книги из ГПНТБ / Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве

Хотя сама форма цилиндра выброса при таком подходе не определяется, выемку можно условно принять как внутреннюю область, ограниченную тон линией тока, которая в месте пере­ сечения с поверхностью грунта определяет край выемки. Полу­ чаемый таким образом цилиндр выброса будем называть услов­ ным, и, как вытекает из энергетических соображений, он будет меньше фактического.

Чтобы определить форму истинного цилиндра выброса, нуж­ но принять более серьезные ограничения и отказаться от рас­ смотрения всего грунта в целом как несжимаемой идеальной жидкости. Первоначальную постановку задачи определяет, как известно, параметр Л, характеризующий действие взрыва на движение среды. Обычно в качестве параметра П выбирают ли­ бо энергию взрыва Е0, либо импульс /0 , полученный средой при взрыве. Параметр Е0, как правило, выбирают тогда, когда взрыв считается сильным. Такой случай подробно рассмотрен акад. Л. И. Седовым.

В нашем случае гораздо удобнее рассматривать задачу в им­ пульсной постановке, поэтому представляет интерес следующий подход. Грунт рассматривается как идеальная несжимаемая жидкость только в области, близкой к заряду, при давлениях, больших некоторого критического значения, постоянного для каждой определенной среды.

Так как скорость распространения ударной волны значи­ тельно превышает скорость расширения цилиндра выброса, то

ществовании критического давления вводит некоторое критичес­ кое значение скорости ѵкх>—С, которое остается постоянным по величине вдоль границы воронки. Внутри этой области величи­ на скорости больше критической, и, следовательно, грунт явля­ ется идеальной несжимаемой жидкостью. Вне этой области сре­

да неподвижна и граница выемки является твердой стенкой. Таким образом, в импульсной постановке это означает, что

вводится один основной параметр — критическая скорость сколь­ жения С, которая является единственной физической констан­ той, характеризующей, в какой степени тот или иной грунт под­ вергается действию взрыва. При С->0 (идеальная несжимаемая жидкость) граница выемки уходит на бесконечность, а при С -> оо (очень прочные горные породы типа базальта или мра­ мора) поперечный размер условного цилиндра стремится к нулю.

Так как ускорения частиц грунта намного больше ускорения силы тяжести, то их весом можно пренебречь, следовательно, можно принять, что С мало зависит от плотности и определяет-

20

ся главным образом упругими свойствами среды. Можно было бы попытаться найти С из соображений теории подобия, однако это не входит в нашу задачу, и в дальнейшем критическая ско­ рость будет определяться чисто эмпирическим путем. Для точ­

ного определения ее нужны детальные экспериментальные дан­ ные по взрывам по поверхности полубесконечного грунта.

Рассмотрим в такой постановке плоскую задачу об образо­ вании цилиндра выброса при взрыве горизонтального цилиндри­ ческого заряда радиуса R, заложенного на глубину h от поверх­ ности грунта (рис. 6). В силу симметрии достаточно рассмот­ реть только правую половину картины, которую будем назы­ вать областью Д.

Требуется найти гармоническую в области Д функцию српри следующих граничных условиях.

На границе круга Г действует постоянное вдоль границы им­ пульсное давление, поэтому на этой границе значение потенциа­

На свободной поверхности давление Р, конечно, равно ат­ мосферному, поэтому импульсное давление равно нулю. Следо­ вательно,

На неизвестной границе области Д выполняются два условия. Первое условие

да л = 0(п — внешняя нормаль к границе области) (1.41)

21

утверждает, что вдоль границы Л скорость скольжения по­ стоянна и равна критической С (С — единичный вектор, направ­ ленный по касательной к границе выемки). Кроме того, извест­

y>h-\-R— вниз, а на поверхности цилиндра Г — радналыю. Вследствие симметрии картины взрыва относительно оси у огра­ ничимся рассмотрением только правой половины области Д.

или, выбирая на границе выемки константу, равную нулю, по­ лучим:

и комплексный потенциал

W(z) = ф + іяр.

Поэтому краевая задача формулируется следующим образом: найти границу неизвестной области Д, внутри которой опреде­ лена аналитическая функция W(z), граничные значения кото­ рой имеют следующий вид (черточка означает комплексную со­ пряженную величину):

22

Таким образом, задача сводится к отысканию некоторой ана­ литической в области Д функции, действительная и мнимая ча­ сти которой принимают на границе области заданные значения,

т.е. к смешанной краевой задаче.

В1937 г. М. В. Келдыш и Л. И. Седов [14] вывели форму­ лу, которая позволила эффективно решать смешанную краевую задачу для гармонических функций, благодаря чему она широ­ ко применяется в практических расчетах.

Смешанная задача решена М. В. Келдышем и Л. И. Седо­ вым только для односвязной области. Ограничимся случаем, когда область Д представляет собой верхнюю полуплоскость; к нему с помощью конформного отображения сводится, очевид­ но, случай произвольной односвязной области.

линдрического заряда, мы сталкиваемся с трудностью, заключа­ ющейся в том, что область Д (см. рис. 6) является двусвязноп. Поэтому она не может быть отображена на полуплоскость, а только на кольцо, которое также является двусвязной обла­ стью. Характер решения при этом существенно изменяется, и найти его весьма затруднительно, так как для этого необходи­

емся различными способами. Например, можно предложить ме­ тод варьирования формы заряда, когда форма заряда должна изменяться таким образом, чтобы возникающая при этом об­ ласть Д стала односвязной, а картина гидродинамического те­ чения не изменилась бы существенным образом. Легко видеть,

Гораздо более простые формулы, позволяющие быстро и опе­ ративно рассчитывать геометрические параметры цилиндра вы­ броса, дает метод условного цилиндра выброса, при котором используются элементы геометрического подобия и простейшие энергетические соображения.

Предположим, что изучается взрыв на поверхности грунта. Решить такую задачу можно, так как здесь применима формула Келдыша — Седова. В результате находим форму выемки и, в частности, ее край (точка В, см. рис. 6). Затем, считая грунт идеальной несжимаемой жидкостью, определяем условный ци-

линдр выброса и его край, находящийся на расстоянии —— от точки размещения заряда. Пользуясь энергетическими принцн-

ше единицы и приближенно (условно) не будет зависеть от фи­ зических свойств грунта, характеристики взрыва и формы за­ ряда.

23

В самом деле, при взрыве зарядов выброса в грунте основ­ ная часть энергии расходуется на выброс и только ничтожная ее доля — на деформацию и другие потерн. Если взрыв проис­ ходит на поверхности жидкости, то энергия распределяется та­ ким образом, что только часть ее расходуется на образование условного цилиндра, а остальная ее часть — на сообщение ки­ нетической энергии жидкости, находящейся за пределами ус­ ловной воронки. Поэтому всегда D'<CD и а > 1 .

Далее, очевидно, что в первом приближении D и D' обратно пропорциональны С и прямо пропорциональны энергии взрыва. Поэтому физическая характеристика грунта С и параметр, ха­ рактеризующий действие взрыва на грунт Р, выпадают из отно-

с координатами D, D'> R конформное отображение, при по­ мощи которого некоторая форма заряда сводится к стандарт­ ной, является тождественным и форма заряда влияет только на вид течения вблизи самого заряда, а ие на место расположения

края выемки. Поэтому отношение а = ~^г будет лишь незначи­ тельно зависеть от указанных выше характеристик. Строгое до­ казательство высказанного утверждения будет дано ниже, где в результате конкретных вычислений будет также найдена ве­

личина а.

Смысл величины а можно выяснить следующим образом. Пусть при взрыве на поверхности грунта и на поверхности не­ сжимаемой жидкости выделяется одно и то же количество энер­ гии Е0. Объем цилиндра выброса, рассчитанный на единицу дли­ ны в продольном направлении, будет в первом случае пропор­

которая расходуется на образование условной выемки по отно­ шению к полной энергии взрыва.

а — безразмерная величина, она должна зависеть только от без­ размерных параметров. Из имеющихся величин можно скомби­ нировать только три безразмерных параметра:

24

Последние две комбинации должны, очевидно, выпадать из от­ вета, так как мы выяснили, что а слабо зависит от формы за­ ряда, а потому параметр длины R, определяемый из геометрии заряда, не должен входить в а. Следовательно,

/ h

а = а —

U

Мы будем считать заряд мелкозаглубленным, т.е. k малым

Но даже и в тех случаях, когда H не намного превышает h, а не должна сильно меняться, так как по смыслу эта величи­ на— вялая функция от — . Фактически а есть универсальная

H

константа, которую мы и определим в дальнейшем, а сейчас предположим ее известной величиной. Тогда по формуле

мы пользуемся тем обстоятельством, что при незначительном заглублении форма выемки меняется мало, величина погруже­ ния h влияет только на размер цилиндра выброса (его край), что учитывается путем выбора эффективной величины поверх­ ностного заряда по поперечным размерам условного цилиндра выброса.

та и задача сводится к частному случаю, рассмотренному ра­

25

где Q — величина, комплексно сопряженная по отношению к

комплексному потенциалу Q=W.

В плоскости комплексного потенциала ÇÏ = u-\-iv область те­ чения занимает бесконечную вертикальную полосу шириной Im (рис. 7).

Будем искать в этой области

Л = Л Х « - %

77777777777?77777777777777777777Я7777777777777Ъ

Для функции /(Q) на границах полосы выполняются следу­ ющие граничные условия:

(рис. 8), и на положительной полуоси lmf(Q) — ~ , а на отри-

26

цательной I m / ( Q ) = 0 . Наконец, при помощи дробно-линейного преобразования переводим верхнюю полуплоскость снова в

приходим к следующей задаче: найти аналитическую в верхней полуплоскости функцию F[Q{'Q)] = Ф ( £ ) , действительная часть

В самом деле, мнимая часть искомой функции на действитель­

27

Интегрируя это выражение, получаем решение задачи в сле­ дующем виде:

откуда, переходя к размерным переменным, имеем:

Ф— arg 2 - f я = — arctg — H

т. е. течение представляет собой плоский вихрь с центром в на­ чале координат 0. Определяем поле скоростей:

Уяр(.ѵ2 + г/=) '

1+

Вчастности, на свободной поверхности скорости вылетаю­ щих частиц равны:dij яр

и координата точки В', являющейся краем условного цилиндра выброса, определяется из условия:

щих частиц и условный цилиндр выброса при расположении

28

также меняется по гиперболическому закону. Кинетическая энергия, заключенная в кольцевом слое толщиной dr, очевидно, равна:

dEr г = 2 шаг,

где р — плотность энергии.

Энергия, приходящаяся на полукруг радиуса г с центром в точке О, Е,- пропорциональна

и растет логарифмически, а плотность энергии убывает как

Рассмотрим случай, изображенный на рис. 2,6. Задача фор­ мулируется следующим образом. Требуется найти аналитиче­

Отделяя действительную и мнимую части и переходя к раз­ мерным переменным, получим потенциал поля скоростей гр и функцию тока ар:

29