книги / Математика. Дифференциальные уравнения

б) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение:

k4 + 2k2 +1 = 0 ,

71

Глава IV

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Общие понятия

С системами дифференциальных уравнений встречаются при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно. Так, решение задач динамики криволинейного движения приводит к системе трех дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются проекции движущейся точки на оси координат, а независимой переменной – время.

Решение задач электротехники для двух электрических цепей, находящихся в электромагнитной связи, потребует решения системы двух дифференциальных уравнений. Количество подобных примеров легко можно увеличить.

Обычно приходится иметь дело не с произвольными системами дифференциальных уравнений, а с так называемыми нормальными системами.

§2. Метод исключения неизвестных

Для интегрирования системы (4.1) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая n уравнений относительно n искомых функций, сводится к одному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции. Этот метод называется методом исключения неизвестных.

Покажем его применение на примере. Пусть дана система уравнений:

ПРИЛОЖЕНИЯ

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1.01. ( x +1)3 dy −( y −2)2 dx = 0

1.02. sec2 x sec ydx +ctg x sin ydy = 0 1.03. x 1+ y2 + yy′ 2 + x2 = 0

1.04. 3x2 ydy −2xy2dx = 6xdx −6 ydy

1.05. ( xy + x ) y′− y = 0 1.06. ye2 xdx +(e2 x +5)dy = 0

1.09.2(1+ex ) yy′= ex

1.10.4xdx −3ydy =3x2 ydy −2xy2 dx

1.12.3ex sin ydx =(ex −1)sec ydy

1.13.(1+ x2 ) y3dx −( y2 −1)x3dy = 0

1.14.5 + y2 dx − ydy = x2 ydy

1.15. 2x + 2xy2 + 2 − x2 y′= 0

1.16.y ln y + xy′= 0

1.17.y′sin2 x ln y + y = 0

1.18.( xy − x)2 dy + y(1− x)dx = 0

76

1.19.y = 2(1+ x2 y′)+ xy′

1.20.( y −1) xdy − y2 ln xdx = 0

1.21.(4 +ex ) y′= 2 yex

1.22.x + xy2 + 1− x2 y′= 0

1.23.2 ydy −6xdx =3xy2dx −2 yx2 dy

1.24.y (1+ln y) + xy′= 0

1.25.y3 ln2 xdx −( y −1) xdy = 0

1.26.2x2 yy′+ y2 = 2

1.27.5 + y2 dx + 4(x2 y + y)dy = 0

1.28.y′cos x −( y +1)sin x = 0

1.29. 2(x2 y + y)dy + 3 + y2 dx = 0

1.30.4 + y2 dx − ydy = x2 ydy

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.01. (x2 + y2 )dx −2xydy = 0 2.02. y − xy′= y ln xy

2.03. xdy − ydx = x tg xy dx

2.04.3y′= y2 +8 y + 4

x2 x

2.05. xy′ =3 2x2 + y2 + y

2.06. y − xy′= x + yy′

77

2.07. y = x(y′− x ey )

2.08. ( y2 −3x2 )dy + 2xydx = 0

2.09.xy′+ y ln xy −1 = 0

2.10.ydx +(2 xy − x)dy = 0

2.11.y′(2x2 −2xy) = x2 + 2xy − y2

2.12.4 y′= y2 +10 y +5

x2 x

2.13.x3 y′= xy2 − x2 y

2.14.xy′= y + xsin xy

2.15.xy′− y(ln y −ln x) = 0

2.23. ( x − y) y′= x + y

78