книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2

2. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Четырехполюсником называют сколь угодно сложную электрическую цепь, имеющую четыре внешних зажима, через которые она может взаимодействовать с внешними цепями. Например, трансформатор, фильтр, линию электропередачи, мостовую схему можно рассматривать как четырехполюсник.

Теория четырехполюсников позволяет устанавливать связи между напряжениями, токами двух ветвей, подключенных к четырем зажимам сколь угодно сложной цепи, без исследования режимов работы ее отдельных участков.

Суть теории заключается в следующем:

1.Пользуясь некоторыми обобщенными параметрами четырехполюсника, можно определять напряжения и токи на его входе и выходе, не рассматривая процессы, происходящие внутри четырехполюсника.

2.Сложная электрическая цепь может быть рассмотрена как совокупность объединенных по определенной схеме простейших четырехполюсников. Теория четырехполюсников позволяет рассчитать параметры такого составного четырехполюсника при помощи параметров входящих в него четырехполюсников.

3.Получаемые таким образом значения электрических величин на входе и выходе позволяют оценить режим работы каналапередачи

вцелом. При этом обобщенные параметры четырехполюсника позволяют сопоставить и правильно оценить передающие свойства электрическихцепей, различныхпосвоимсвойствамиструктуре.

4.Теория четырехполюсников позволяет находить структуру и элементы четырехполюсника по заданным характеристикам, т.е. решать задачу синтеза.

2.1. Классификация четырехполюсников

Четырехполюсники классифицируются по разным признакам. Они могут быть активными и пассивными, симметричными и несимметричными, линейными и нелинейными, обратимыми и необратимыми, эквивалентными и неэквивалентными.

56

Активные четырехполюсники – это четырехполюсники, которые содержат ветви с нескомпенсированными источниками энергии, при этом напряжение на разомкнутых зажимах не равно нулю. Пассивные четырехполюсники либо не содержат источников энергии, либо, если они есть, то суммарное их действие взаимно компенсируется внутри четырехполюсника таким образом, что напряжение на входных и выходных зажимах равно нулю. Примерами пассивных четырехполюсников являются трансформатор, электрический фильтр, мостовая схема. В дальнейшем рассматривается теория пассивных четырехполюсников, так как активный четырехполюсник может быть заменен эквивалентным ему пассивным четырехполюсником и вынесеннымзаегозажимыэквивалентнымисточникомЭДС.

Если четырехполюсник симметричный, то перемена мест подключения входных и выходных зажимов не изменит токораспределения во внешней цепи.

В линейных четырехполюсниках связь между токами и напряжениями имеет линейную зависимость. В таких четырехполюсниках нелинейные элементы (вольт-амперные характеристики их имеют нелинейный характер) отсутствуют.

Обратимые четырехполюсники – это такие четырехполюсники, для которых справедлив принцип взаимности: отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какая пара зажимов выбрана в качестве входных.

Эквивалентные четырехполюсники – это такие четырехполюсники, при взаимной замене которых входные и выходные токи и напряжения не изменятся. Четырехполюсники также подразделяются по схемам соединения входящих в них элементов:

Т-, П-, Г-образные, мостовые и др.

2.2. Основные уравнения четырехполюсников

Четырехполюсники принято условно изображать так, как это показано на рис. 2.1. Это «проходной» четырехполюсник. В нем электрическая энергия передается слева направо. Одну пару выво-

дов называют первичной (входной), а другую – вторичной (выход-

57

ной) и обозначают соответственно 1–1 и 2–2 . Входной ток обозначают I1 , входное напряжение – U1 , ток и напряжение на выходе–

I2 и U2 . Четырехполюсник является передаточным звеном между

источником питания и нагрузкой. К выводам 1–1 , как правило, присоединяетсяисточникпитания, к выводам2–2 – нагрузка.

Рис. 2.1

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называются урав-

нениями четырехполюсника.

Пусть схема четырехполюсника содержит n независимых контуров. В качестве первого (рис. 2.2) выберем контур, включающий в себя источник энергии на зажимах 1–1 , в качестве второго – контур, включающий в себя приемник, присоединенный к зажимам 2–2 . Напряжение на входных зажимах четырех-

полюсника U1 будем рассматривать как входное. Такое включение принято называть прямым.

Рис. 2.2

58

Составим уравнения по методу контурных токов:

Поскольку Z нI22 U2 , то, перенеся величину U2 в правую часть второго уравнения, приведем систему уравнений к виду:

U2

Учитывая, что правые части всех уравнений, кроме первых двух, равны нулю, получим на основании принципа наложения следующее решение:

I1 I11 11 U1 21 ( U2 ) 31 0 0;

(2.3)

I2 I22 12 U1 22 ( U2 ) 32 0 0.

Коэффициенты в (2.3) имеют размерность проводимости. Введем соответствующие обозначения:

Тогда записанные в Y-форме уравнения четырехполюсника, связывающие токи с напряжениями, имеют вид:

59

Полученные соотношения запишем в матричной форме:

I Y U .

Для линейной пассивной цепи 12 21 , а следовательно, Y12 Y 21 . Из четырех Y-параметров независимых три, так как

Y12 Y 21 .

Решив (2.4) относительно напряжений U1 и U2 , получим

записанные в Z-форме уравнения четырехполюсника, связывающие напряжения и токи:

при этом Z12 Z 21 . Из четырех Z-параметров независимых три. Уравнение (2.5) запишем в матричной форме:

U Z I .

Наиболее распространенной формой записи уравнений четырехполюсника является такая запись, при которой входные ток и напряжение выражаются через выходные напряжение и ток. Согласно (2.3) можно записать:

60