книги / Механика твердого деформируемого тела
..pdf
|
1 ) |
сначала эпюры радиальных и окружных напряжений |
(<S>r)pog |
||||||||||
и |
(бт)ра£ |
от |
внутреннего давления |
р |
для трубы |
с |
толщиной |
||||||
стенки |
г 3 - |
гу |
, считая |
ее сплошной |
|
(см . |
р и с.3 ,1 ,£ , |
эпюры f а 2 ); |
|||||
|
2 ) |
затем |
эпюры напряжений |
(&г)м |
и |
(&т)м Д®* внутренней |
|||||||
трубы, |
подверженной наружному мавдутрубному сжимающему |
давлению |
|||||||||||
рм, возникающему от насадки, |
и для |
наружной трубы, подверженной |
|||||||||||
внутреннему междутрубному сжимающему давлению Рм (р и с.3 . 1 ,£ , |
эпю |
||||||||||||
ры |
3 и к ) ; |
|
|
|
|
|
и бт (р и с.3 .1 , а , |
|
5 |
||||
|
3 ) |
полные эпюры напряжений |
0 ^ |
эторы |
|||||||||
и |
6 ) |
получаются сложением ординат указанных двух эпюр с учетом |
|||||||||||
их знаков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= С* Jp a S * |
W |
M } |
&т= |
( ^ p a g |
+ & т)м |
|
|||||
|
Величина междутрубного давления |
|
рм |
определяется из условия» |
|||||||||
что по поверхности соприкосновения труб полное радиальное напряже
ние |
равно суше междутрубного давления |
(&г)м и рабочего на |
||
пряжения |
(6 r)p aS |
, возникающего |
в этом месте сплошной трубы |
|
под действием внутреннего давления р |
• Но, |
так как t&^M в |
||
точке В |
равно рм , |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Рм |
+ ( |
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рм = |
|
<5> |
- |
CetPpaS |
|
|
W> |
|||
|
Напряжение |
(бг)p0g |
вычисляется по формуле (а ) для радиаль |
||||||||||||
ного напряжения по поверхности радиуса J> |
= 1 5 ,5 см |
в |
сплошной |
||||||||||||
трубе |
|
- Tf |
, |
подверженной |
одному внутреннему давлению. |
Пола |
|||||||||
гая |
в |
(а ) |
рн |
= 0 , получаем |
(<?/•)p a f |
- |
-2 0 4 KIÇ/CM2 . |
|
|||||||
|
По формуле |
(б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рм = |
|
|
|
|
- |
(*r)p af е * |
M W * 1. |
|||
|
По этим |
значениям построим |
эторы 1 и |
3 |
. Сложение |
1 я 3 |
|||||||||
дают |
эпюру 5 |
|
полного радиального напряжения. |
|
|
|
|||||||||
|
Определим окружное напряжение |
С&т)м |
от междутрубного давле |
||||||||||||
ния |
Рм |
по поверхности |
соприкосновения труб. |
Для наружной трубы, |
|||||||||||
испытывающей внутреннее даалэнЙе рм (по формуле (а ) |
) , |
|
|||||||||||||
|
в |
точке |
В |
(GT) M = |
496 |
KIV CM2 ; |
|
|
|
|
|
||||
|
в |
точке |
С |
(б ‘т)м |
= |
340 KR/CM^ . |
|
|
|
|
|
||||
Для внутренней |
трубы, испытывапцей только междутрубное давле |
|||||
ние рм , (по формуле |
(а ) |
) |
|
|||
в |
точке |
В |
(вг)м |
> -3 8 0 |
кГо/ом2 : |
|
в |
точке |
С |
(,&т)м |
■ -5 3 5 |
кГс/ом . |
|
|
Окружное напряжение (&т)ра5 |
рассчитывается |
в |
трубе |
в за |
|||||||
висимости от рабочего давления |
р$ |
= 800 кП/см2. |
Алгебраически |
|||||||||
сложив эти эпюры, получим эпюру 5 |
|
полного |
окружного |
|
напряже |
|||||||
ния |
6Т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 .2 . |
|
На вал диаметром |
d |
= 10 см в |
||||||
|
|
горячем |
состоянии |
надета |
рубашка |
(р и с .3 .2 ) , |
||||||
|
|
внутренний диаметр которой был до нагрева |
||||||||||
|
|
ния на 0 ,0 0 1 d меньше диаметра |
|
вала |
d . |
|||||||
|
|
Толщина стенок рубашки 10 см. |
Вал и рубаш |
|||||||||
|
|
ка - стальные ( Е = 2*10® кГс/см2 ) . |
Опре |
|||||||||
|
|
делить наибольшее напряжение в рубашке. |
||||||||||
|
|
Решение. Уменьшение радиуса |
вала |
и |
||||||||
|
Ри с.3 .2 |
увеличение внутреннего радиуса рубашки в |
||||||||||
|
сумме должно дать |
величину зазор а |
меж |
|||||||||
|
|
|||||||||||
ду рубашкой и валом, |
имеющегося до |
нагревания: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,001d |
* |
0,0005•to * |
0,005 см. |
|||||||
|
Для решения задачи можно использовать формулы составных труб, |
|||||||||||
полагая внутренний радиус внутренней трубы |
гу |
= 0 ; |
|
= 5 |
см; |
|||||||
r'j |
= 15 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Давление, передающееся на вал после посадки, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
л |
ES |
' |
1 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
р = - Г |
Г |
|
|
|
|
||||
где |
Л |
Л |
2 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
.у |
- |
? |
= |
2,25-р |
* 890 к/с/см* |
|||||
|
X |
- Го |
А |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
" |
rf |
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшее по абсолютной величине радиальное напряжение в ру башке возникает по поверхности соприкосновения с валом:
|
|
|
<5r |
= -p |
= - |
390 |
к/с/смг |
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшее окружное напряжение в рубашке возникает |
на |
ее |
||||||||||||
внутренней поверхности: ^ |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p l f t г 2 0 |
+ ~г^) |
~ |
1112 |
*®см1- |
|
||||||
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 .3 . |
|
|
При растяжении призматического веса |
собственным весом |
||||||||||
(р и с .3 .3 ), |
как |
известно из |
курса |
сопротивления материалов, |
в |
по |
||||||||
перечном сечении стержня, удаленного на расстояние |
2 |
от |
нижне |
|||||||||||
го сечения, |
возникает |
напряжение |
|
|
, |
где |
$ |
- |
вес |
едини |
||||
цы объема. Все |
прочие компоненты тензора |
напряжений отсутствую т, |
||||||||||||
и поэтому на основании закона 1Ука и закона Цуассона имеем компо |
||||||||||||||
ненты деформации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h |
£ |
у |
sz ~ £y~ |
£ |
>ТХу~ |
|
|
fax" 0 • |
|
|||||
|
Р и с .3 .3 |
|
Проверить, |
возможны ли указанные компоненты деформации со |
|
гласно условиям |
Сен-Венана. Разыскать перемещения и , U , иг. |
|
Решение. При X = О, у = 0, 2 = 1 |
иА= (JA= игА= о. |
|
Кроме т о г о ./ ^ О = 0 , так как вращение в плоскости ХОу
отсутствует.
Деформации будут иметь вид:
l ï = o .
âÿ
du |
V |
~k(jèd x 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i / â ) . l _ f d u \ |
__ |
fox |
|
|
|
|
||
â b v ô t) d x V d z) |
|
dt ? |
|
|
|
|||
J L / d u ) _ |
d |
/du \ |
1 / |
дуи1 |
d/хъ . dfi/z). |
|||
dy \ Jh ) |
|
|
|
|
|
|
dy |
d t > |
l — ( du\ = |
JL (d u _ |
dur\ |
ô[xx |
de^ |
||||
dt ^ d tJ |
dt Idx |
|
d z J |
âx |
' |
âz. ’ |
||
|
de-, |
|
|
|
|
|
|
|
Ш• * ; « |
|
|
|
|
|
|
||
f |
j |
г |
du |
p du ■ |
|
|
||
“ • UA * S h |
dx +J |
~aÿ~+ J |
■d:z> |
d% |
|
|
||
|
|
|
|
0- |
|
|
|
|
Первые три слагаемых последнего уравнения равны нулю. Поэто
му получим:
|
и = - |
J ' г |
XX |
r |
fâ ir . |
р |
Bff , id ir . |
* ш в * |
; |
Первое, второе и четвертое слагаемые в последнем выражении
равны нулю. Следовательно, получим
dur _/диг . |
du |
ди |
ди |
|
дх |
(. дх |
WJ~ |
dx |
~ °х%” дх ’ |
dur = |
du |
dur |
_ |
|
dy |
m |
дх 7 |
Ж |
~ ех > |
иг Л е % с о
При X о, у = о, |
X —i |
и «Г = О; |
||
1 |
= 0 |
г - |
'Г 1* |
> |
~ |
ZE |
|||
Тогда |
|
|
|
|
Ш" ~ 1 |
Г ^ |
с х * * yZ)+ |
* 2 ■ е * ] |
|
3 .4 . Найти главные напряжения, главные площадки и октаэдри ческие касательные напряжения для двух случаев сложного сдвига:
в ) |
^ху~ ^у% |
> |
|
|
|
|
й) |
vzy~ |
vyx = |
% |
: |
= |
* |
Решение, Для случая |
"а ” |
|
|
|||
|
С5 - |
6 261 * 66В - |
6 - = О; |
|||
|
6Т = 0; |
|
|
|
|
|
|
**= |
- v j - |
d |
, |
= |
- 2t* ; |
|
|
Ху |
''ух |
|
|
|
|
6 ® = 0; |
|
|
|
|
|
|
6 s - |
H Z6 = |
0; |
|
|
|
|
6 2 = |
2t2 ; |
|
|
|
|
|
£ — t 55- уП |
; |
|
62 =-Z-\fI |
||
Для случая "б" |
|
|
|
|
||
|
в * « |
0 } |
|
|
|
|
GS = - 3 t 2i
6® =■ 2 t3 ;
(з3 - |
|
|
= |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
б 3 - £ £ % |
- - r V |
- f “T * 0 / |
|
|
|
|
||||
- ^ С б ’ + Ф ) + 6 ( 6 * - ? * ) - Oj |
|
|
|
|||||||
-2 ъЧ б + ъ) + G(6+<C) ( 6 - & * |
0 ; |
|
|
|
||||||
( 6 V r X < 5 ^ |
- |
Sfc - |
T |
2; |
= Û; |
|
|
|
|
|
65 = - t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e i,Z = V 2 1 |
»Г ъ% р Г < ~ 2ъ*~ ; |
|
|
|
|
|||||
6j = 2z ; |
6*2 = |
- ^ |
; |
|
|
|
|
|||
« J , . - f |
: ( « , - « / * ( « i - « j / ‘ ( b - q f t i |
|
||||||||
% „ - j - Щ - « j J * ■* ( « 2 - < * / * № |
- « r J * |
|||||||||
3 .5 . |
Для прямоугольной пластинки, |
заделанной |
"наглухо11 левым |
|||||||
концом и нагруженной силой |
62 |
, отнесенной на единицу ширины вдоль |
||||||||
оси Z и распределенной по правому концевому сечению, |
в сопротив |
|||||||||
лении материалов были получены следующие формулы для напряжений: |
||||||||||
|
|
|
|
Q(С-х) |
вУ •Os |
|
|
|||
|
|
|
|
— J ~ > |
|
|
||||
|
|
|
|
а Щ |
- у 1) |
|
7 - L h i |
|
||
|
|
|
|
|
У |
|
' |
S |
12 |
|
Прочие компоненты напряжения предполагались отсутствующими. Для компонентов деформации сопротивление материалов дает выра жения:
£Х = £ » £y ~ Sl~ 7 Тху=
Уравнение изогнутой оси пластинки имеет вид
- |
_ û |
(t£ . |
. |
4 |
x0~ ï ï j L z |
B J > |
|
Девиация |
Bu |
|
|
|
- Е} |
их 2. J |
|
' • ш |
|||
Проверить, возможны ли указанные выше напряжения и дефор мации. и соответствуют ли они случаю изгиба (р и с .3 . 4 ) . Каким особенностям закрепления левого конца соответствует указанная форма для прогиба? Составить недостающие выражения для переме щения и
Рис. 3 .4
Решение. Дифференциальное уравнение равновесия удовлетворя
ется , если положить, что |
отсутствуют |
объемные силы. |
|
|
Статические условия на внешних поверхностях (на верхней и |
||||
нижней гранях, по |
правому торцу) удовлетворяются, если принять, |
|||
что на правом торце поперечная сила |
Q, распределяется по |
закону, |
||
приведенному Для |
7 — . . |
Из группы уравнений неразрывности |
о стает |
|
ся одно: |
“ |
|
|
|
By1 Bz2 дхду
и оно также удовлетворяется. Для перемещения и » если исходить из закона плоских сечений, имели бы
|
|
U = - |
c |
p |
ÿ |
= |
- |
т ) |
|
|
|
|
|
Однако из геометрических уравнений |
|
|
|
|
|||||||
|
|
F |
, |
|
r |
, |
|
du |
|
3 LT |
|
|
|
u - J e x dx, |
a ^ J^ dy , |
Г х у " ^ * |
âx |
|
|||||||
|
и ’ - ц У ( Ь - - % - ) * h W > |
|
|
|
||||||||
|
а = - щ |
У |
|
h * ' |
|
|
|
|
(а ) |
|||
|
* |
|
|
|
|
|
||||||
где |
// Су) и |
fa te) |
- произвольные функции. Для их определения |
|||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л г = |
' |
â l |
É . |
*•, |
, |
|
|
1 |
|
|
|
|
дх |
Е/ |
’ 2 |
+ |
h Cx) * |
|
|
|
|
|||
|
i l _ |
|
Û |
/ , |
хМ |
û |
*'/ |
\ |
I |
|
Са') |
|
|
ây |
|
В} ^ Х~ Т ' * Е 2 |
|
|
|
|
|||||
|
Подставим ( а ') в геометрическое уравнение: |
|
|
|
||||||||
|
А г |
|
Л / |
(Itjv)Q |
( h 1 |
„ l ) |
|
|
|
|||
|
а с |
W |
~ |
W |
~ *•“ |
|
|
|
|
|
||
и сократив на |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
||||
|
♦ |
|
|
|
|
|
-(/ < ■ > > 7 - - |
( ' |
*ju)y |
|
||
um после перестановки членов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
% |
Ф |
|
у |
^fi Ш~ ^Y~+(1+JJ)y4=(1+ju) j - ; |
(б ) |
|||||||
В квадратных скобках стоят функции, зависящие: первая только от X , вторая только от у ; но так как £ и у произвольны и между собой независимы, то равенство (б ) может сущ ествовать только