книги / Математика. Дифференциальные уравнения

M (x, y) = 2x − y +1 ; N (x, y) = 2 y − x −1.

x2 − yx + x − x02 + yx0 − x0 + y2 − x0 y − y − y02 + x0 y0 + y0 =C .

x2 − yx + x + y2 − y =C + x02 + x0 + y02 − x0 y0 − y0 .

Пусть C + x02 + x0 + y02 − x0 y0 − y0 =C1 . Тогда общий интеграл принимает вид:

x2 − yx + x + y2 − y =C1 .

Способ второй.

Так как левая часть уравнения (1.47) есть полный дифференциал некоторой функции u ( x, y) , то

M (x, y)dx + N (x, y)dy ≡ du ≡ ∂∂ux dx + ∂∂uy dy .

Последнее тождество равносильно двум:

M = ∂∂ux ; N = ∂∂uy .

Учитывая, что M (x, y) = 2x − y +1 , имеем

31

∂∂ux = 2x − y +1 ,

откуда интегрируя по x и считая y постоянным, получим:

Учитывая, что N (x, y) = 2 y − x −1, имеем:

∂∂uy = 2 y − x −1 .

С другой стороны, дифференцируя равенство (1.61) по y, получим:

∂∂uy = −x +ϕ′( y) .

Таким образом,

2 y − x −1 = −x +ϕ′( y) ,

ϕ′( y) = 2 y −1 .

Интегрируя по y, имеем:

ϕ( y) = y2 − y +C0 .

Подставляем ϕ( y) в равенство (1.61), получим u (x, y) = = x2 − yx + x + y2 − y +C0 , следовательно,

x2 − yx + x + y2 − y =C – есть общий интеграл данного уравне-

ния.

Задача 2. Решить уравнение

(1 − x2 y)dx + x2 ( y − x)dy = 0 .

Решение

Проверим условие (1.50). Учитывая, что M ( x, y) =1− x2 y , а N (x, y) = x2 ( y − x) , имеем:

32

∂∂My = −x2 , ∂∂Nx = 2xy −3x2 .

∂∂My ≠ ∂∂Nx ,

следовательно, данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Проверим, не имеет ли уравнение интегрирующего множителя, зависящего только от x:

ϕ( x) = − 2x , т.е. условие (1.57) выполнено.

Найдем µ по формуле (1.58):

µ= e∫−2xdx ,

µ= e−2ln x = x12 .

Умножим обе части уравнения на x12 , получим:

x12 (1− x2 y)dx +( y − x)dy = 0

Для контроля правильности вычислений убедимся, что это уравнение в полных дифференциалах.

33

ет вид

−1 − yx + y2 =C1 .

x2

34

§6. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка

Составить дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый процесс или зависимость между характеристиками исследуемого явления, часто оказывается не проще, чем решить его. Универсального метода составления дифференциального уравнения не существует, поэтому можно лишь дать некоторые общие указания.

Пусть y = y (x) – искомая зависимость между характеристиками x и y изучаемого процесса. Во многих случаях указанная зави-

симость определяется на основании закона или экспериментального факта, установленного в той или иной области естествознания. При этом, в частности, используется геометрический смысл производной (тангенс угла наклона касательной) и ее физический смысл (скорость протекания процесса).

Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от ее условия, используются известные законы физики, химии, механики и других наук и различные математические сведения.

Задачи

Задача 1. Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость V0 = 20 м/с. Определить пройденный

путь и скорость точки через 10 с после начала движения.

Решение

Обозначим через S = S (t ) расстояние точки от начала отсчета в момент времени t. Тогда S (0) = 5 . Согласно условию изменение величины S от времени описывается дифференциальным уравнением

dSdt = Sk ,

где k – коэффициент пропорциональности.

35

Разделив переменные в этом уравнении и проинтегрировав его, получим:

S 2 = 2(kt + C ) ,

S = 2(kt + C ) .

Из условия S (0) = 5 определим постоянную интегрирования С:

поэтому S = 25 + 2kt .

Дифференцируя по t , найдем скорость движения точки в мо-

Итак, через 10 с после начала движения скорость точки состав-

ляла 209 м/с. За это время точка прошла расстояние

S (10) − S (0) = 45 −5 = 40 м.

Задача 2. Тело охладилось за 10 мин от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается постоянной и равной 10°. Определить, через сколько времени тело охладится до 20°.

Решение

На первый взгляд задача может показаться достаточно простой. Если за 10 минут тело охладилось от 100° до 60°, то еще через 10 минут оно охладится от 60° до 20°. Весь процесс занимает 20 минут. Ответ ложный, так как не учтен закон Ньютона, по которому скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды.

Обозначим температуру тела в некоторый момент времени t через T (t ), тогда скорость изменения температуры по времени рав-

на производной dTdt . Так как скорость охлаждения подчинена зако-

ну Ньютона, то

dTdt = k (T −10) ,

k – множитель пропорциональности (подлежащий определению). Полученное уравнение есть уравнение с разделяющимися пе-

ременными:

Интегрируя, получим:

ln (T −10) = kt +ln C или ln (T −10) = ln ekt +ln C ,

т.е. T −10 =Cekt .

Тогда T =Cekt +10 – общее решение уравнения.

37

Из условия T (0) =100°, получаем:

100 =10 +Ce0 ,

следовательно, C =90 .

Таким образом, T (t ) =10 +90ekt .

Через 10 минут температура тела достигла 60°, т.е. T (10) = 60.

Тогда

60 =10 +90e10k , e10k = 95 .

Запишем функцию T (t ) в виде:

t

T (t ) =10 +90ekt =10 +90(e10k )10 ,

имеем

t

( ) 5 10

T t =10 +90 .

9

Для ответа на вопрос «через сколько времени тело охладится до 20°», получаем уравнение:

t

= + 5 10 , 20 10 90

9

Логарифмируя левую и правую часть, получаем: 10t lg 95 = lg 19 ,

10t (lg5 −lg9) = −lg9,

38

Глава II

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

40