книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

Ниже остановимся подробно на реактивных фильтрах, состоящих только из реактивных элементов, собранных в каскадные (цепные) схемы. При этом воспользуемся соотношениями, полученными в теории четырехполюсников. В основу анализа каждого фильтра заложена зависимость постоянной передачи и характеристических сопротивлений от частоты . Будем рассматривать две модификации фильтров: Т- и П-образные.

3.2. Реактивные фильтры

Простейшие реактивные Т- и П-образные фильтры представлены на рис. 3.1.

Определим А-параметры для симметричного Т-образного фильтра (см. рис. 31, а) через параметры эквивалентной схемы замещения в соответствии с формулами (2.19):

121

Таким образом, параметры А11 и соответственно А22 для обеих схем имеют схожие формулы определения.

Исследуем фильтрующие свойства четырехполюсника. В соответствии с(3.29) длясимметричныхчетырехполюсников

ch2 A11 A22 A112 ,

следовательно, ch A11 .

Установим связь между коэффициентом ослабления и коэффициентом фазы и параметромА11 на всем диапазоне частот:

sh sh j ch cos jsh sin .

Вполосе пропускания, где для любого симметричного реактивногофильтразатуханиеравнонулю ( 0), выполняетсяусловие:

параметр А11 изменяется в пределах

1 A11 1.

Это условие для Т- или П-образного фильтра имеет вид:

1 1 Z1 1 ,

2Z 2

Таким образом, четырехполюсник обладает фильтрирующими свойствами только в том случае, когда сопротивления Z1

и Z 2 − разнореактивные элементы, т.е.

122

поскольку только в этом случае выполняется условие (3.5), которое называют условием пропускания реактивного фильтра. При этом

вводят обозначение Z1 Z 2 k 2 0 , где k называют номинальным

характеристическим сопротивлением фильтра. Фильтры, где выполняется это условие, называют фильтрами типа k или k-фильтрами.

Введем нормированную переменную:

тогда условие пропускания запишется как 1 .

Введение нормированной переменной v позволяет получить универсальные характеристики для фильтров высоких и низких частот.

Граничной частоте полосы пропускания соответствует 1. При этом значение коэффициента фазы в полосе пропускания

123

Поскольку 1 2 2 1 , а ch 1 (свойство функции ch (x) ), следовательно,

A11 1 2 2 ch , arcch(2 2 1) .

Таким образом, для полосы затухания справедливы соотношения:

На рис. 3.2 приведены зависимости ( ) и ( ) на всем диапазоне частот.

A

Рис. 3.2

3.3. Согласованный режим работы фильтра

Наиболее эффективным режимом работы фильтра является режим согласованной нагрузки, обеспечивающий прохождение сигналов в заданной полосе частот с наименьшим затуханием. Рассмотрим характеристики согласованного режима работы электрических фильтров. Для этого выразим А-параметры Т-образного симметричного фильтра через параметры реактивных сопротивлений и коэффициент k:

124

Характеристическое сопротивление П-образного фильтра

определится по формуле

125

Таким образом, при заданном коэффициенте k для определения характеристических сопротивлений Z CТ и Z CП достаточно

только одной функции X1 ( ) или X 2 ( ) , представленной анали-

тически или графически (полученной, кроме прочего, экспериментальным путем).

В результате анализа соотношений (2.11) и (2.13) можно прийти к выводу, что характеристические сопротивления Z CТ

и Z CП активны в полосе пропускания и реактивны (имеют индук-

тивный или емкостный характер) в полосе затухания. Следует отметить, что рассматриваемая здесь теория фильтров предполагает нагрузку фильтра согласованной, хотя в действительности согласовать нагрузку на всем диапазоне частот невозможно.

В соответствии с правилом знаков характер сопротивлений Z CТ и Z1 всегда совпадает. При этом Z CТ и Z CП всегда разноре-

активные.

Мощность, потребляемая согласованной нагрузкой, является

где I2 и U2 – действующие значения тока и напряжения на выходе фильтра.

126

Входное сопротивление симметричного фильтра, работающего в согласованном режиме нагрузки, в области пропускания также равно R, и поэтому мощность на входе фильтра

где I1 и U1 – действующие значения тока и напряжения на входе фильтра.

Поскольку рассматривается идеальный реактивный фильтр, активнаямощностьвнутрифильтранерасходуетсяипоэтому P1 P2 .

В соответствии с (3.14) и (3.15)

I1 I2 , U1 U2 ,

и затухание равно нулю.

Следует отметить, что идеальная частотная характеристика, имеющая диапазоны частот с нулевым затуханием и диапазоны частот с бесконечно большим затуханием, недостижима даже при полном согласовании реактивного фильтра с источником и нагрузкой. Трудность получения желаемых характеристик заключается еще и в том, что для полного согласования частотные характеристики приемника и источника должны изменяться по такому же закону, что и характеристические сопротивления фильтра. Последнее трудно осуществимо. С целью увеличения значения коэффициента затухания в полосе затухания фильтр составляют из нескольких реактивных звеньев, соединенных в согласованный каскад, при этом коэффициенты затуханияотдельных звеньев суммируются.

3.4. Графическое определение частоты среза

Частоту, являющуюся граничной между полосой пропускания и полосой затухания, называют частотой среза.

Из (3.5) следует, что частоты среза удовлетворяют условиям:

127

Частоты среза находятся аналитически из уравнений (3.13), если заданы функциональные выражения Z1 ( ) и Z 2 ( ) , или

графически, если заданы частотные характеристики Z1 и Z 2 . Пример. Для фильтра, изображенного на рис. 3.3, а, частот-

ные характеристики Z1 и Z 2 представлены на рис 3.3, б; полоса пропускания графически найдена на рис. 3.3, в, где

Рис. 3.3

В предыдущем разделе было показано, что в полосе пропускания фильтр имеет активное характеристическое сопротивление, а в полосе задержания характеристическое сопротивление фильтра является реактивным. На этой особенности строится методика графического определения частот среза по частотным характери-

128

стикам входных сопротивлений фильтра в режиме холостого хода и короткого замыкания. В частности, для фильтра, представленного на рис. 3.4, а характеристическое сопротивление может быть определено по формуле

Z1C Z1х Z1к .

Для схемы (см. рис. 3.4, а)

Z1х j (L1 L2 ) j 1C ; Z1к j L1 j 1C ,

тогда

Определим знак характеристического сопротивления на всем диапазоне частот:

на интервале от 0 до 1 : Z1х 0 и Z1к 0 − емкостные, следовательно, Z1C − емкостное;

на интервале от 1 до 2 : Z1х 0 − индуктивное и Z1к 0 − емкостное, следовательно, Z1C − действительное число;на интервале от 1 до ∞: Z1х 0 и Z1к 0 – индуктивные,

следовательно, Z1C − индуктивное (рис. 3.4, б).

Качественный вид графика функции Z1C f ( ) представлен на рис. 3.4, в. Полоса частот, в которой Z1C имеет действитель-

ное значение (представляет собой активное сопротивление), соответствует полосе пропускания фильтра, ограниченной частотами 1 и 2 , в пределах которой Z1х и Z1к имеют разные

знаки. Вне этой полосы Z1х и Z1к имеют одинаковые знаки и,

следовательно, характеристическое сопротивление имеет мнимые значения (является реактивным сопротивлением), показанные на рис. 3.4, в пунктирной линией.

129