Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математика. Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

833.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ex (x + 2 −2x −2 + x) = 0;

ex 0 = 0; 0 ≡ 0.

Убеждаемся, что y = xex есть решение. Задача 3. Решить уравнение y′ = 2x.

Решение

Из простейшего уравнения y′ = 2x или dy = 2xdx сразу найдем с помощью интегрирования y = ∫2xdx = x2 +C.

Это – общее решение уравнения, так как оно включает в себя произвольную постоянную C и является записью всего многообразия решений. Придавая произвольной постоянной конкретные числовые значения, мы получим конкретные частные решения уравнения. На рис. 1.2 представлены частные решения

y = x2 +C, соответствующие		значе-
ниям C = −2,	C = 0, C =1.
Зададим	начальные	условия

y (1) =1, M1 (1;1) .

Тогда C = 0.

Частное решение уравнения принимает вид

y = x2 . Рис 1.2

§2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

		Основные формулы				Определения
		Основные формулы				и замечания
						и замечания
1. M (x)dx + N ( y)dy = 0					(1.10)	Уравнение с разделенны-
						ми переменными.
						Следует запомнить:
						коэффициент при dx			зави-
						сит только от x, а коэффи-
						циент при dy – только от у.

2. ∫ M (x)dx + ∫ N ( y)dy = C					(1.11)	Общий	интеграл уравне-
						ния (1.10).
3. M1 (x) N1 ( y)dx + M2 (x) N2 ( y)dy = 0					(1.12)	Уравнение с разделяющи-
						мися переменными.
						Следует запомнить:
						коэффициенты		при	dx	и
						dy представлены в			виде
						множителей,		каждый		из
						которых зависит только от
						x или только от y.

	M1 (x)		N2 ( y)		(1.13)	Разделив	обе	части	урав-
4.		dx +		dy = 0		нения	(1.12)			на
4.	M2 (x)	dx +	N1 ( y)	dy = 0		нения	(1.12)			на
						M2 (x) N1 ( y) ,		получим
						уравнение с разделенными
						переменными (1.10).
						Замечание.		что		все
						Предполагаем,		что		все
						функции	M1 (x) , M2 (x) ,
						N1 ( y) , N2 ( y) непрерыв-
						ны.

			Основные формулы					Определения
			Основные формулы					и замечания
								и замечания
5. ∫	M1 (x)		dx + ∫	N2	( y)	dy = C	(1.14)	Общий интеграл уравне-
								ния (1.12).
	M2	(x)		N1	( y)			ния (1.12).
	M2	(x)		N1	( y)			Замечание.
								Замечание.
								Если в общем решении пе-
								ременная x, функция y
								входят под знаком лога-
								рифма, то константу C
								также берут под знаком
								логарифма.

Задачи

Задача 1. Решить уравнение

xdx + ydy = 0.

Решение

xdx + ydy = 0 – уравнение с разделенными переменными (1.10). Интегрируя, получим:

	∫ xdx + ∫ ydy = C;
		x2	+	y2	= C ;
	2
			2
x2 + y2 = 2C – общий интеграл уравнения.
Пусть 2C = C2	, тогда x2 + y2 = C2 .
1			1

Задача 2. Решить уравнение

x(1+ y2 )dx + y (1+ x2 )dy = 0.

Решение

По условию дано уравнение с разделяющимися переменными (1.12). Разделим обе части уравнения на (1+ x2 )(1+ y2 ):

xdx	+		ydy	= 0 .
1 + x2		1+ y2

Почленно интегрируя, получим общий интеграл:

12 ln (1+ x2 ) + 12 ln (1+ y2 ) = 12 ln C.

Константа взята в логарифмическом виде согласно замечанию пункта 5 (§2). После потенцирования получим общий интеграл

в виде

(1 + x2 )(1+ y2 ) =C.

Решим задачу Коши. Пусть y (0) =1, тогда C = 2. Частное решение:

(1+ x2 )(1+ y2 ) = 2 или x2 + y2 + x2 y2 −1 = 0.

§3. Однородные уравнения и простейшее уравнение, приводящееся к однородному

	Основные формулы		Определения и замечания
1.	f (tx,ty) = tn f (x, y),	(1.15)	Функция	f (x, y) есть однород-
			ная функция n-го измерения, ес-
f (tx,ty) = t0 f (x, y) = f (x, y)			ли выполняется тождество (1.15).
f (tx,ty) = t0 f (x, y) = f (x, y)		(1.16)	При n = 0	имеем равенство (1.16)
			f (x, y) есть однородная функция
			своих аргументов нулевого изме-
			рения.
2.	y′ = f (x, y) ,	(1.17)	Дифференциальное уравнение на-
где f (tx,ty) = f (x, y)			зывается однородным, если f(x, y)
где f (tx,ty) = f (x, y)			есть однородная функция своих
			есть однородная функция своих
			аргументов нулевого измерения.
14

Основные формулы

Определения и замечания

Однородное уравнение

всегда

= ϕ

(1.18)

можно представить в виде (1.18).

4. u = y

–

(1.19)

Следует запомнить:

при помощи подстановки (1.19),

где u – новая неизвестная функ-

новая искомая функция,

ция, уравнение (1.18) преобразу-

= ux,

y′ = u′x +u,

(1.20)

ется в уравнение с разделяющи-

u′x +u = ϕ(u),

(1.21)

мися переменными (1.21').

x du = ϕ(u) −u

(1.21')

∫

= ln

(1.22)

Если в выражении (1.22) заменить

(u) −u

и его значением

, то получим

общий интеграл уравнения (1.18).

Замечание.

Нет необходимости запоминать

полученные выше формулы: в

каждом примере нетрудно проде-

лать полностью указанные преоб-

разования.

a x

+b y +c

(1.23)

Уравнение (1.23),

приводящееся

к однородному.

a2 x +b2 y +c2

(1.24)

δ =

≠ 0

x = u +α,

(1.25)

(1.25) – подстановка, где u

и v –

= v +β,

новые переменные, а α и β – не-

которые постоянные числа, опре-

a1α+b1β+c1 = 0,

деляемые из системы (1.26).

= 0

(1.26)

a2α+b2β+c2

Основные формулы

Определения и замечания

a u +b v

(1.27)

(1.27) – однородное дифференци-

= f

альное уравнение

относительно

a2u +b2v

переменных u и v .

9. Если δ =

= 0 ,

(1.28)

Если δ = 0,

то соответствующие

элементы строк

–

пропорцио-

то

нальны, т.е.

= k.

k (a2 x +b2 y) +c1

= f

(1.29)

a2 x +b2 y +c2

= f1 (a2 x +b2 y)

10. z = a2 x +b2 y

(1.30)

С помощью

подстановки

(1.30)

приходим к уравнению, не со-

держащему

независимой

пере-

менной.

Задачи

Задача 1. Решить уравнение

(xy − y2 )dx −(x2 −2xy)dy = 0.

Решение

Данное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем уравнение в виде:

					y	y 2
dy		xy − y	2			−
			2		x	−
	=			=	x	x		(все члены числителя и знаменателя
dx	=	x2 −2xy		=			y	(все члены числителя и знаменателя
dx		x2 −2xy					y
					1	−2
					1	−2
							x

делим на x2 ).

Устанавливаем, что данное уравнение является однородным

(1.18).

Вводим замену (1.19)

xy =u или y =u x ,

y′=u′x +u.

Получим уравнение с разделяющимися переменными:

u′x +u			= u −u2					;
					1−2u
du	x	=	u −u2				−u ;
dx	x	=	1−			2u	−u ;
dx			1−			2u
du x =						u2		.
du x =				1		−2u		.
dx				1		−2u
Разделим переменные:
1−2u du = dx .
	u2						x

Интегрируя, найдем:

∫1−u22u du = ∫ dxx +C ;

∫duu2 −2∫ duu = ∫ dxx +C ;

−u1 −2ln u = ln x +C.

Учитывая,

что u =

, получим общий интеграл однородного

уравнения

−

−2ln

= ln

+C или −

+ln

=C .

Задача 2. Решить уравнение

(2x − y + 4)dy +( x −2 y +5)dx = 0 .

Решение

Запишем уравнение в виде (1.23)

	dy	= −		x −2 y +5	.
	dx	= −			.
	dx			2x − y + 4
δ =	1	−2	= −1+ 4 =3			≠ 0,
δ =	1	−2	= −1+ 4 =3			≠ 0,
	2	−1

следовательно, уравнение можно привести к однородному с помощью подстановки (1.25)

x =u +α,y = v +β.

Найдем α и β из системы (1.26):

α−2β+5 = 0,2α−β+ 4 = 0,

учитывая что a1 =1,	b1 = −2, c1 =5, a2 = 2,		b2 = −1, c2 = 4.
Тогда
	α = −1; β = 2.
Следовательно,
	x =u −1
	y = v + 2 .		(*)
Так как dy = dv,	dx = du, то
	dy	= dv
	dx	du

dudv = −u2u−−2vv .

z2 −1

Разделим все члены правой части на u, получим:

		v
dv	1−2		v
	1−2
		u
	= −		= f	– однородное уравнение.
	= −	v	= f	– однородное уравнение.
du		v	u
	2	−
	2	−
		u

Полагая z = uv , v =uz , v′= z′u + z , получим уравнение с разде-

ляющимися переменными:

z′u + z = −12−−2zz ; z′u = 22z−−z1 − z ;

dz	u =	z2 −1	.
du		2 − z

Разделим переменные:

(2 − z)dz = duu .

Интегрируя, найдем:

∫	2dz	− ∫	zdz	= ∫ du	+C ;
	2		2
	z −1		z −1	u

ln zz +−11 − 12 ln z2 −1 = ln u +ln C1 , где C = ln C1 .

Потенцируя, получим:

(z −1)		=uC1	;

(z +1)	z2 −1

	z −1	=uC ;
		=uC ;
	(z +1)3	1
	(z +1)3
	z −1	=uC .
		=uC .
	(z +1)3	1
	(z +1)3

Учитывая, что z = uv , получим:


	v	−1
	u		=uC1 ;

v		3

		+1

u

v −u	=C .

(v +u)3	1

Возвращаясь к формулам (*), где u = x +1 , а v = y −2 , находим общий интеграл уравнения:

y −2 − x −1	=C	;

( y −2 + x +1)3	1

y − x −3 =C12 ( x + y −1)3 .

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202315.03 Mб0Маркшейдерское обеспечение и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений..pdf
#
20.11.202364.74 Mб77Марочник сталей и сплавов.-1.pdf
#
19.11.202327.96 Mб12Марочник сталей и сплавов..pdf
#
12.11.20235.71 Mб0Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной..pdf
#
12.11.202321.37 Mб6Математика без формул..pdf
#
12.11.2023833.93 Кб5Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
20.11.20231.82 Mб5Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1.pdf
#
12.11.20233.52 Mб1Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия.pdf
#
12.11.20232.32 Mб6Математика. Функции нескольких переменных.pdf
#
12.11.20238.87 Mб3Математическая логика и теория алгоритмов. Анализ алгоритмов.pdf
#
12.11.20233.59 Mб1Математическая логика и теория алгоритмов. Логика предикатов.pdf