книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

61

Из соотношения (2.10) следует, что для определения U1 и I1

достаточно знать только три коэффициента из четырех, т.е. среди А-параметровтолько тринезависимые, аналогичнодля Z-, Y-форм.

Таким образом, зная, что Y, Z, A-параметры зависят от параметров элементов и конфигурации схемы четырехполюсника, можно сформулировать связь вход и выход, не прибегая к расчету токов и напряжений во внутренней части четырехполюсника, которая может представлятьсобой весьмасложнуюэлектрическую цепь.

Имеются и другие соотношения, связывающие в смешанной форме токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Приведем без вывода уравнения четырехполюсника в H- и G-параметрах:

Все параметры в общем случае – комплексные числа. Соотношения, связывающие между собой параметры в различных формах записи, приведены в табл. 2.1 ( Z , Y , H , A – опреде-

лители соответствующих матриц).

Таблица 2.1

62

Окончание табл. 2.1

Рассмотрим наиболее подробно вывод уравнений четырехполюсника в A-параметрах.

2.3.Режим обратного питания четырехполюсников

При выводе уравнений четырехполюсника в предыдущем разделе мы предполагали, что источник энергии был подключен к выводам 1–1 . Поменяем местами полюса четырехполюсника: подсоединим источник к выводам 2 – 2 , а к выводам 1–1 – сопротивление нагрузки Z н (рис. 2.3). Такоевключениеназываютобратным.

Рис. 2.3

Запишем уравнения четырехполюсника в А-параметрах с учетом того, что направление токов в нем относительно принятого на рис. 2.2 изменится на противоположное:

63

U1 A11U2 A12 I2 ;

I1 A21U2 A22 I2 .

Решим эти уравнения относительно U2 и I2 :

(2.11) – уравнения четырехполюсника при обратном питании, а (2.9) – соответственно при прямом питании. Уравнения четырехполюсника при обратном питании отличаются от уравнений четырехполюсника при прямом питании местоположением коэффициентов А11 и А22. Отсюда условие симметричности четырехполюсников: А11 = А22.

2.4.Определение А-параметров

спомощью режимов короткого замыкания

ихолостого хода

Режимам холостого хода (хх) и короткого замыкания (кз) при прямом и обратном питании четырехполюсника соответствуют схемы на рис. 2.4 (а, б – режимы хх и кз при прямом питании; в, г – при обратном питании).

64

Со стороны выводов 1–1 в режиме холостого хода входное сопротивление четырехполюсника определяется по формуле

Режим короткого замыкания. Учитывая, что в этом случае Z 2 0, U2 0 (см. рис. 2.4, б), соотношения (2.9) будутиметьвид:

U1 U2 0 U1к A12 I2к;

I1 U2 0 I1к A22 I2к.

65

Со стороны выводов 1–1 входное сопротивление четырехполюсника

Обратное питание

Учитывая, что при обратном питании А11 и А22 меняются местами, можно получить еще два уравнения (см. рис. 2.4, в, г). В режиме холостого хода входное сопротивление со стороны выводов 2–2 определяется как

Со стороны выводов 2–2 в режиме короткого замыкания входное сопротивление четырехполюсника

короткого замыкания и холостого хода. Выразим А-параметры через эти сопротивления. С этой целью из (2.14) вычтем (2.15):

66

Уравнение A A11 A22 A12 A21 1 – проверочное.

2.5.Нагрузочный режим четырехполюсника как результат наложения режимов

холостого хода и короткого замыкания

Пусть к выводам 2–2 четырехполюсника подключено со-

Замкнем выводы 2–2 (U2 0 , режим короткого замыкания). Отрегулируем входное напряжение U1к так, чтобы ток на выходных зажимах I2к сталравнымтоку I2 внагрузочномрежиме, тогда

Полученные соотношения показывают, что рабочий режим четырехполюсника (нагрузка Z 2 подключена к выводам 2–2 ) можно воспроизвести путем наложения режимов холостого хода

67

и короткого замыкания, т.е. можно смоделировать нагрузочный режим, в некоторых случаях требующий источников большой мощности, наложением крайних нагрузочных режимов (холостого хода и короткого замыкания), тогда такие источники не нужны (нагрузка не потребляет мощности!).

2.6. Эквивалентные схемы замещения четырехполюсника

Любой четырехполюсник можно свести к сопротивлениям или проводимостям, соединенным по Т- или П-образной схеме (рис. 2.5). Эквивалентной схемой замещения реального четырехполюсника называется простейший трехэлементный четырехполюсник (Т- или П-образный), имеющий такие же Z, Y или A-параметры, как изаданныйчетырехполюсник.

Рис. 2.5

Три сопротивления Т- или П-схем должны быть рассчитаны с учетом того, что схема замещения должна обладать такими же А-параметрами, какимиобладает заменяемыйею четырехполюсник.

Выразим U1 и I1 Т-образной схемы через U2 , I2 , используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа:

68

Подставляя I1 в выражение для определения U1 и группируя однородные члены, получим

U1 Z1 I2 Z 2 I2 U2 Y 0 Z 2 I2 U21 Z1Y 0 U2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Y 0 I2 ,

I1 Y 0U2 1 Z 2 Y 0 I2 .

Однако для данной схемы справедлива и общая запись уравнений четырехполюсника в А-параметрах:

U1 1 Z1Y 0 U2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Y 0 I2 A11U2 A12 I2 ,

I1 Y 0U2 1 Z 2 Y 0 I2 A21U2 A22 I2 .

Приравняв коэффициенты при U2 и I2 , получим А-параметры какфункциипараметровТ-образнойсхемы замещения:

Проведя аналогичные действия, можно получить подобные соотношения для П-образной схемы четырехполюсника:

Два четырехполюсника эквивалентны, если у них равны А-параметры. Это следует из уравнений (2.9). Следовательно, если известны А-параметры какого-то четырехполюсника, то его можно заменить эквивалентной ему Т- или П-образной схемой замещения, определив параметры этих схем замещения по выражениям (2.19) и (2.20). При этом для Т-образной схемы замещения

69

Параметры элементов П-образной схемы замещения:

2.7. Симметричный четырехполюсник

Встречаются такие электрические схемы, у которых наблюдается симметрия параметров относительно входных и выходных выводов. В эквивалентных схемах замещения это приводит к следующему: для Т-схемы Z1 Z 2 Z ; для П-схемы

Y 1 Y 2 Y . Тогда для Т-схемы

рактеризуется двумя независимыми параметрами.

2.8. Родственные четырехполюсники

Расчет А-параметров с помощью формул (2.16), (2.17) дает два решения, так как при извлечении квадратного корня А11 может принять как положительное, так и отрицательное значение. В результате помимо матрицы [А], получаемой также с помощью решения по (9.19), появляется дополнительное решение в виде новой матрицы, каждый элемент которойимеет противоположныйзнак.

Наличие двух решений традиционно объясняют тем, что коэффициенты Aij зависят не только от структуры и состава четырехполюсника, но и от положительных направлений напряжений и токов на входе и выходе. Последнее обстоятельство не

70