книги / Механика твердого деформируемого тела

ции объемных сил X = Y = 0 ; Z =

<Г . Эта система напряжений со ­

ответствует сжатию стержня собственным весогд при объемном

весе

материала

Y .

1 .1 8 .

Сплошное

тело подвержено

равиомерно?иу внешнему

зсо ст о -

роннэму давлению р

Определить составляющие напряжения,

дефор­

мации и перемещения.

= -р

Решение, Нормальное напряжение

по любой площадке

но,

полное напряжение равно -р и направлено

по нормали к

площадке.

Составляющие линейные деформации одинаковы по любым трем в з а ­

имно перпендикулярным осям:

^Х~^у = ^X ~ ~~~£~ ^ ~

Угловые деформации отсутствуют:

fag

=

Ьсе

точки

перемещаются по направлению радиуса-вектора, соединяющего

их

с

началом координат.

Составляющие перемещения следующие:

и ~ Y

ur=~Y(-f~ iù)

1 . 1 9 . Для некоторой точки

тела известен тензор напряжений

10

0

15

0

20

-1 5

15

-1 5

0

10

0

I5|

10 - 10

0

15

|

IÜ

0

0

|

0

20

-I5|

0

20 - 1

■-15

1 +

ü

10

0

I

15

-15

0|

15

-15

0 -

iol

0

0

£01

Тн = Тн° * D;

h Ш=- //?• гозг* -

^ -<vV<s&- ет)2+

* Ь‘&ху * tyz

* TzzZ)l ~ '

550кг^/см*.

1 .2 0 .

Написать уравнение равновесия

бесконечно малого парал

лепипеда, выделенного из тела, которое находится на поверхности

земли и подвержено

силе земного

притяжения (р и с .1 .1 3 ) .

Решение. Определим расстояние между

массами земли М и мас­

сой параллелепипеда

m , выделенного из

тел а:

г

=

Z)Z+ (у,- У)2- + i t - Z ) 2-

- dFÿ = O'; cfFz .o ^ - d o - j> ?du-,

кйМ

где о ---------у-

- ускорение силы тяжести.

Решение. Октаэдрическое

нормальное напряжение

V

=

^

4

^

-

- » * « * .

Определим наибольшие касательные

напряжения:

%

= M - i - W = Щ к гс/ен *;

%

*

л/çfc/v ,

r/2 =

5 кф см 2

Квадрат

интенсивности

касательных

напряжений

Т 1 = ljЬ (ZI

* z}b

* Т у )

=

325КГС/СМ1;

Объемный модуль упругости

К= за

i-10L

=

!,57-10ЁкГс/см2

-Iju)

~ 3(1- 20,3)

Модуль

сдвига

Q=

____ i ----------- = 0,77

10s Ф'см2

2(1 * У)

Удельная потенциальная энергия

объема

и .= —

-

= ---------

—

s-

=

75• Ю'5Ф см2.

ио5

2К

1,67-

13*

Удельная потенциальная энергия изменения формы

ÜM=

т>2

№

_ 2/1- 10~SкОс/см*.

2Q

?

2-0,77

10в

Полная удельная потенциальная

энергия

и = UoS

+ Up =

2/S

Ю‘$ к.Гс/см2.

2 .2 .

Цилиндрический

стержень радиуса л

(р и с .2 .1 ) и длины £

испытывает деформацию,

при которой

h t= Ну=

= ~

~ yt ~ “&&Х >

Нх= Hz =

= Т ' ^ '2Ъ х = Gfax = ^ *

Составляпцие

С* Х

и ^

нанесены на сечение стержня.

Полное напряжение

V=

i / r ^

+ т:г£

= йбу/х^ + у1 - G6jt

стержня.

2 .3 .

Для балки, лежащей на двух опорах

(рис.2 .2 )

и нагру­

женной силой Р ,

составить выражения для полной

потенциальной

энергии системы П, задавшись уравнением изогнутой оси в

виде

тригонометрического ряда. Методом Ритца найти приближенное зна­

чение прогиба

у

в середине пролета, т .е . под местом действия

силы Р .

Потенциальная энергия внешних сил А = Py\x~-i- = C .

По-

этому полная потенциальная энергия упругой балки ^

П = А + U = }i-E }(y " )*c/x -P y \ x = c

(а)

Функцию у = f (X)

О L

принимаем в виде ряда

»

-Д- Л aim

!<Л Х

(б)

y= Z Z û/r s u i - r - ,

к-1

и

удовлетворяющего граничным условиям при .любых значениях Q

1)

Х = 0;

у =. 0; X = £,• у = 0;

2 )

Г = 0 ;

у"= 0

( МА~ 0 );

3)

Х=С;

у"-О

(Мв = 0) .

л

kffix.

п

kæx

~ Г

t »

Ù/")! - 2 ~akon( Jf f t

!f

f

‘*''1f

i * * Sf -

~ 1j2 . ».

Сомножитель

Sin (kfix/ô)

,

входящий в

формулы для

у и

у", превращается в нуль при

X

= 0

и X

= I, TI в с е

четыре

граничных условия удовлетворяются. Полная потенциальная

энергия

после

подстановки

(б) в

(а ) запишется следующим образом:

Li 4

rt-f, 2,,.

П- J ï - E } ^ '

Ч’кип

к—i/Z»»*

- р - и ° к• sin

kJtc

( г )

к-1

к

t

и к

Интеграл от произведений синусов с разными значениями п

в силу ортогональности тригонометрических функций равен

нулю. Поэтому в ряде (г)

подлежит интегрированию только

пере­

менный член sin*(kJCxjt) dz

, получающийся при к = п = 1 ,0 .