книги / Математика. Дифференциальные уравнения

Основные формулы

Определения и замечания

1.

a0 y′′+a1 y′+a2 y = 0

(2.8)

Линейное однородное дифференци-

альное уравнение второго порядка с

постоянными коэффициентами.

Замечание.

а0, а1, а2 – постоянные коэффициен-

ты уравнения (2.8), причем а0 ≠ 0.

2.

y′′+ py′′+qy = 0

(2.9)

Уравнение

(2.9)

получено из (2.8),

где

p =

a1

,

q =

a2

.

a

a

0

0

3.

y = ekx

(2.10)

Эйлер предложил искать частные ре-

шения уравнения (2.9) в виде (2.10).

4.

k2 + pk +q = 0

(2.11)

Характеристическое уравнение.

Замечание.

Для составления характеристическо-

го уравнения достаточно в исходном

дифференциальном уравнении вме-

сто

y′′, y′,

y

написать соответст-

венно k2 ,

k, k0

=1.

5.

Замечание 1.

Решение

квадратного уравнения

(2.11) определяем по формуле:

D > 0 , k1 ≠ k2 ,

(2.12)

k1,2

= −p ±

D , где D = p2 −4q.

k1, k2 – действительные корни.

2

y1 = ek1x

(2.13)

y2

= ek2 x

(2.14)

= C1ek1x +C2ek2 x

(2.15)

Замечание 2.

y

(2.15) – общее решение уравнения

(2.9), т.к. у1 иу2 – линейнонезависимы:

y1

=

ek1x

= e(k1 −k2 )x ≠ const.

y2

ek2 x

41

Основные формулы

Определения и замечания

6. D = 0 , k1 = k2 ,

(2.16)

k1, k2 – действительные корни.

y1 = ek1x

(2.17)

Замечание.

y2 = ek1x x

(2.18)

Так

как

k1 = k2 ,

то

решения

y1 = ek1x и

y2

= ek2 x

– линейно за-

висимы

и

функция

вида

y = C1 y1 +C2 y2

общим решением

не является.

y

= C1ek1x +C2ek1x x

(2.19)

Следует запомнить:

или

если k1 = k2 , то y2 определяется по

k x

(C1

+C2 x)

формуле (2.18), тогда (2.19) – об-

y = e 1

(2.19')

щее решение уравнения (2.9).

7. D < 0,

корни характери-

стического

уравнения ком-

плексные сопряженные:

k1,2 = α±iβ,

(2.20)

y1 = eαx cosβx ,

(2.21)

y2 = eαx sin βx ,

(2.22)

= C1eαx cosβx +C2eαx sin βx

Замечание.

y

(2.23)

или

(2.23') – общее решение уравнения

= eαx (C1 cosβx +C2 sin βx)

(2.9), т.к. y1 и

y2 – линейно неза-

y

(2.23')

висимы:

y1

=

eαx cosβx

= ctg βx ≠ const .

y2

eαx sin

βx

y = e−x cos3x , y

2

= e−x sin 3x .

1

Тогда общее решение имеет вид (2.23):

=C1e−x cos3x +C2e−x sin 3x = e−x (C1 cos3x +C2 sin 3x) .

(*)

y

Основные формулы

Определения и замечания

1. y′′+ py′′+qy = f (x)

(2.24)

Линейное неоднородное диф-

ференциальное уравнение вто-

рого

порядка с

постоянными

коэффициентами p и q.

Замечание 1.

Нам уже известно (см. п. 7 §1,

гл.II), что общее решение тако-

го уравнения слагается из об-

щего

решения

соответствую-

щего однородного уравнения и

какого-нибудь частного реше-

ния неоднородного уравнения.

Поскольку общее решение од-

нородного уравнения мы нахо-

дить умеем, то остается только

найти частное решение данно-

го уравнения (2.24).

Замечание 2.

Рассмотрим

решение уравне-

ния

(2.24)

со

специальной

правой частью.

Основные формулы

Определения

и замечания

2. f (x) = eαx Pm (x)

(2.25)

Pm (x)

– многочлен степени m,

y* = eαx

(x)

eαx – показательная функция.

Pm

(2.26)

Следует запомнить:

(2.26) – частное решение урав-

нения (2.24), где

(x) – мно-

Pm

гочлен той же степени, что и

Pm (x) , но с неопределенными

коэффициентами, а число α

не является корнем харак-

теристического

уравнения

(x) xλ

k2 + pk +q = 0.

y* = eαx

(2.27)

(2.27) – частное решение урав-

Pm

нения (2.24), где

α

– корень

характеристического

уравне-

ния, кратности λ.

Замечание 1.

Правило сохраняет свою силу

и тогда, когда α = 0 , т.е. в пра-

вой части стоит только много-

член; в этом случае надо про-

верить, не является ли число 0

корнем

характеристического

уравнения.

Замечание 2.

В частных случаях многочлен

Pm (x) может быть

нулевой

степени ( m = 0 ),

т.е.

постоян-

ной величиной.

Основные формулы

Определения

и замечания

3. f (x) = eαx Pm (x)cosβx +Qn (x)sin βx ,

(2.28)

Pm (x) ,

Qn ( x) – много-

члены степени m и n .

y* = eαx

(x)cosβx +

(x)sin βx

Следует запомнить:

Pk

Qk

,

(2.29)

(2.29) –

частное решение

уравнения

(2.24),

где

(x) и

(x) многочле-

Pk

Qk

ныстепениk, k = max(m, n),

с неопределенными коэф-

фициентами, а комплекс-

ные числа α±βi

не яв-

ляются

корнями

характе-

ристического

уравнения

k2 + pk +q = 0 .

y* = eαx

(x)cosβx +

(x)sin βx

xλ

(2.30)

(2.30) –

частное решение

Pk

Qk

уравнения

(2.24),

где

α±βi – корень характе-

ристического

уравнения,

кратности λ.

Замечание 1.

При решении задач ком-

плексно сопряженный ко-

рень принято считать

за

один.

Замечание 2.

Принимая решения (2.26),

(2.27), (2.29) и (2.30) в

указанной форме, мы на-

ходим

неизвестные

ко-

эффициенты

многочле-

нов

(x) и

(x) по ме-

P

Q

тоду

неопределенных

коэффициентов.

Замечание 3.

Если в правую часть вхо-

дит только

одна триго-

Основные формулы

Определения

и замечания

нометрическая

функция,

в решение войдут обе с

различными

многочле-

нами одной степени.

4. y′′+ py′′+qy =

f1 (x)

Следует запомнить:

(2.31)

если

y1* – частное реше-

ние

уравнения

(2.31), а

y′′+ py′′+qy =

f2 (x)

y2*

–

частное

решение

(2.32)

уравнения (2.32) с одной

y′′+ py′′+qy =

f1 (x) + f2 (x)

(2.33)

и той же левой частью, то

сумма

y1* + y2*

является

частным решением урав-

нения (2.33).

Задачи

Задача 1. Решить уравнение

y′′+6 y′+5y = 25x2 −2 .

Решение

Рассмотрим

соответствующее

однородное

уравнение

y′′+6 y′+5y = 0 . Характеристическое уравнение

k2 +6k +5 = 0

венным, получим систему:

x2 : 5A = 25,

1

x :12A +5B = 0,

x

0

: 2A +6B

+5C = −2

из которой находим A =5, B = −12, C =12. Следовательно,

y* =5x2 −12x +12 ,

а общее решение данного неоднородного уравнения:

y =

+ y* =C e−5x +C

e−x +5x2

−12x +12 .

y

1

2

Задача 2. Найти решение уравнения (коэффициенты не опреде-

лять)

y′′−6 y′+9 y =(5x −1)e3x .

Далее находим частное решение y*

неоднородного уравнения.

Для правой части данного уравнения

f (x) =(5x −1)e3x , согласно