книги / Некоторые задачи спортивной биомеханики

Если ввести отношение орбитальной скорости к скорости центра масс мяча до удара n0 = ωv0r , то с учетом полученного решения условие (3.23) приводится к виду

Например, при ω0 = 0 получается условие для угла падения

Например, при k = 0,8, f = 0,2 мяч не проскальзывает при углах падения α > 48°. При проскальзывании мяча по поверхности условие (3.21) надо заменить силовым:

u = k vsinα , sinβ

которое вместе с решением (3.22) охватывает всю область изменения параметров плоскопараллельного движения мяча перед ударом.

41

Таким образом, мы рассмотрели удар по неподвижному и движущемуся мячу и отскок мяча от неподвижной плоскости. Проведенное исследование интересно как приложение классической теории удара к механике спорта. Результаты исследований удара мяча позволяют более корректно формулировать краевые задачи движения спортивных снарядов. Найденные скорость движения центра масс мяча и его угловая скорость после удара определяют начальные условия дальнейшего движения мяча и, кроме того, позволяют по экспериментальным кривым найти аэродинамические коэффициенты движущегося мяча.

42

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ФИГУРНОГО КАТАНИЯ

4.1. Введение

Фигурное катание – один из самых красивых зимних видов спорта. В наше время он доступен для всех, однако для фигуристов любого уровня обучение сопряжено с определенными трудностями, так как правильное исполнение элементов зависит от многих параметров. Именно поэтому в настоящее время тренеры и спортсмены активно используют системы захвата движения и проявляют интерес к математическому моделированию различных элементов фигурного катания [8].

Вэтом разделе рассмотрим математические модели двух элементов фигурного катания – скольжения по дуге и вращения «винт». Для создания моделей будем использовать уравнения динамики твердого тела и принцип Даламбера. Полученные дифференциальные уравнения могут быть решены аналитически или численно с помощью математического пакета.

При построении моделей сопротивление воздуха не рассматривается, так как при характерных для фигурного катания скоростях оно не оказывает существенного влияния на движение фигуриста. При моделировании скольжения по дуге также не учитывается сила трения.

4.2.Скольжение по дуге

Воснове практически всех элементов фигурного катания лежит реберное скольжение по дуге, при котором тело фигуриста отклоняетсяотвертикали, вследствие чего лезвие касается льда только одним ребром (рис. 19). При этом если фигурист не меняет положения тела, то лезвие конька движется по дуге, радиус кривизны которой зависитотугла наклона тела искоростискольжения.

Рассмотрим скольжение фигуриста по дуге окружности. Будем считать, что фигурист совершает вращательное движение

43

вокруг неподвижной вертикальной оси Oz, при этом ось симметрии тела расположена в плоскости zOy и наклонена под углом α к вертикали (рис. 20). Тело касается опоры в одной точке, удаленной от оси Oz на расстояние ρ = OA.

Если на тело действуют внешние силы Fie ,i = 1...n и реакции связей Ri ,i = 1...m, то после вычисления сил инерции и примене-

ния принципа Даламбера вращение тела вокруг неподвижной оси Oz описывается системой уравнений [9]:

где m – масса тела, ω и ε – угловая скорость и угловое ускорение вращения, (xC , yC , zC ) – координаты центра масс тела, Jz – момент инерции тела относительно оси вращения Oz, J yz , Jzx –

центробежные моменты инерции относительно соответствующих осей координат.

Будем считать, что трение лезвия конька о лед незначительно. Тогда внешними силами, действующими на фигуриста, являются сила тяжести, приложенная в центре масс, и реакция опоры

N = (Nx , Ny , Nz ), приложенная в точке контакта с поверхностью (см. рис. 19). Тогда система (4.1) примет вид:

44

Рис. 19. Схема скольжения по дуге

Моменты инерции твердого тела относительно любых осей можно определить, если известны направления его главных осей инерции и моменты инерции тела относительно этих осей [9]. Для рассматриваемого случая (см. рис. 20) моменты инерции для системы координат Oxyz имеют вид:

45

главных осей, проходящих через центр масс.

Рис. 20. Преобразование системы координат для вычисления центробежных моментов инерции: CxC ,CyC ,CzC – главные

центральные оси; Cx′,Cy′,Cz′ – оси, параллельные Ox,Oy,Oz, и проходящие через центр масс тела

46

Подставляямоментыинерции (4.3) в систему (4.2), получаем:

Но больший интерес представляет уравнение (4.5), которое связывает угол наклона тела (от которого зависят координаты центра масс), угловую скорость и радиус кривизны траектории движения лезвия конька. Следует отметить, что данная зависимость выведена в общем виде и может быть использована для различных геометрических моделей тела человека: при изменении геометрии модели достаточно вычислить координаты центра масс и центробежный момент инерции J yz .

Например, в простейшем случае можно рассматривать тело фигуриста как однородный стержень длины l . Подставляя ко-

На рис. 21 приведена зависимость угловой скорости скольжения по дуге от радиуса окружности и угла наклона тела. Видно, что угловая скорость увеличивается при уменьшении радиуса

47

кривизны и увеличении угла наклона тела к вертикали. Такая зависимость качественно хорошо известна, но модель позволяет исследовать ее количественно и использовать при изучении более сложных элементов, таких как вращения и прыжки.

Рис. 21. Угловая скорость скольжения по дуге в зависимости от радиуса кривизны и угла наклона тела

4.3. Вращение «винт»

Следующим важным элементом в фигурном катании является вращение. Рассмотрим простейшее вращение «винт», которое выполняется в положении стоя. Будем считать, что фигурист вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр масс (рис. 22, а). При этом лезвие конька не прокручивается на одном месте, а описывает небольшую окружность вокруг оси вращения (рис. 22, б). Вращение состоит из нескольких этапов: заход, группировка, вращение в группировке и выезд. Во время захода фигурист скользит по дуге, чтобы набрать начальную угловую скорость ω0 . Затем за счет приближения к оси

вращения рук и свободной ноги (группировки) фигурист увеличивает начальную угловую скорость. Для того чтобы вращение

48

было зачтено и получило высокие оценки от судей, после завершения группировки необходимо вращаться, не меняя положения тела, не менее двух оборотов (для получения более высокой оценки – не менее восьми оборотов).

аб

Рис. 22. Схема вращения «винт»: вид спереди (а) и вид сверху (б)

Для движения будем использовать уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

тов внешних сил относительно оси вращения. В данном случае кинетический момент L(t) = J (t)ω(t) , где J (t) – момент инерции,

ω(t) – угловая скорость. Единственной внешней силой, имеющей ненулевой момент относительно вертикальной оси, является сила

49

трения. При этом M z (F e ) = −μmgd, где μ – коэффициент тре-

ния, d – расстояние между осью вращения фигуриста и участком контакта лезвия конька со льдом (см. рис. 22, б).

Решив уравнение (4.8), получаем:

где J0 – момент инерции до группировки.

Определить зависимость момента инерции от времени можно экспериментально, например используя системы захвата движения. В качестве примера рассмотрим следующую формулу зависимости момента инерции от времени, которая основана на анализе экспериментальных данных:

где J f – момент инерции человека с плотно прижатыми к телу руками и сведенными вместе ногами, tg – время группировки.

После подстановки в формулу (4.9) выражения (4.10) получается зависимость угловой скорости от времени, проинтегрировав которую, можно найти угол поворота и вычислить количество оборотов, которые совершит фигурист.

В табл. 3 представлены экспериментальные результаты, полученные с помощью анализа видеосъемки, и количество оборотов, вычисленное при тех же параметрах с помощью модели. При вычислениях использованы следующие параметры: m = 75 кг,

J f = 1,579 кг м2 , J0 = 3,158 кг м2 , μ = 0,02, d = 0,075 м. Видно,

что результаты моделирования соответствуют экспериментальным данным.

50