книги / Некоторые задачи спортивной биомеханики

время полета мяча от начальной скорости. Наши измерения показали, что при высоте H > 10 м время полета равно примерно 3 с, это соответствует нашим расчетам. Из рис. 8 следует, что если начальную скорость удара увеличить до V0 = 45 м/с, то время по-

лета мяча сократится больше чем в два раза и траектория полета будет выглядеть следующим образом (рис. 9).

Рис. 9. Траектория полета мяча при ударе с центра поля V0 = 45 м/с, α = 110

Видно, что при увеличении начальной скорости от 28 до 35 м/с время полета уменьшается в 1,8 раза, что повышает вероятность поражения ворот для сопоставления результатов численного исследования. При трансляции футбольного матча по телевизору мы измеряли время полета и оценивали высоту траектории при ударе от ворот. Анализ времени полета и высоты траектории позволяет предположить, что максимальная скорость на траектории равна 35 м/с, хотя не исключено, что сильнейшие футболисты могут сообщить мячу и большую скорость.

2.5.Удар по воротам с углового

Вданной задаче мы рассчитали возможные траектории полета мяча с углового. При расчете коэффициент лобового сопротивления CD был постоянным и равным 0,6, а коэффициент подъ-

емной силы CL был равен 0,35. При вращении мы не учитываем

кризис сопротивления. До Re = 105 , как следует из рис. 4, кризиса не видно. Можно ожидать, что при вращении кризис сопро-

22

тивления сдвигается в область больших чисел Рейнольдса, чем без вращения, или вообще отсутствует. Например, для хорошо обтекаемых тел он не наблюдается.

Рис. 10. Проекция на плоскость ворот (OXY) траектории полета мяча

при подаче с углового V0 = 30 м/с, α = 300 , β = 190

На рис. 10 и 11 α – угол между плоскостью поля и вектором скорости, β – угол между плоскостью ворот и вектором скоро-

сти, мяч вращается с частотой 100 об/мин. При уменьшении начальной скорости удара мяч до ворот не долетает. Если увеличить начальную скорость, то можно добиться более низкой траектории полета мяча, что значительно позволит сократить время полета мяча. Из рис. 10 видно, что максимальная высота полета мяча составляет около 6 м, а из рис. 11 видно, что максимальное отклонение мяча от линии ворот составляет примерно 2 м.

Рис. 11. Проекция на горизонтальную плоскость (OXZ) траектории полета мяча при подаче с углового

V0 = 30 м/с, α = 30° , β = 19° (вид сверху)

23

2.6. Пенальти

Пенальти, или, как его вначале называли, «удар смерти», появился в Ирландии в 1891 г., но придумал его не Джон Пенальти (как думают многие), а Уильям Маккрам (англ. William McCrum), вратарьичиновник Ирландскойассоциации футбола(рис. 12).

Рис. 12. Уильям Маккрам

Предложение Маккрама вызвало жестокие споры в обществе, закон о пенальти даже называли «смертным приговором для футбола». Противники 11-метровых ударов утверждали, что футбол – джентльменская игра, а джентльмены, как известно, не нарушают правил. По одной из версий, общественное мнение могло измениться после того, как в четвертьфинале Кубка Англии одной из команд не удалось реализовать свободный удар, назначенный за умышленную игру рукой. Таким образом, после долгих обсуждений 2 июня 1891 г. Ирландская футбольная ассоциация приняла идею Маккрама. Первый пенальти был назначен и реализован 14 сентября 1891 г. в матче Вулверхэмптона и Аккрингтона. Игра завершилась со счетом «5–0» в пользу Вулверхэмптона, пенальти был забит Джоном Хитом.

24

11-метровый удар назначается в случае, когда игрок совершает в пределах своей штрафной площади любое из нарушений, наказуемых штрафным ударом, и мяч при этом находился в игре. Гол, забитый непосредственно с одиннадцатиметрового удара, засчитывается.

Рассмотрим исходные данные для пенальти.

Рост вратаря берем исходя из среднего роста лучших вратарей по версии МФФИИС (табл. 2).

Таблица 2

Средний рост вратаря 1,85 м.

Одиннадцатиметровый удар бьётся с расстояния 11 м, или 12 ярдов, от линии ворот.

Расстояние между стойками – 7,32 м (8 ярдов), а расстояние от нижнего контура перекладины до поверхности земли – 2,44 м (8 футов).

Размер мяча – 5.

Мячи этого размера используются во всех официальных соревнованиях, которые проводятся под эгидой ФИФА во всём мире. Мяч имеет длину окружности 68–70 см и весит не более 450 г.

Радиус мяча R = 10,8280 см.

Скорость мяча при ударе пенальти 150 км/ч, или 35,278 м/с.

25

Для выбора значения скорости реакции вратаря рассмотрим данные Игоря Акинфеева. Его скорость реакции182 мс, или0,182 с.

Скорость прыжка человека V(0) = 5 м/с. Вес вратаря 95 кг.

Центр тяжести человека находится на расстоянии 1,05 м от пяток.

Рост человека с вытянутыми руками – 2,368 м.

2.6.1. Постановка задачи

Требуется определить минимальное время полета мяча при 11-метровом ударе и выяснить, сможет ли вратарь за время полета мяча успеть оценить его направление, прыгнуть в сторону мяча и поймать его, не полагаясь на чувства. Исходя из этого, найти слепую зону, в которой вратарь не сможет поймать мяч в силу своих физических возможностей.

Движение мяча с вращением в сплошной среде описывается рассмотренными ранее уравнениями (1.6)–(1.8). При полете на мяч действуют сила лобового сопротивления (1.1) и подъемная сила, обусловленная эффектом Магнуса (1.2).

Анализ решений уравнений (1.6)–(1.8) показал, что на расстояниях порядка 11 м эффект Магнуса не оказывает существенного влияния на траекторию полета мяча.

Поэтому рассмотрение полета мяча как поступательного движения представляется оправданным (рис. 13).

Рис. 13. Силы, действующие на мяч при его полете в сопротивляющейся среде

26

Пусть мяч вылетел со скоростью V0 под углом α к горизон-

ту. В фазе полета на него действуют сила тяжести P и сила лобового сопротивления R .

P = mg; R = 12 ρSCDV 2 .

27

Конечные условия:

Здесь (2.6) – дифференциальные уравнения движения центра масс мяча; система (2.6)–(2.7) – задача Коши для однородного дифференциального уравнения (ОДУ) или задача с начальными данными; система (2.6)–(2.8) – краевая задача.

Основная задача формулируется следующим образом: найти начальную скорость V0 и угол вылета мяча α, при которых выполняется L, например, мяч попадает в ворота.

2.6.2. Решение поставленной задачи

Для решения данной задачи используем метод Эйлера решения задачи Коши (пошаговое интегрирование).

Временную ось разбиваем на равные малые промежутки времени.

Дифференциальные уравнения (1) записываем приближенно в конечных разностях:

28

При k = 0 u0 ,v0 , x0 , y0 определяются начальным условиями

(2.10).

При k = 1 u1 ,v1, x1, y1 определяются из (2.9) по своим на-

чальным значениям. Таким образом, строится пошаговый процесс: k = 0, 1, 2,... до выполнения конечного условия.

Заметим, что шаг по времени t должен быть достаточно малым, порядка t = 10−4 с.

Краевая задача (2.9)−(2.10) решается как последовательность решений задачи Коши с различными значениями варьируемых

время, за которое мяч долетит до ворот.

Изучим далее движение вратаря, которое является плоскопараллельным. Полёт вратаря будем рассматривать как полёт стержня, который вращается вокруг его центра тяжести. Исходя из малого времени полета вратаря до соприкосновения с мячом в качестве первого приближения предположим, что, вратарь двигается поступательно.

вратаря; t – время полета мяча плюс время реакции вратаря; h – рост вратаря с вытянутыми руками.

Изменяя угол прыжка и время полёта мяча до соответствующей точки ворот, мы получаем зону, в которой вратарь может дотянуться до мяча (рис. 14).

29