книги / Некоторые задачи спортивной биомеханики

вого с учетом вращения мяча, при которой мяч наилучшим образом направляется в створ ворот.

Рассмотрен удар по футбольному мячу. Проведена оценка скорости вылета мяча после удара. Рассмотрен удар пенальти.

Полученные результаты основаны на точных уравнениях механики и могут быть использованы тренерами и футболистами для совершенствования исполнения стандартных положений.

32

ГЛАВА 3. УДАР ПО СПОРТИВНОМУ МЯЧУ

Во многих игровых видах спорта достижение результата зависит от формы траектории движения центра масс спортивного мяча. При движении мяча в воздухе на него действуют аэродинамические силы, которые существенно зависят от скорости движения центра масс мяча и его угловой скорости. Для решения дифференциальных уравнений движения центра масс мяча необходимо знание начальных условий движения. Начальную скорость движения центра масс и угловую скорость вращения мяч получает после удара по нему или после отскока мяча от игровой площадки. Сегодня попытаемся построитьобщуютеориюударапо мячу.

При рассмотрении удара будем использовать основные допущения классической теории удара: в фазе удара учитывать только ударные силы и считать, что перемещение мяча за время удара пренебрежимо мало. Применим теоремы об изменении количества движения мяча при ударе

k =1

и кинетического момента мяча относительно осей прямоугольной декартовой системы координат Сх1 х2 х3 , связанной с центром масс мяча и движущейся поступательно (система Кёнига):

J – момент инерции сферы относительно центральной оси, ω0 – угловая скорость мяча в начале удара, ω – в конце удара.

Коэффициент восстановления при ударе равен отношению проекций относительных скоростей центра масс мяча в конце

33

удара и в начале удара на общую нормаль к поверхностям соприкасающихся тел:

где w – скорость тела, ударяющего по мячу, постоянная в фазе удара в предположении, что масса мяча много меньше массы ударяющего тела.

Рассмотрим случаи непроскальзывания и проскальзывания мяча по ударяющей поверхности. Коэффициент восстановления k и коэффициент трения f находятся экспериментально.

3.1. Удар по неподвижному мячу

Рассматривается нецентральный удар ракеткой или какимлибо другим телом (например, бутсой) по мячу сферической формы, покоящемуся до удара в инерциальной системе отсчета

Оxyz (рис. 16).

Рис. 16. Удар по неподвижному мячу

Удар производится по точке М мяча со скоростью w , составляющей угол γ с нормалью к поверхности Мп. Плоскость, в

34

которой лежат вектор w и центр масс мяча С, будет называться ударной плоскостью (см. плоскость Мτп на рис. 16). Предполага-

ется, что вектор ударного импульса S также лежит в этой плоскости. Для мяча сферической формы это предположение достаточно очевидно, и оно подтверждается опытом. Сначала рассмотрим подачу мяча накатом (верхним вращением мяча). Отдельно исследуем случаи непроскальзывания и проскальзывания мяча по поверхности ударяющего тела.

3.1.1. Случай непроскальзывания

На рис. 16 изображено сечение мяча ударной плоскостью. Считаются заданными положение точки удара М, определяемое углом φ, модуль w вектора скорости удара и угол γ, составляемый этим вектором с нормалью к поверхности мяча. Надо найти скорость движения центра масс мяча u и его угловую скорость ω в конце удара.

Поскольку до удара мяч покоился, то теоремы об изменении количества движения мяча в проекциях на естественные оси и его кинетического момента относительно центра масс С примут вид:

где r − радиус мяча, J = 2mr2 /3 − его осевой момент инерции. Коэффициент восстановления

В случае непроскальзывания мяча тангенциальная составляющая скорости точки М мяча в конце удара равна тангенциальной составляющей скорости ударяющего тела, и теорема сложения скоростей дает соотношение

35

Из уравнений (3.4)–(3.6) находятся искомые величины:

Например, при k = 0,6, f = 0,75 (ракетка для настольного тенниса с мягким покрытием) критическое значение угла γ* = 72°. При углах γ > γ* следует учитывать проскальзывание мяча по ракетке. Формула (13.8) хорошо согласуется с опытными данными. Удар выполнялся при γ = 45° < γ*. Опытные значения угла β получались близкими к расчетному значению β = 14°.

В рассмотренном случае ударная плоскость вертикальна и мячу придается вращение по часовой стрелке (накат). При подрезке (обратное вращение мяча) точка удара М лежит ниже центра масс С, углы γ и β откладываются в другую сторону от нормали Мп. В этом случае сохраняются все расчетные формулы, полученные для нака-

36

та. Эти формулы справедливы и при произвольной ориентации ударной плоскости в декартовой системе координат Oxyz. Исследователю надо будет перейти от естественной к декартовой системе координат. Например, в рассмотренном случае векторы w и u с осью Ох составляют углы (γ – φ) и (β – φ) соответственно (ударная плоскость лежитв координатной плоскостиOxz).

3.1.2. Случай проскальзывания

Пусть угол удара γ > γ*. Тогда мяч будет проскальзывать по поверхности ударяющего тела, и кинематическое условие (3.6) необходимо заменить формулой длякоэффициентатрения скольжения:

Интересно, что вектор u составляет с нормалью Мп угол β, не зависящий от угла удара γ и равный углу трения:

Как показывает анализ полученных результатов в пунктах 3.1.1 и 3.1.2, угловая скорость при изменении угла γ от 0° до 90°сначала растет от нуля до своего наибольшего значения при γ > γ*, а затем убывает до нуля при γ = 90°. Эти выводы имеют не только теоретическое, но ипрактическоезначение.

3.2. Удар по движущемуся мячу

Ранее рассмотрен удар по неподвижному мячу, что характерно для подачи мяча во многих видах спорта. При приеме мяча надо учитывать его движение до удара. Сначала рассмотрим случай плоскопараллельного движения мяча до удара и после удара.

37

Абсолютная скорость точки М равна при непроскальзывании

которое при v = 0, ω0 = 0 совпадает с решением (3.7).

Припроскальзывании мяча, когдаусловие непроскальзывания

не выполняется, необходимо в системе уравнений (3.14)–(3.16) кинематическоеуравнение (3.16) заменитьсиловым

3.2.2. Отскок мяча от неподвижной поверхности

Для математического моделирования игры в настольном теннисе и других видах спорта необходимо учитывать отскок мяча от стола или игровой площадки и находить скорость центра масс мяча u и его угловую скорость ω после удара. Рассматривается только случай плоскопараллельного движения мяча перед ударом о поверхность, причем все точки мяча движутся в плоскостях, перпендикулярных этой поверхности.

Пусть перед ударом все точки мяча движутся в плоскостях, параллельных координатной плоскости Oxz, в которой движется центр масс мяча С. Перед ударом центр масс имеет скорость v,

угол падения мяча равен α (рис. 18). Мяч имеет угловую скорость ω0. Надо найти после удара скорость центра масс мяча u, угол отражения β и угловую скорость мяча ω. Основные уравнения теории удара имеют вид:

39