книги / Некоторые задачи спортивной биомеханики

Обратим внимание, что Q существенно зависит от угла γ

между векторами ω и V , при γ = 0˚, 180˚ эффект Магнуса отсутствует.

Определение аэродинамических коэффициентов – центральная часть проблемы исследования движения тел в сплошных средах. Для шара при отсутствии вращения коэффициент лобового сопротивления экспериментально найден в большом диапазоне изменения скоростей. В работе [1] приведена зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления CD от числа Рейнольдса Re (Re = V d / ν, где d – диаметр мяча, ν – кинематическая вязкость воздуха). Эта зависимость приведена на рис. 3. На графике видно, что в области чисел Re от 1000 до 205 000 (это соответствует скорости футбольного мяча 0,1− 14 м/с) ко-

эффициент лобового сопротивления CD – практически постоянная величина, равная приблизительно 0,45. Скорость футбольного мяча варьируется в широких пределах, поэтому необходимо учитывать зависимость коэффициента CD от числа Рейнольдса

при больших его значениях. Как видно из графика (см. рис. 3), при значении lg Re > 5,3 наблюдается «кризис сопротивления».

Этот эффект позволяет резко увеличить дальность полета мяча при увеличении начальной скорости.

На рис. 4 представлена зависимость CD и CL от угловой ско-

рости вращения мяча для разных чисел Рейнольдса (до Rе 105 ), dω

2V

к поступательной скорости) коэффициенты CD и CL слабо зависят от угловой скорости и числа Re . В соответствии с рис. 4 можно принять, что при быстром вращении мяча CD = 0,6 и

11

CL = 0,35. Так как угловая скорость меняется при полете мяча мало, то в расчетах это изменение учитывать не будем.

Рис. 3. Зависимость аэродинамического коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса

Рис. 4. Зависимость аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления CD и подъемной силы СL от отношения экваториальной скорости к скорости потока: 1 – Re = 6,15·104;

2 – Re = 7,74·104; 3 – Re = 10,70·104

12

Анализ зависимости коэффициента CD от числа Рейнольдса (см. рис. 3) показывает, что при Rе* = 3,5 105 наступает так назы-

ваемый кризис сопротивления – резко падает значение аэродинамического коэффициента лобового сопротивления. Физическая причина этого явления состоит в том, что при обтекании мяча потоком воздуха при большой скорости отрыв потока от поверхности мяча происходит ближе к тыловой его части. При этом уменьшается диаметр вихревой зоны, что улучшает обтекаемость мяча. Для фут-

Если скорость меньше 14 м / с , то CD = 0,45 (это следует из обработки данных на рис. 3).

1.2. Дифференциальные уравнения движения центра масс мяча. Задача Коши

лы, описанные в предыдущем параграфе. Проектируя левую и правую части (1.6) на оси координат с учетом (1.1) – (1.4), получим систему уравнений движения центра масс. Для удобства

13

R = 12 ρCD SV 2,

Q = 12 ρCL SV 2 ,

V = u2 + v2 + w2 ,

где x, y, z – координаты центра масс шарика.

Так как ω ×V = ω V sin γ, то при подстановке в (1.7) урав-

нения существенно упрощаются: сокращаются sin γ и V. Модуль ω остается в знаменателе. Заметим, что уравнения (1.7) справедливы лишь при ω ≠ 0. В случае ω = 0 подъемную силу полагают равной нулю.

Запишем полученные после подстановки уравнения самостоятельно.

14

при ударе с подкруткой CD = 0,6, CL = 0,35. Для задачи с на-

чальными условиями движения надо задавать в начальный момент времени положение и скорость центра масс мяча:

Задача Коши (1.7)–(1.8) решается численно методом пошагового интегрирования – методом Эйлера. Шаг интегрирования выбирается таким образом, чтобы результат счета не зависел от величины шага ( t = 0,001 с).

Рассмотрим частный случай движения мяча: скорость центра масс лежит в плоскости OXY, вектор угловой скорости ω параллелен оси OZ: w = 0, ωх = ωy = 0.

Из (1.7):

1.3. Гипотеза постоянства угловой скорости вращения ω

Из наблюдений известно, что при полете вращающегося тела его ось сохраняет свое направление в пространстве. Значит, вектор ω сохраняет направление. Величина ω практически тоже не изменяется.

15

Для доказательства этого утверждения рассмотрим эксперимент с шариком для настольного тенниса: на горизонтальном блюде шарику придавалось вращение с некоторой угловой скоростью ω0 . Через 75 с шарик останавливался.

Запишем дифференциальное уравнение вращения шарика

Примем момент трения за постоянную величину. Тогда

где t – время до остановки шарика.

При игре в настольный теннис время полета мяча составляет1 с. Найдемконечноезначениеугловойскоростивращенияшарика.

При t = 75 с, t1 = 1 с получаем ω1 = 0,99 ω0, т.е. практически

ω1 ≈ ω0 .

Таким образом можно считать ω = const. Это упрощает интегрирование дифференциальных уравнений движения центра масс мяча. Отметим, что врасчетах мыпренебрегаемтрением верчения.

16

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕТА ФУТБОЛЬНОГО МЯЧА

2.1. Введение

При игре в футбол важнейшую роль играет траектория мяча, обеспечивающая правильный пас и самое главное – поражение ворот соперника. Использование математических моделей и компьютерного моделирования позволит прогнозировать траекторию полета футбольного мяча, а также освоить методику построения таких моделей и научиться реализовывать построенные модели на языке программирования. В литературе известны работы по описанию движения волейбольного мяча [5] и теннисного шарика [3], футбольного мяча [4]. В данной главе студентам предлагается составить математическую модель движения центра масс футбольного мяча и решить некоторые задачи, связанные с выполнением стандартных положений: удар с центра поля, угловой удар, пенальти. Особенностью описания движения футбольного мяча является то, что мяч может двигаться с большой скоростью, и в этом случае нельзя применять гидравлическое приближение (например, применяемое в курсе теоретической механики и базовой физики), в котором сила аэродинамического сопротивления пропорциональна квадрату скорости. На основе построенной модели предлагается решить задачу оптимизации, например, для нахождения траекторий, наиболее благоприятных для взятия ворот соперника. Полученные численные результаты могут быть использованы тренерами и футболистами при отработке техники исполнения стандартных положений.

2.2. Историческая справка

Футбол широко известен в современном мире, но мы приведем ряд исторических сведений об этой игре.

В октябре 1863 г. в Лондоне собрались любители игры в мяч. Между ними шел спор, играть в футбол «только ногами» или «но-

17

гами и руками». Сторонники игры «только ногами» создали свой союз, который и выработал первые правила игры. Они были далеко не совершенны и еще несколько десятилетий дополнялись и изменялись. Скажем, судья вышел на поле со свистком только в 1878. До этого он сидел за пределами поля и разрешал споры игроков, когда они к нему обращались. Одиннадцатиметровый штрафной удар (пенальти) был введен в 1891 г., а в 1926 г. стали засчитывать голы, забитые непосредственно с углового удара.

Наш отечественный футбол моложе английского на 34 г. Первая команда была создана в 1897 г. в Петербурге, и там же, на Васильевском острове, сыгран первый матч.

Сейчас футбол– однаизсамых популярных спортивных игр.

Рис. 5. Футбольное поле

Размеры футбольного поля показаны на рис. 5. Мяч имеет окружность 68–71 см и массу 396–453 г. Играют две команды, в каждой из которых по 11 игроков, один из которых защищает ворота.

Важную роль играют «стандартные удары» – угловой, пенальти – моделированию таких ударов посвящен данный раздел.

18

2.3. Расчет траектории мяча при ударах со стандартных положений

Для нахождения оптимальных траекторий полета мяча необходимо решить задачу оптимизации. При ударе по мячу мы можем варьировать четырьмя параметрами: начальная скорость мяча V0 , угол удара α – угол между плоскостью поля и вектором

начальной скорости, β угол между плоскостью ворот и вектором

начальной скорости и угловая скорость ω. Целью этой оптимизации является получение траекторий, двигаясь по которым, мяч за минимальное время достигнет цели и попадет под перекладину. Тогда задача будет

мальная высота мяча в створе ворот. Также необходимо наложить ограничение на максимальную скорость удара

где Vmax – максимально возможная скорость мяча.

2.4.Удар с центра поля по воротам

Вмировой практике футбола известны случаи, когда забивался гол при ударе по воротам с центра поля. В этих случаях бывал виноват, конечно, голкипер, вышедший далеко вперед, но главное – мастерство форварда. Всем любителям футбола известен гол Пеле, забитый ссредины поля вворотаболгарскойсборной.

Мы рассчитали возможные траектории полета мяча и обнаружили удивительный факт: если считать коэффициент лобового

19

сопротивления C D постоянным и равным 0,45, как это обычно принимают, то мячу в центре поля надо сообщить начальную скорость, превышающую 50 мс , чтобы он долетел до ворот со-

перника. Такая скорость вряд ли достижима даже при ударе сильнейших футболистов.

Рис. 6. Траектория полета мяча при ударе с центра поля V0 = 30 м/с, α = 29°

На рис. 6 представлена оптимальная траектория мяча, при расчете которой учтена зависимость CD от V (см. табл. 1). Мы

нашли, что минимальная начальная скорость, которая обеспечивает взятие ворот соперника, равна 30 м/с при угле удара α = 29°. Время полета мяча равно 2,7 с. Кстати, самый «быстрый» гол был забит с центра поля за 4 с от начала матча, а наши многочисленные измерения реального времени полета мяча от ворот до середины поля давали значение t < 3 с. Сопоставление расчетного и реального времени дает определенную уверенность в достоверной точности приведенных расчетов.

На рис. 6 кривой 1 показана траектория мяча, а линия 2 проведена на высоте ворот. Начало координат – в углу поля (см. рис. 5). Видно, что траектория имеет вид баллистической кривой – пологой в начале траектории и крутой в конце. Голкипер может взять мяч, находясь лишь практически в створе ворот. Наши расчеты позволяют рассчитать безопасную зону нахождения голкипера, из которой онуспеетвернутьсяк своим воротам.

Мы попытались выяснить, насколько можно уменьшить время полета мяча увеличением начальной скорости.

20