книги / Математика. Дифференциальные уравнения
.pdf
4)(3x2 + 4y2 )dx +(8xy +ey )dy = 0
5)xy′+ y = y3
8.12. 1) 1− x2 dy − 1− y2 dx = 0
2)( x + 2 y)dx −(x −2 y)dy = 0
3)(2xy +3) y′= x
4)xex + y2 dx − 1x dy = 0
x
5)3xy′+5y =(4x −5) y4
8.13.1) x2dy −(2xy +3y)dx = 0
2)( y2 +3xy)dy − x2dx = 0
3)(еу + х) у′=1
4) |
1 + xy dx + |
1− xy dy = 0 |
|
x2 y |
xy2 |
5)y2 ln x = 2(xy′+ y)
8.14.1) y3dx +( xy −2)dy = 0
2)ydx =(2 xy − x)dy
3)(x2 + x) y +( y2 +1) y′= 0
4)(3x2 y + 2 y +3)dx +(x3 + 2x +3y2 )dy = 0
5)2( y′+ xy) =(1+ x)e−x y2
8.15.1) y′+ y cos x = y5 sin 2x
2)(3x2 − y2 ) y′= y
3)(2x −1) y′−2 y =1 −x24x
91
4)3ex tg y dx +(1−ex )cos2 ydy = 0
5)(2x3 +3y3 )dx +(x2 y + xy2 )dy = 0
8.16.1) y′sin x =3 − y′cos x + y
2)xy′− y =(x + y)ln x +x y
3)y′−1− xxy−1 = 0
4)(3x2 + 4 y2 )dx +(8xy +ey )dy = 0
5)(2xy + y )dy + 2 y2dx = 0
8.17.1) y′(2 y ln y + y − x) = y
2)y′cos x = lnxy
3) xy′+ 2 xy = y
4)2xcos2 ydx +(2 y − x2 sin 2 y)dy = 0
5)2( xy′+ y) = xy3
8.18.1) y′tg x = cos x + y
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
y |
+ y |
2 |
|
2 |
e |
y |
dy |
xye |
|
|
dx = x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)5 + y2 dx + 4(x2 y + y)dy = 0
4)8xy′−12 y = −(5x2 +3) y3
5)(sin 2x −2cos(x + y))dx −2cos(x + y)dy = 0
8.19.1) 20xdx −3ydy =3x2 ydy −5xy2dx
2)(3x2 −2xy) y′= x2 +3xy − y2
92
3) |
(xcos2 y − y2 ) y′= y cos2 y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
||
4) |
xy |
2 + |
|
|
|
dx |
+ |
x2 y − |
|
|
dy = 0 |
||
|
y |
2 |
y |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
2y′+ 2 y = xy2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
8.20. 1) x3 y2 y′+ x2 y3 =1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2) |
2 y |
2 |
dx |
+ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x +e |
|
dy = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)y′− xy arctg xy =1
4)y′sin x −(2 y +1)cos x = 0
5)(ex + y +sin y)dx +(ey + x + xcos y)dy = 0
8.21.1) ( xcos 2 y −3)dx − x2 sin 2 ydy = 0
2)y′x3 sin y − xy′+ 2 y = 0
3)dx +(2x +sin 2 y −2cos2 y)dy = 0
4)y(x2 + y2 )dx − x3dy = 0
5)y′(x2 −2) = 2xy
8.22.1) x ln x y′− y = 0
2)xy2dx + y(x2 + y2 )dy = 0
3) |
y cos2 y x′+ 2xcos2 y = 2 y x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
5x2 + |
x cos y |
− y2 sin y3 |
|
||
4) |
10xy |
− |
|
dx + |
|
|
|
dy = 0 |
|||
|
sin |
2 |
y |
||||||||
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|||
5) (1+ x2 ) y′+ 2xy =3x2
93
8.23. 1) |
|
1 |
|
x |
y′− y = x + |
x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
xy′− y(ln y −ln x) = 0 |
|||
3) ( xy + x ) y′− y = 0
4)( y2 + ysec2 x)dx +(2xy + tg x)dy = 0
5)y′+ 2xy = 2x3 y3
8.24.1) x + xy + y′( y + xy) = 0
|
|
1 |
|
3y2 |
|
2 y |
|
|||
2) |
|
|
|
+ |
|
|
dx − |
|
|
dy = 0 |
|
2 |
x |
4 |
x |
3 |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
y′− xy2 = 2xy |
|
|
|
||||||
4) |
|
y (2 |
x − y )dx + xdy = 0 |
|||||||
5)ydx +(2x −2sin2 y − ysin 2 y)dy = 0
8.25.1) y − xy′= 2( x + yy′)
2)(ex +1)ey y′+ex (1+ey ) = 0
3)(3y cos 2 y −2 y2 sin 2 y −2x) y′= y
4)3( xy′+ y) = y2 ln x
5) |
y |
cos |
y |
dx − 1 cos |
y |
+ 2 y dy = 0 |
2 |
x |
x |
||||
|
x |
|
x |
|
8.26.1) ( y′+ y)(x2 +1) = e−x
2)(x2 −4xy −2 y2 )dx +( y2 −4xy −2x2 )dy = 0
3) y′y |
1− x2 |
+1 = 0 |
|
1− y2 |
|
4) xy′ =3 x2 + y2 + y
94
1
5)4 y2dx + e2 y + x dy = 0
8.27.1) dx +(2x +sin 2 y −2cos2 y)dy = 0
2)y′+ 4x3 y = 4(x3 +1)e−4 x y2
3)6xdx −6 ydy = 2x2 ydy −3xy2dx
4)x(2 y2 +3x2 ) y′=3y3 +6 yx2
|
|
|
|
x |
1 |
1 |
|
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
2 + x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
+ y |
+ y dx + |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.28. 1) |
y′sin x − y ln y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
xy′− y = x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
+ y |
− y2 |
||||
dy = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3)(3x3 +6x2 y +3xy2 )dx +(2x3 +3yx2 )dy = 0
4)2(x3 − y + xy)dy = dx
5)2xy′−3y = −(3x2 + 2) y3
8.29.1) (x +ln2 y −ln y) y′= 2y
2)2 y′+3y cos x = e2 x (2 +3cos x) y−1
3)1− x2 y′+ xy2 + x = 0
4)(x2 − y2 )dy −2xydx = 0
5)ey dx +(xey −2 y)dy = 0
8.30. 1) |
|
3x2 |
+ |
2 |
cos |
2x |
dx − |
2x2 |
cos |
2x dy = 0 |
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
||
2) |
xy′− y2 ln x + y = 0 |
|
|
|
||||||
95
3) (104 y3 − x) y′= 4 y
4) 2x + 2xy2 + 2 − x2 y′= 0 5) xy′− y = xtg xy
Задача 9.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(x0 ; y0 ) ,
если известно, что угловой коэффициент касательной в любой её точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз.
9.1.A(3;−2) , k = 4
9.2.A(0;−2) , k =3
9.3.A(−2;−1) , k =5
9.4.A(0;5) , k = 7
9.5.A(−2;4) , k = 6
9.6.A(−1;3) , k = 2
Записать уравнение кривой, проходящей через точку B(x0 ; y0 ) ,
если известно, что угловой коэффициент касательной в любой её точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
9.7.B(−8;−2) , n =3
9.8.B(−6; 4) , n =9
9.9.B(3; −1) , n =1,5
9.10.B(2; 5) , n =8
Записать уравнение кривой, проходящей через точку C (x0 ; y0 ) ,
если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
96
9.11.С(0; −3)
9.12.С(0; 1)
9.13.С(0; −8)
9.14.С(0; 4)
Записать уравнение кривой, проходящей через точку D(x0 ; y0 )
и обладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.
9.15.D(5; 0)
9.16.D(4; −3)
9.17.D(−2; −2)
9.18.D(1; −2)
9.19.D(−4; 1)
9.20.D(2; 3)
Записать уравнение кривой, проходящей через точку E (x0 ; y0 )
и обладающей следующим свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Oy, равен квадрату абсциссы точки касания.
9.21.Е(2; 8)
9.22.Е(3; 0)
9.23.Е(2; 4)
9.24.Е(3; −2)
9.25.Е(−2; 5)
9.26.Е(4; 1)
97
Записать уравнение кривой, проходящей через точку F (x0 ; y0 ) ,
если известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси ординат равен полусумме координат точки касания.
9.27.F (1; −7)
9.28.F (16; 0)
9.29.F (4; 10)
9.30.С(9; −4)
Задача 10. Найти решение задачи Коши. 10.1. y′′′=sin x, y(0) =1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0.
10.2.y′′′= 1x , y(1) = 14 , y′(1) = y′′(1) = 0.
10.3.y′′= cos12 x , y (0) =1, y′(0) = 53 .
10.4.y′′′ = x63 , y (1) = 0, y′(1) =5, y′′(1) =1.
10.5. y′′= 4cos x, y(0) =1, y′(0) =3.
10.6.y′′=1+1x2 , y (0) = y′(0) = 0.
10.7.xy′′′= 2, y(1) = 0,5, y′(1) = y′′(1) = 0.
10.8.y′′′= e2 x , y(0) = 89 , y′(0) = 14 , y′′(0) = −12 .
10.9. y′′′= cos2 x, y(0) =1, |
y′(0) = −1 , |
y′′(0) = 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
10.10. y′′= |
|
1 |
|
|
, |
y(0) = 2, |
y′(0) =3. |
||||||
1− x2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
|
10.11. |
y′′ = |
|
|
|
, |
y |
|
= |
|
, y′ |
|
=1. |
|
sin |
2 |
2x |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
98
10.12.y′′= x +sin x, y(0) = −3, y′(0) = 0.
10.13.y′′= arctgx, y(0) = y′(0) = 0.
10.14. |
y′′ = |
|
|
tg x |
|
, |
y (0) = − |
1 |
, |
y′(0) = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos2 |
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.15. y′′′ = e |
x |
|
|
|
|
|
|
y (0) =8, |
y′(0) =5, |
y′′(0) = 2. |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
+1, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10.16. |
y′′= |
|
x |
|
|
|
, |
y (0) = |
1 , y′(0) = − |
1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
e2 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
10.17. y′′=sin2 3x, |
y(0) = − |
π2 |
|
|
, |
y′ |
(0) = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
576 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.18. y′′= xsin x, |
y(0) = y′(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10.19. |
y′′′sin |
4 |
x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
, |
y′ |
|
π |
|
π |
= −1. |
||||||||
|
|
=sin 2x, y |
= |
|
|
|
=1, |
y′′ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
10.20. y′′ = cos x +e−x , |
y (0) =−e−π, |
y′(0) = −1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10.21. |
y′′ =sin |
3 |
x, |
|
π |
|
7 |
, |
|
|
|
π |
= 0. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y |
= − |
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
10.22. |
y′′′= |
x −sin 2, y(0) = − |
1 |
, |
y′(0) = |
cos 2 , y′′(0) = |
1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
2 |
10.23. y′′= |
1 |
|
, y (0) = 0, y′(0) =1. |
|
|
|||||||
cos |
2 |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.24. |
y′′= 2sin xcos2 |
x, |
y(0) =− |
5 |
, y′(0) |
= − 2 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
10.25. |
y′′= 2sin2 xcos x, |
y(0) = |
1 |
, |
y′(0) =1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10.26. y′′ = 2sin x cos2 |
x −sin3 x, |
y (0) = 0, |
y′(0) =1. |
|
||||||||
10.27. |
y′′= 2cos xsin2 |
x −cos3 x, |
y(0) = 2 , |
y′(0) = 2. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
99
10.28.y′′= x −ln x, y(1) = −125 , y′(1) = 32 .
10.29.y′′ = x12 , y (1) =3, y′(1) =1.
10.30.y′′′= cos 4x, y(0) = 2, y′(0) =1615 , y′′(0) = 0.
Задача 11. Найти общий интеграл дифференциального урав-
нения.
11.1.а) (1− x2 ) y′′− xy′= 2,
11.2.а) 2xy′y′′= y′2 −1,
11.3.а) x3 y′′+ x2 y′=1,
11.4.а) y′′+ y′tgx =sin 2x,
11.5.а) y′′x ln x = y′,
11.6.а) xy′′− y′= x2ex ,
11.7.а) y′′xln x = 2 y′,
11.8.а) x2 y′′+ xy′=1,
11.9.а) y′′ = − yx′,
11.10.а) xy′′ = y′,
11.11.а) y′′= y′+ x,
11.12.а) xy′′= y′+ x2 ,
|
|
|
y′ |
|
||
11.13. |
а) |
xy′′ = y′ln |
|
|
, |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
11.14.а) xy′′+ y′= ln x,
11.15.а) y′′tgx = y′+1,
б) y′′= y′ey .
б) y′2 + 2 yy′′= 0. б) yy′′+ y′2 = 0. б) y′′+ 2 yy′3 = 0.
б) y′′tg y = 2 y′2 .
б) 2 yy′′= y′2 . б) yy′′− y′2 = y4 .
б) y′′= 21y3 .
б) y′′=1− y′2 .
б) y′′2 = y′.
б) 2yy′′= y′2 +1. б) y′′ = 2 − y. б) y′′ = y13 .
б) yy′′−2 y′2 = 0. б) y′′= y′+ y′2 .
100