книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

в электротехнике периодические кривые и их разложение в ряд Фурье приведены в учебниках по электротехнике и в математических

иэлектротехнических справочниках.

2.Применение принципа наложения, согласно которому

мгновенное значение тока любой ветви (напряжения на любом участке) равно сумме мгновенных значений токов (напряжений) отдельных гармоник, и расчет токов и напряжений в цепи для каждой гармоники в отдельности.

3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Рассмотрим подробнее второй этап, представляющий собой основную часть расчета.

Пусть несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих:

e(t) E0 E1m sin 1t 1 E2m sin 2 1t 2 ,

тогда согласно принципу наложения источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными кратными частотами (рис. 1.4):

Рис. 1.4

Если заданы токи несинусоидальных источников, то подход к решению задачи остается таким же. Источники несинусоидального тока можно представить в виде параллельного соединения нескольких источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидальноготока(рис. 1.5).

21

Рис. 1.5

Далее можно определить токи и напряжения, возникающие от действия постоянных составляющих ЭДС и задающих токов источников, после этого – токи и напряжения от действия первых гармоник, затем от вторых гармоник и т.д. Мгновенное значение тока или напряжения в цепи будет равно сумме мгновенных значений составляющих токов или напряжений от действия каждого из источников. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС E0, e1, e2, соответственно равны I0, i1, i2, то полный ток

i I0 i1 i2 .

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными воздействиями сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС (n – количество синусоидальных составляющих ЭДС различных частот) и одной задачи с постоянной ЭДС. При этом необходимо помнить, что напряжение на индуктивности в цепях постоянного тока равно нулю (X L0 0), а постоянный ток через

емкость не проходит (XС0 ). Следует также учитывать, что

Поскольку каждая составляющая периодической несинусоидальной функции в форме (1.3) является либо постоянной, либо синусоидальной функцией времени, то для расчета каждой из них в отдельности могут быть применены все методы расчета цепей: метод контурных токов, метод узловых потенциалов и т.д. При расчете каждой из гармоник можно пользоваться символическим методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник, поскольку угловые скорости вращения векторов различных частот неодинаковы. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени. При вычерчивании графиков отдельных гармоник следует помнить, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложить t, то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов k надо откладывать углы k k .

Таким образом, алгоритм расчета электрической цепи с периодическими несинусоидальными воздействиями следующий:

1.Разложение ЭДС и/или задающего тока источника в тригонометрический ряд Фурье.

2.Расчет токов и напряжений для каждой гармоники. Для постоянной составляющей цепь преобразуется с учетом того, что

XL(0) = 0, XC(0) = , и рассчитывается одним из методов постоянного тока.

Для основной (первой) гармоники символическим методом (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения) рассчитываются необходимые токи и напряжения. Для высших гармоник определяются параметры цепи по формулам (1.28) и (1.29) и при использовании тех же методов расчета рассчитываются токи и напряжения.

3. Совместноерассмотрениерешений для каждойгармоники.

23

Для определения тока i1(t) необходимо независимо рассчитать три схемы (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Постоянную составляющую тока i1(t) находим, используя схему на рис. 1.7, а. Поскольку конденсатор не пропускает постоянный ток, а индуктивность представляет нулевое сопротивление

24

постоянному току, то схема становится одноконтурной и постоянная составляющая тока i1(t)

где первый индекс означает номер ветви, а индекс, заключенный в скобки, – номер гармоники.

Первую гармонику тока находим в соответствии со схемой на рис. 1.7, б. Из условия задачи ясно, что на частоте 1 в цепи наблюдается резонанс напряжений, поэтому

Примечание: если воздействующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или резонансы напряжений) не только на первой гармонике, но и на высших гармониках. Под резонансом на k-й гармонике понимают такой режим работы, при котором ток k-й гармоники на входе цепи по фазе совпадает с k-й гармоникой действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС). Резонанса можно достичь, изменяя частоту, емкость или индуктивность. При возникновении резонансного или близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи или напряжения этой гармоники могут оказаться большими, чем токи и напряжения первой гармоники на участках цепи, несмотря на то, что амплитуда соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе цепи может быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники ЭДС.

Вторую гармонику определяем в соответствии со схемой на рис. 1.7, в. Сопротивления реактивных элементов определяем по формулам

25

Комплексноедействующее значениевторойгармоники токаi1

1.5. Зависимость формы кривой тока от характера цепи при несинусоидальном напряжении

Сопротивление электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, зависит от частоты, и, следовательно, оно различно для разных гармоник. Поэтому если такая цепь подключена к источнику периодического несинусоидального напряжения, то кривая токав цепиотличается поформеот кривой напряжения.

Кривая тока подобна кривой напряжения только в случае, если цепь обладает одним активным сопротивлением R, одинаковым для всех гармоник. В этом случае для всех гармоник тока и напряжения

жения подобны друг другу и мощность искажения равна нулю. Соблюдение такого условия необходимо в цепях вольтметров, в парал-

26

лельных цепях ваттметров и особенно в цепях вибраторов осциллографов, предназначенных для записикривых напряжения.

В соответствии с (1.28) сопротивление идеальной индуктивности увеличивается с увеличением порядка гармоники, т.е. X Lk k 1L . Соответственно, амплитуды высших гармоник в кри-

вой тока будут уменьшаться с увеличением порядка гармоники:

Таким образом, содержание высших гармоник в кривой тока меньше, чем в кривой напряжения (кривая тока более синусоидальна, чем кривая напряжения). Говорят, что катушка индуктивности сглаживает кривую тока. Этим пользуются для сглаживания кривой тока в выпрямительных цепях, включая в цепь между выпрямителем и приемником катушку индуктивности.

В соответствии с (1.29) сопротивление идеального конденсатора уменьшается с увеличением порядка гармоники, т.е.

X Ck k 1C , поэтому

1

т.е. содержание высших гармоник, выраженных в долях первой гармоники, в кривой тока больше, чем в кривой напряжения. Говорят, что конденсатор искажает кривую тока по сравнению с кривой напряжения.

1.6. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Фазные ЭДС симметричного трехфазного генератора часто содержат высшие гармоники. Каждая ЭДС (eA, eB, eC) повторяет по форме все остальные со сдвигом на одну треть периода (T3 )

и может быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычно отсутствует.

27

Поскольку ЭДС фазы B отстает от ЭДС фазы А на T3 , а ЭДС фазы С опережает ЭДС фазы А на T3 , то k-е гармоники ЭДС фаз B и C соответственно равны:

ekB Ekm sin k (t T3 ) k Ekm sin k t k 23 k , (1.31)

ekC Ekm sin k (t T3 ) k Ekm sin k t k 23 k . (1.32)

Сравнивая полученные выражения для различных значений k, можно заметить, что ЭДС гармоник порядка, кратного трем (k = 3n, где n – любое целое число), во всех фазах в любой момент времени имеют одно и то же значение и направление (все три ЭДС проходят через максимум одновременно – нулевая последовательность фаз).

При k = 3n+1 гармоники трех фаз образуют симметричную систему ЭДС, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз первой гармоники (ЭДС проходят через максимумы в по-

рядке A, B, C – прямая последовательность фаз). При k = 3n+2 гар-

моники образуют симметричную систему ЭДС с последовательностью, обратной основной (ЭДС проходят через максимумы в порядкеA, C, B – обратнаяпоследовательностьфаз).

Кривые ЭДС, индуктируемые в обмотках трехфазных генераторов, симметричны относительно оси абсцисс, и в их разложении отсутствуют постоянные составляющие и четные высшие гармоники. Поэтому в дальнейшем ограничимся исследованием только нечетных гармоник.

Рассмотрим особенности работы трехфазных цепей, вызываемые гармониками, кратными трем.

1. При соединении обмоток трехфазного генератора в треугольник (рис. 1.8, а) по ним будут протекать токи гармоник, кратные трем, даже при отсутствии внешней нагрузки.

28

Падения напряжения в обмотках вследствие протекания этого тока компенсируют вызывающие ток ЭДС. Поэтому напряжения между выводами фаз не содержат гармоник, порядок которых кратен трем.

2. Если соединить обмотки трехфазного генератора в открытый треугольник (рис. 1.8, б), то при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, на зажимах В и В’ будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем:

uBB' 3E3m sin 3 t 3 3E6m sin 6 t 6 . (1.35)

В схеме на рис. 1.8, б показание вольтметра

Открытый треугольник с ЭДС, содержащими высшие гармоники, применяется как утроитель частоты.

3. В линейном напряжении независимо от того, в звезду или треугольник соединены обмотки генератора, кратные трем гармоники отсутствуют. Эту особенность рассмотрим для режима холостого хода генератора, т.е. когда внешняя нагрузка отсутствует. Однако это свойство справедливо и при наличии нагрузки.

Рассмотрим сначала схему соединения в треугольник

(см. рис. 1.8, а).

где A3 , B3 – третьи гармоники потенциалов соответственно точек А и В. Но E3 I3 Z 3 , следовательно, A3 B3 .

При соединении в звезду линейное напряжение третьей гармоники равно разности соответствующих фазных напряжений. Поскольку третьи гармоники в фазных напряжениях образуют системы нулевой последовательности, т.е. совпадают по фазе, то при составлении этой разности они вычитаются. В фазном на-

30