книги / Механика твердого деформируемого тела
..pdfПосле вынеовния из-под знака первой суммы выражения (г) со множителей, не зависящих от к >его можно переписать:
Для нахождения Qu |
приравняем к нулю |
д& |
, т.е. |
|
~3aZ |
||||
|
42- |
U 1 |
•£ |
******P |
к-1 |
* О |
||||
dak |
k=ï |
|
|
|
|
с |
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qu= |
|
J |
L |
sùnÇkJpc/â) |
|||
|
|
|
к |
|
|
к* |
(е) |
||
|
|
к |
s * E J |
|
|
||||
Следовательно, |
ряд (б), |
дающий приближенное выражение урав |
|||||||
нения изогнутой оси, |
будет представлен так: |
|
|||||||
|
Ц= |
№ Ъ 1 |
|
|
. . . кЯС „;„кЯХ |
||||
|
|
«- «f •~тт* |
|
* ÜLft л |
SLI7 р |
||||
|
* |
Л Ч } |
к “ |
k *î |
|
* |
* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
Этот ряд сходится быстро. Если С —-g- |
• Т - -j~ • получим |
||||||||
величину прогиба |
у |
в середине пролета: |
|
||||||
Та < |
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
ч ф W |
Если взять только первый член |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 Р £ 3 |
|
|
P t3 |
|
|
||
г * J L |
" ~Ш 7 ~ Ж Щ • |
|
|||||||
то приближенное решение отличается от точного:
ре3 Х- L ~ ш ? ’
г
всего на
. юо% = Ш % ,
m m ь
10с*
!
г ÿ
шiъ
щ ы/ОООьс/с*
Рис.2.3
2.4. |
Пластинка, вмещая размера, |
показанные на р и с.2.3, растягивается |
|
усилиями Ç. |
, распределенными по ги |
перболическому закону б*о(1- у^/61). Методом Ритца получить приближенное вы ражение для напряжений в любой точке,
используя два члена ряда. |
Построить |
эшору 0Х в сечении 1 -1 |
и на кром |
ке. |
|
Решение. Полная потенциальная |
|
энергия пластинки толщиной |
dz - I , |
при 0g = 0 имеет вид |
|
n=JJUdxdy-1=jg-‘Jf[& & ^<fy+2(fy/)z£gjah;dy. (а)
Это выражение содержит как потенциальную энергию деформа ции U , так и работу внешних сил А , поскольку напряжения 6 и t , действующие на контуре, удовлетворяют следующим гранич ным условиям:
при X * t t |
-В < y<+btXy = 0 ; вх =(},(1-у*/бЬ> |
при У=±Ь |
-t < Х< + tVZy = Gy = 0 |
Таким образом, внешняя нагрузка входит в выражение полной потенциальной энергии системы.
Распределение напряжений в плоской задаче по теореме Мори са - Леви не зависит от упругих постоянных материала. Поэтому в выражении (а) можно положить ju * 0, тогда
n = jÇ -S J0 4 * <** * ieXy)dxdy |
( В ) |
|
Из уравнений |
6-- , £ * О Сi'yj |
1, 1 ) следует, что |
напря- |
|
женил выражаются через функцию Эри: |
|
|
|
||
6*. |
â^u _ д^д> |
д 2и _ â*ip |
д 2и |
д 2(р |
(с ) |
ду2" ду1 ’ |
Эх2 ■ дх* >тху~~Шу " |
âxây |
|||
Функция (р выбирается, чтобы удовлетворять условиям на контуре. Примем ее в виде ряда
|
(р - |
у>0 + |
+ ^2/2 + |
* an.in |
(d) |
|
ч>= т ■ |
0 ■f •i r J » h = ( * * - - ^ |
|
||||
f r c x i - t b c y i - ô 1)**'* |
h |
= / / Л |
|
|||
При |
дг = ± £ |
- 0 ; |
СР= % ; |
|
|
|
|
^ ■ • 0 “ v O - j r ) ; Ъ у - |
|
||||
нри |
у - |
ii~ O', |
Gy = |
0 |
|
|
Если |
ограничиться двумя членами ряда, то |
|
||||
|
|
|
( x l - e V W - l W a , ; |
( . ) |
||
Величина параметра О] определяется из условия экстремума полной потенциальной энергии
Записываем производные:
j j r = Щ ( у 2-&2) 2(х * - б 2Х) ;
j g f = Щ ( у 2 - S s) 2(3 x 2 - t 2) i
"W ~ "r'9"j[r * Щ (У3- Р у К * 1- &*)* >
=ÇÛ~"jr) * tofCJy*- Р)(х1- Р )г;
^ ш щ |
( г '- с * * н у * - * у * ) |
Следовательно, |
|
R --jg-Ц И Щ у Ч У и ^ - с 1))1* [ f ( f - £ ) +
* Щ х ‘ - е ¥ и / - 1 гЛ г* г г-tto№>-ebXy’-Styfldxd!/.
« ( j y t - t 1) * t y C C t t - W l t f - ê * ) ] 1 *
* nsea'Utf-etzXy5 ■ slÿ)]l i dxdy
Решая последнее уравнение относительно Л |
имеем при |
t*Zè
4 * ê f e ' f â i j S £ ( g . / . - $ - ( £ y ] =e>œ s , - w
Выражения для составлящ их напряжений принимают вид
бх = $ 0 '- ф :) + Ц ( х * - Р ? (зу*-6*>'>
%=Щ(уг-3*)*(Зх*-ег);
% = - Щ (xsPzKy1Ру) ■
В сечении I - J |
х - О, |
Результаты представлены на р и с.2 . 4 .
2 .5 . |
В точке |
упругого |
тела заданы тензоры напряжений в |
||
осях X , у , |
Z |
|
|
|
|
|
Т |
1000 |
-7 5 0 |
-5 0 0 |
|
|
-7 5 0 |
-5 0 0 |
-2 5 0 |
|
|
|
|
-5 0 0 |
-250 |
500 |
|
В главных осях |
|
|
|
|
|
|
7 |
1595 |
0 |
0 |
|
|
0 |
217 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
-8 1 2 |
|
Вычислить удельную потенциальную энергию через напряжения |
|||||
по площадкам |
x y t и через главные напряжения. Составить |
выра |
|||
жения для потенциальной энергии изменения формы и объема, |
если |
||||
Е = 2 * 1 0 ® к Г с / с м = 0 ,3 .
Решение. Удельная потенциальная энергия через напряжения по площадкам хуъ запишется следующим образом:
U - - j £ - is x * бу + б%~ ty fix fy * |
W x ) * |
|
+ 2(1+juKT*y+ vy^ |
+ v*x ) l ; |
|
через главные напряжения |
|
|
U —•jg С С1" |
* &2 * ^ 5 ) |
* |
* ( t * / 9 t ( 6 f - S2) 2 * (&2 г * з ) * * (ff5 |
” |
|
Потенциальная энергия изменения объема |
|
|
U г = ? Ш - = Л ___ L /К + в0 + 6г)1 у
oS U |
ÎK 9 4 2 3 |
где
3 (f-2 ju )
Потенциальная энергия изменения формы
и? = ~ПГ = T Q - T tle< -ei ) i * I b - t J + V s - * Р г 1
Подставляя |
значения напряжений |
в |
со о т ве тст ву й т е формулы, |
||
получим: |
|
|
|
|
|
U = 0 ,9 8 3 3 кГо/см2 , Ucp - 0 ,9 5 |
кГо/сы2 , |
Utf |
= 0 ,0 3 3 3 кГс/см2 . |
||
2 .6 . Призматический стержень испытывает чистый и зги б . Ось 2 |
|||||
направлена вдоль |
оси стержня; |
<5^ = |
Мх / } = |
G . |
|
Составить выражение для потенциальной энергии единицы длины стержня.
Решение. Записываем напряжения:
еу=0-> %=Мх / ] = 0 -
^ху ~ ^ух ~ VXX ~ 0 •
Определяем октаэдрические напряжения:
% + еп + 9г 6
окт 3 X
Квадрат интенсивности каоательных напряжений.
T‘ =T lTlî * га *г‘г>=т1(т)‘ (т )]*Т -
Объемный модуль упругости
е___ д = _ ? ___
*3(1 -Zjû) ' и Ю +J*)
Удельная потенциальная энергия
U ---------- |
W T |
SC |
2 £ |
Получим это значение, исходя из понятия полной потенциальной энергии:
и = S J ! udrdydt - y J ^ d F d t ^ ^ d c j d i . ^ ,
а на единицу длины
UИ*
Т= - Щ
2 .7 . Используя теорему о равенстве работы внешних сил и потен циальной энергии деформации, определить перемещение шарнира А .
Решение. Работа внешних сил
_ РЛА Л =
Энергия деформации каждого из стержней
u .JÜ ÏL
Ul IC F
Эта формула получена на основании теоремы Клапейрона:
где & - удлинение элемента. |
|
|
dU = |
аЧг |
Л |
2EF |
или U = згг |
|
Энергия деформации всей системы
6/ = Щ
Усилия в стержнях
Длины стержней
С/ С2 СД УЯ Энергия деформации
/у_ о (P/Zcosd)2- Ch/coSci)
2EF
A = U ,
M A - (.P/ZcO?JL)2-(h/CQS*L)
2 EF
откуда
j - |
p * |
* |
2 £ f c w U |
3 |
.1 . |
Определить, пользуясь третьей теорией прочности (наи |
|||||
больших касательных напряжений), |
наружный радиус |
r j |
составной |
||||
трубы |
(р и с.3 .1 , О) , |
подверженный |
внутреннему давлению |
р |
= |
||
= 800 |
Klc/аи2 , |
если допускаемое напряжение Z6] |
не должно |
превы |
|||
шать 1500 KÎÇ/CM^ . Построить эторы радиальных и окружных напряже |
|||||||
ний по |
сечению |
А- |
С трубы. |
|
|
|
|
Реш ете. Поскольку материал трубы испытывает |
плоскую дефор |
|
мацию ( |
■ 0 ) , то можно решение упростить. Для |
внутренней |
трубы наиболее напряженными являются точки на внутренней поверх
ности. в которых радиальное и окружное главные |
напряжения |
(рис. |
|||||||||
3 . 1 , (Г) одновременно достигают наибольшей величины. Так как |
в |
||||||||||
точках окружное напряжение больше, |
чем радиальное, 6Г ~ - р , то |
||||||||||
<3у = вт; |
^2 = 0 ; |
б5 = |
0Г - |
-р = - S00 кЩсмЬ. |
|
||||||
Условие прочности по третьей теории имеет вид |
|
|
|
||||||||
|
0f |
- |
er3 |
< |
i ff ] |
|
|
|
|
||
или для исследуемых точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
«,г |
- |
1-р ) |
* с е ] , |
|
|
|
|
|||
о тк у д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?т = [ в ] |
- р = |
(500 - 3 0 0 = 700 кГс/см*■. |
|
||||||||
С другой стороны, на внутренней поверхности трубы, |
подвер |
||||||||||
женной внутреннему и наружному давлению, |
окружное напряжение |
||||||||||
, |
P fi |
- Purf |
, |
/ |
C P s-fk)rjr* |
|
(a ) |
||||
*r~ |
|
Л/ |
|
|
|
rH ~ Ф |
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r f |
|
|
|
|
|
|
||||
Решая это уравнение относительно Рц , получим |
рн |
= |
|||||||||
= 362 K I^'CM2. Это давление - |
внутреннее для наружной трубы, |
для |
|||||||||
которой наиболее напряженными точками являются точки |
В |
на |
ее |
||||||||
внутренней поверхности. Составляем условие прочности, |
получаем |
||||||||||
0Т для точки В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gfi |
<5jj = 0; |
|
& з ~ б г ~ ~ |
М 2 кГс/см*. |
|
|||||
вт» С 6] * в |
1500 ~ 36 Z = |
1130 кГс/см*. |
|||||||||
Теперь, решая уравнение |
(а ) |
относительно |
, |
с |
учетом |
||||||
6Т = 1138 кК/см2 , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гн= 21,3 см
Эшоры радиальных и окружных напряжений строятся отдельно (р и с .3 .1 ,6 ) :