тейлора при п = 2 (формула Тейлора 2-го порядка), положив х вместо а и х + Ах вместо х:

f(x+ Ах) = / (х) + Axf (х) + S^jL f" (с),

где точка с лежит между х и х

+ Ах. Отсюда следует, что если

на

рассматриваемом

промежутке

/" (д:)-<0,

то

/ (х +

Ах)—f

(х)

—

— Ах f

(л-)<0,

если же /" ( х ) > 0 ,

то / (х +

Ах) — / (х) —

Ах

X f ( х ) > 0 ,

что

и требовалось

доказать.

Пример

у — х3

—Ъх" +

область

определения

— вся

ось

Ох.

Имеем у"

6х

— 6 =

6 (х — 1). Отсюда у" <0

при х < 1 и у"

при х > 1,

следовательно,

на промежутке

(—оэ; 1)

график

функции

выпуклый,

на

промежутке

(1; +

оо) — вогнутый

(рис.

27).

Пример

— sin дс;

область

определе

ния — вся

ось

Ох.

Имеем

у"

— sin х

— у; отсюда у"

при у

г/" > 0

при

I/ < 0.

Следовательно

над осью

Ох

синусоида

хвыпукла, а под осью Ох — вогнута.

Про выпуклую кривую говорят; что она обращена выпуклостью вверх, а про вогнутую, что она обращена выпук лостью вниз.

2.12.ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА

ФУНКЦИИ

График функции y = f(x) может быть выпуклым или вогнутым не во всей области определения этой функции.

Область определения функции часто распадается на промежутки

выпуклости и промежутки вогнутости графика	функции (/	и / /
на рис. 28). Точки, отделяющие друг от друга	промежутки	вы
пуклости и вогнутости графика функции у = f (х) называются		т о ч

к а м и

п е р е г и б а

этой функции

У\

(или графика этой функции).

Из

определения

выпуклой и

вогнутой

кривой

следует,

что

если

х0

есть

точка перегиба функции, то выра

жение

' / (х) — / (х0) —

Axf

(х0),

где

Ах

= х — х0,

имеет различные

знаки

для любых

двух

точек

х,

достаточно близких к х0, но лежа

щих по разные стороны от точки

х0.

Таким образом, приходим к сле

дующему определению.

Определение. Точка

х0

называется точкой перегиба

функции

f (х), если для достаточно

малых по модулю Ах выражение

(х0 +

Ах)

— / (хд) — Axf

(х0)

меняет

свой знак одновременно

изме

нением

знака

Ах.

Геометрически

это

значит,

что

кривая лежит над касательной

с одной стороны от точки перегиба и под касательной — с другой

стороны	(рис. 28).
Теорема. Если		первая производная	f (х) функции	f (х)	имеет
в точке	х0 экстремум, то эта точка		является для	функции	f (х)
точкой	перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применив формулу конечных при ращений (2.6), получим

/ (х0 + Ах) — f (х0) — Ах•/' (х0) = Ах• /' (х0 +		0Ах) — Ах х
X f (х0) = Ах [f (х0 + 9Ах) —/' (х0 )).
	(о<е<1)
Если производная /'	(х) имеет в точке х0 экстремум, то		разность
/' (х0 + 6Ах) — /' (х0)	имеет для достаточно	малых по	модулю

Ах постоянный знак, в силу чего правая, а значит и левая часть предыдущего равенства, меняет свой знак с изменением знака Ах, что и требовалось доказать.

Если /' (х) имеет в точке х0 максимум, то при переходе через точку х„ производная от f (х), т. е. /" (х), изменяет знак с плюса на минус, поэтому до точки х0 кривая у = f (х) вогнута, а после этой точки выпукла. Следовательно, если /' (х) имеет в точке х0 макси мум, то при переходе через эту точку вогнутость сменяется выпук лостью. Аналогично, если f (х) имеет в точке х0 минимум, то при переходе через эту точку выпуклость сменяется вогнутостью.

Из этой теоремы и выводов § 2.7 как следствие вытекает, что точки перегиба графика функции у = / (х) надлежит искать среди критических точек производной /' (х), т. е. среди точек, в которых либо /" (х) = 0, либо /" (х) = со, либо /" (х) не существует, при чем в двух последних случаях предполагается непрерывность функ ции / (х) в соответствующей точке.

Заметим, что не в каждой критической точке производной f (х) функция / (х) имеет точку перегиба. Следствием соответствующих теорем об экстремумах функций являются следующие достаточные

условия

для точек

перегиба:

Л Пусть х0 будет критическая

точка производной

(х): а) если

в некоторой

окрестности

этой

точки

будет

(х) > 0

при

х < * о

и /" ( х ) < 0

при

х0 >-х0 , то

точка

х0

будет точкой

перегиба, в ко

торой

вогнутость

переходит

выпуклость;

б)

если

же

будет,

f" ( х ) < 0

при

х < х 0

и f" (х)

>»0

при

х > х 0 ,

то точка х0

будет

точкой

перегиба,

которой

выпуклость

переходит

вогнутость.

2. Пусть в некоторой окрестности

критической

точки х0 про

изводной

(х)

функция

f (х)

трижды

дифференцируема,

причем

третья

производная

функции

этой

окрестности

непрерывна.

Тогда в случае f" (х0)

< 0

имеем точку

перегиба,

в которой

вогну

тость

переходит

в выпуклость,

а в случае

(х0)

0 имеем

точку

перегиба,

в которой

выпуклость

переходит

вогнутость.

Пример 1. f (х) =

область

определения

функции — вся

ось Ох.

т/~~х;

Имеем:

\"l —

З у д : 2

9 у

ж5

Вторая производн-ая /" (х) нигде в нуль не обращается, а /" (0) = со. Получаем единственную критическую точку х = 0 производной /' (х). При

x <0

f" (х) >0, а при х >0

f," (х)

<0;

следовательно,

х = 0

будет

точкой

перегиба, в которой вогнутость

переходит в выпуклость, а так как

(0)

= 0 0 ,

то касательная в этой точке параллельна оси Оу (рис. 29).

Пример 2.

у =

х3

— Зх 2 +

1; область определения — вся ось Ох. Имеем

у" =

6х — 6,

у'" — 6.

Вторая

производная

определена

и конечна

на

всей

оси Ох, а потому из

уравнения

у" =

6 х — 6 =

0 находим

единственную

критическую точку х

= 1 производной у'.

Так как у'" =

6 > 0 везде,

в том

числе и в точке х =

1, то имеем в этой

точке

точку перегиба, в которой выпуклость пере

ходит в вогнутость

(рис. 27).

2.13.

ОТЫСКАНИЕ

АСИМПТОТ

ПЛОСКИХ

КРИВЫХ

Пусть

кривая

является

графиком

функции

у — f (х).

Может

случиться,

что

при х

-> +

со или

при

X ->

—

от

кривая

неограниченно

приближается

Р и с

- 29

к некоторой прямой у = kx + Ъ, назы-

ваемой

а с и м п т о т о й

данной

кри

вой (рис. 30). Если k ф 0, то асимптоту

будем

называть

н а к л о н н о й ;

если

же k =

будем

назы

вать

ее г о р и з о н т а л ь н о й .

Определение. Прямая

у — kx +

Ь называется

асимптотой

кри

вой у =

/ (х) при х

-> +

со (или при х

-у — со),

если

lim

[f(x)-kx—b]

= 0

(2.22)

(или,

соответственно, при х -> —

со) .

Рис. 30

Пусть кривая		У — f (х)		имеет асимптоту	у = kx + Ь при
х -> +	с о . Тогда	имеет	место	равенство (2.22),	разделив которое
на х,	получим		fix)
		lira	fix)	= 0,
		Х - +CXD
или		lim	f{x)	-k— lim — = 0,
		lim	f{x)	-k— lim — = 0,

х-*+оо

X-f + oo

откуда
		k=	lim		(2.23)	-
			*~+co	x
Из равенства (2.22) сразу следует, что
		Ь=	lim lf(x)	— kx}.	(2.24)
Таким	образом,	если кривая у		= f (х)	имеет асимптоту у	=
= kx + b при х -у		+ со, то справедливы равенства (2.23) и (2.2,4)
Обратно,	если существуют		конечные пределы (2.23) и (2.24),			то

из (2.24) сразу вытекает (2.22), т. е. следует наличие асимптоты.

Итак, для нахождения асимптоты				у =	kx +	b	кривой	г/	=
= / (х)	при х -> +	со находим	сначала	& по формуле (2.23),				най
денное	значение k	подставляем	в формулу		(2.24)	и	вычисляем		Ь.

Если по крайней мере один из пределов (2.23) и (2.24) бесконечен

или не существует, то кривая не имеет асимптоты

при х -* +

с о .

Для

асимптоты

при х.

— со проводятся

те же самые

рассужде

ния,

но при х

-> —

с о .

Пример

хе~х.

Находим

асимптоту

при

х - > +

со:

lim

I ^

lim

e~x

lim

[f (x)—

kx]—

lim

xe~x

= (со• 0) =

lim

X-'+CO

X-t+CO

.v->-+oo

* - > - + CO

следовательно,

график

данной

функции

имеет при

х —•> +

со

горизонталь

ную

асимптоту

0 (ось^Ох). Для

асимптоты

при

х-> —&о

находим

k =

lim

Лф-

lim

е~х

оо ,

Х-1-—ОО

оо

следовательно,

график функции при х - > —

со асимптоты

не имеет (рис.

16)

Пример 2.

у =

• Имеем

х — 1

fix)

• =

(

со

l lii m

& =

lim

' >

lim

—

Х ^ ± С О

Х - ± С О

СО

Л » - ±co;

= lim

[f(x)

—

kx\--

lim

• x\=

lim

—

.1.

Л"->-±О0

x-*±co

л--±оо

x—

Итак, при x -> + со и при х - > — со график имеет общую наклонную асимптоту у = х -f- 1.

Пусть теперь а — число. Может случиться, что при х -> а кри вая у = / (х) неограниченно приближается к прямой х — а (парал лельной оси Оу). Прямая х = а в этом случае тоже называется асимптотой (вертикальной) кривой у = / (х) (рис. 31). Итак, пря-

Рпс. 31

мая х = а называется вертикальной асимптотой кривой у = f (х), если выполняется одно из трех условий:

Пгп/(д:) =

оо,

Пт/ (х)

— с о ,

х-*а

х-ю

х<а

П т /

(х) =

со;

при этом во втором и третьем случаях поведение функции / (х)

со-

ответственно при х ?>а

и при x^La

может

быть

любым (функция

здесь может быть даже

вообще

не

определена). Из этого определения

следует,

что для

отыскания

верти

кальных

асимптот кривой y =

f(x)

надо

найти

точки

хх,

х2, . .

. ,

вблизи которых / (х) неограниченно

возрастает

по

модулю

(хотя

бы

с одной

стороны

от

соответствую

щей

точки). Тогда

прямые х =

хг,

х = х2,

• . •

будут

вертикаль

ными

асимптотами

кривой

(х).

Пример

Еще

раз

обратимся

к функции у ••

• При х =

{

X—

х = 1

Рис.

со, следовательно,

прямая

будет

вертикальной

асимптотой

этой

кривой. Взаимное расположение

кривой

и асимптоты

ясно из

следующего

дополнительного

исследования

(.рис,

32):

lim — х2

— со ,

lim

х2

- j -

со .

x - l

Х- 1 X

х<\

2.14.ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

ИПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ

Знание промежутков возрастания и убывания функции у = = f (х), промежутков выпуклости и вогнутости, точек экстремума и точек перегиба функции f (х), а также асимптот позволяет соста вить достаточно полное представление о характере поведения функ-' ции и построить ее график. Таким образом, для построения графика

функции у		= f (х) нужно провести следующее исследование:
	1 ) установить область определения функции:
	2) найти точки пересечения графика с осями координат и, если
это	возможно,		отметить какие-нибудь особенности этого графика,
не	связанные		с производными (например, симметрию);
	3) найти экстремумы функции и установить промежутки воз
растания и убывания функции;
	4 ) найти точки перегиба функции и' установить			промежутки
выпуклости		и	вогнутости графика;
	5) найти	асимптоты графика.
	Иногда для		уточнения вида графика целесообразно	вычислить

дополнительно еще несколько значений функции в «обыкновенных» точках.

Изложенную схему проиллюстрируем следующим примером:

Область определения — вся ось Ох, исключая точку х = 1. Точки пересечения графика с осями координат находим из усло вий: при х = 0 у = 0 (ось Оу пересекается в точке у = 0 ) , при у = 0 х = 0 (ось Ох пересекается в точке х = 0 ) . Далее находим

(л? — 1)2

(х3 — I)3

Производная у' существует и конечна везде в области определе ния функции, поэтому все критические точки функции находим из условия у' = 0, которое дает следующие две критические точки:

хх = 0, х2 =

4 . Если

х — точка,

принадлежащая

достаточно

малой окрестности

рассматриваемой критической

точки, то

z / ' i > 0

при х<С0 и у'<С0

при х > 0 , откуда хг

— 0

есть

точка

максимума

функции; ордината этого максимума уг

= f

(0) =

0 . При х =

х2

= 7 / 4 г / ' > 0 ,

в силу чего х2 =

у 4

будет точкой

минимума

функ

ции; ордината этого минимума

у2

= f (у 4 ] = • — • > / " 4 .

На

проме-

Вторая производная у" тоже существует и конечна во всех точ

ках области

определения

функции, а

потому из

условия

у"

у—

находим две

критические

точки:

хх

= 0

и*х3 — — -\/~2

первой

производной у'. Но точка хх = 0 является и критической точкой функции, и мы уже установили, что это точка максимума. Остается

только исследовать точку х3.	Если х — любая точка из достаточно
малой окрестности точки х3,	то	у"^>0	при х<< — У 2 и	г / " < 0
при х^> — уг2, откуда следует,		что х3	— — y^2 есть точка	пере

гиба, в которой вогнутость переходит в выпуклость; ордината этой

точки г/3	= /"(— ^"2J =	— у"2. Далее,		при		х < 1		г / " < 0 ,		а
при х > - 1	/ / " > 0 . Поэтому	на промежутке			( — с о ; — у			2 ]	график
		вогнутый,				на	промежутке
		(—1^2;			l) — выпуклый и					на
		промежутке ( 1 ; +						со) — снова
		вогнутый.
			Переходим к определению
		асимптот;				у =	со при		х =	1,
		в	силу		чего		прямая		х =	1.
		является вертикальной							асимп
		тотой		графика.			Далее
		k=	lim — =				lim	—		1;
				Ь—		lim (у—kx) =
	Рис. 33		=		п т			-X	•О,
					±оо \Х3 — 1

откуда следует, что прямая у = х является наклонной асимптотой графика функции при х + со и при х -> — со (рис. 33).

2.15. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Выше было определено понятие касательной к кривой. Теперь

определим понятие		нормали.
Определение. Нормалью			к плоской	кривой в точке М	называется
прямая,	проходящая	через	точку М	перпендикулярно	касательной
к кривой	в этой точке (рис. 34).

Пусть гладкая кривая задана уравнением у = f (х), а точка М имеет координаты (х0; у0). Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М равен значению у'0 производной у' в этой точке. Но тогда, в силу условия перпендикулярности двух прямых, уг ловой коэффициент нормали к кривой в точке М будет, равен —

У'О

(считаем, что у'0фОу Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей через точку М (х0; у0), имеет вид

У— Уо = k (х — х0), где /г — угловой коэффициент прямой. Сле довательно, для касательной к рассматриваемой кривой получаем уравнение

а для нормали

У—Уо =

Уо(х—хо

(2.25)

У—Уо'-

1-(х—х0).

(2.26)

Уо

Если кривая задана

неявным

уравнением

вида F (х,

у)

= О,

то производную у' находят по правилу дифференцирования

неяв

ной

функции.

Пример.

Написать

уравнение

касательной

нормали к

эллипсу

.Vs

Зу2 = 7

точке

М (2;

— 1).

Дифференцирование

дает

2х

- j -

$УУ' = 0.

откуда у' =

— ;

следовательно,

Уо = У \м

3 ( - 1 )

Рис.

Для касательной

получаем

уравнение у +

1 =

—

(х — 2)

или

2х—

— Зу — 7 =

0, для нормали

у +

1 =

— (х — 2) или Зх +

2у — 4 = 0 .

2.16. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Рассмотрим кривую АВ, начало которой

будем считать в точке

А,

а конец — в точке В,

и возьмем на ней ряд точек А = М0,

Мъ

Мй,

. . . , Мп—и Мп

= В,

следующих друг за другом

вдоль

кри

вой

(рис. 35). Соединив

последовательно

эти

точки

прямоли

нейными отрезками,

впишем

в дугу АВ ломаную линию,

длину

которой обозначим че

рез sn.

Для

различных

способов

выбора

точек

Мк

(k = 1, 2,

у п — 1 ) значения

величины s„

будут

различными.

Символом

max

| Mk-\Mk

обозначим

наибольшую

из

длин сторон ломаной

М0М1...

Мп-\Мп.

Если при

условии

max | Mk-\Mk

I .-s- 0 (при этом

Рис. 35

условии,

конечно,

п -> со)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ