книги / Основы математических знаний для изучения физики
..pdfмы имеем так называемую задачу Коши. Решением задачи Коши является
формула Д\Аламбера:
„(О,,) - |
+ *•■<*+ и >+ -!-'Тф,д а . |
(4.53) |
^^ С х-а
Из этой формулы видна очевидная однозначность решения и его непрерывная зависимость от начальных условий. Формула описывает обычное (классическое) решение задачи в предположении, что функция ср0(х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а функция Ф^лО-до первого. При решении конкретных задач функции, описывающие начальное состояние, могут и не удовлетворять упомянутым условиям гладкости. В этом случае вводят понятие обобщенного решения как предела некоторой последовательности, сходящейся к заданному начальному условию. Мы не будем углубляться в соответствующие математические тонкости этого понятия, отсылая заинтересованного читателя к специальной литературе [6].
Для волнового уравнения типичными простейшими решениями являются гармонические функции
м(/,х) = я, sin(Ax - CD/) + а2sin(Ax+ со/), |
(4.54) |
где я,, а2 - амплитуды волн, распространяющихся в противоположных
направлениях; к - волновое число, к =2%!Х\ X - длина волны, социк лическая частота.
Решения вида (4.54) описывают плоские волны, фронт такой волны (координаты с одинаковым значением фазы) представляет в пространстве плоскости перпендикулярные оси х . Приравняв фазу первого слагаемого нулю, получим значение фазовой скорости
К |
х _ со _ 2ттл _ |
_ X |
(4.55) |
|
1~Т~2п/Х~~П ~ Т ' |
||||
|
|
|||
где п - частота колебаний; Т - период колебаний, Т -М п .
Воспользоваться решениями вида (4.54) для задачи Коши можно, вспомнив, что начальные функции можно разложить в ряд Фурье, и воспользовавшись принципом суперпозиции. Мы опишем подобный подход для полной начально-краевой задачи.
Решения вида (4.53) описывают распространение возмущений для бесконечной струны. В случае конечной струны необходимо учесть граничные условия на концах струны. Будем полагать, что имеем дело со струной конечной длины / с закрепленными концами
u(t90) = 0, u (tj) =0. |
(4.56) |
Формула Д’Аламбера годится и в этом случае. Однако необходимо учесть, что решение должно быть определено лишь в интервале по х от нуля до /, и потому необходимо уметь учитывать отражение волн от концов струны. Обычно это не делают, а решают новую начально-краевую задачу методом разделения переменных.
Метод разделения приводит к двум уравнениям:
*■ + * * = 0, *(0) |
= 0, * (0 = 0, |
(4.57) |
Г + А.с2Г |
= 0. |
(4.58) |
Первое уравнение с выписанными граничными условиями дает задачу Штурма - Лиувилля, которая была разобрана в разделе 4.3. Решение этой задачи дает набор собственных функций и собственных значений:
|
Jf„(x) = sin(wcr//), |
Хп= |
j |
, п = 1,2, |
|
(4.59) |
|
Теперь необходимо решить уравнение (4.58) при значениях параметра |
|||||||
разделения |
\ =\ п. |
Общее |
решение |
(4.58) |
выражается |
через |
|
тригонометрические функции вида |
|
|
|
|
|
||
|
т„(0 = A cos^-ycrj + Впsinj^yC/j. |
|
(4.60) |
||||
Коэффициенты этого уравнения пока произвольны. Они определятся с помощью начальных условий и представления функций, задающих начальные условия в ряд Фурье.
В силу принципа суперпозиции решений общее решение может быть представлено рядом
«(/,*)= I f |
. frm |
Л |
(4.61) |
|
\ l |
J |
|||
|
||||
|
|
Требуя выполнимости двух начальных условий (4.52), приходим к формулам для вычисления коэффициентов:
Л = 7 J<Po(*)-sin[y*jdx, в„ = _ ^ J(p| W .s in ^ A dx. |
(4.62) |
Формула (4.61) с коэффициентами (4.62) дает решение начально-краевой задачи для струны. Его можно записать в эквивалентном виде с одной тригонометрической формулой, содержащей время:
|
u(t,x) = g V 4 2 + # |
• c o s ( ^ / + 8, J • sin\^ j-x J . |
(4.63) |
|
^ |
^ |
Ш rV2 |
- |
/77ГС |
В этой |
записи Cn=^An + Вп - |
амплитуда л-ои гармоники, |
(0п=~ ----- |
|
циклическая частота гармоники. Самая низкая частота (самый низкий тон)
ПС
колебаний соответствует первой гармонике C0j = — . Вес последующих
гармоник образует тембр звучания струны. Как видно из решения, тембр звучания зависит от способа возбуждения струны или, по-иному, от начальных условий.
Мы подробно рассмотрели решение одномерного волнового уравнения. Находить решение двумерных и трехмерных волновых уравнений в общем случае, конечно, сложнее. Однако следует помнить, что решения вида (4.54) годятся и для трехмерного уравнения в случае так называемой плоской волны, не зависящей от других координат.
4.6. Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера описывает квантово-механическое поведение
микрочастиц. Оно имеет вид |
|
||||
А9Ч? |
= ~ - № |
+Щ г,о, |
(4.64) |
||
/ |
dt |
||||
1т |
|
|
|||
где |
h = h / 2 n , h - постоянная Планка; / - мнимая единица, / = V—Т;/г/ - масса |
||||
частицы; U (rj) - |
потенциальная энергия частицы в рассматриваемом силовом |
||||
поле; |
А - оператор Лапласа; |
VF - искомая волновая функция. Уравнение |
|||
справедливо для частиц со скоростями гораздо меньше скорости света (v <$:с).
Важно понять, что волновая функция позволяет лишь вычислить вероятность нахождения частицы в интересуемом объеме по формуле
7>= Jl^ fd F |
(4.65) |
V |
|
В общем случае задача нахождения волновой функции оказывается очень |
|
сложной. Сложность решения определяется |
потенциальной энергией поля |
U (r,t), геометрией области и граничными условиями. Здесь мы рассмотрим простейшие задачи, связанные с решением уравнения Шредингера.
Для большого числа физических явлений микромира в постоянном по времени потенциальном поле важно найти стационарное решение уравнения Шредингера. Соответствующее стационарное уравнение Шредингера получается методом разделения переменных при условии, что волновая функция уравнения может быть представлена в виде произведения двух
функций: |
|
|
|
|
|
|
= |
|
(4.66) |
Подстановка (4.66) в уравнение Шредингера (4.64) дает соотношение |
|
|||
h 1 |
5ф |
h 2 Ay |
и |
(4.67) |
i <р(/) |
at |
= о-------- и(*>У>*) = -W |
||
2т у |
|
|
||
с константой разделения W , имеющей размерность энергии. Соотношение (4.67) распадается на два:
h 1 а р , |
w |
i <p(0 dt |
|
h2 Ay -U (W |
) =-W |
2m v|/ |
|
(4.68)
(4.69)
Уравнение (4.69) называют стационарным уравнением Шредингера.
Обычно его записывают в виде
Д\|/ + -^-(W - U)\\f = 0. |
(4.70) |
h~ |
|
Функции, удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера, называют собственными функциями, а значения энергии W , для которых существуют собственные функции, называют собственными значениями. Как видно, ситуация напоминает задачу Штурма - Лиувилля.
Решение уравнения (4.68) для временной зависимости <p(f) имеет вид
ф(О = ф(0)-ехр1- jW t |
(4.71) |
Функция описывает колебательное решение. Увидеть это можно, если вспомнить знаменитую формулу Эйлера
exp(/z) = e,z = cos(z) + /sin(z). |
(4.72) |
Применение формулы Эйлера к функции (4.71) дает следующую |
|
зависимость: |
|
Ф(0 = Ф(0) • (cos(cor) + /sin(©0)> |
(4.73) |
где © - циклическая частота колебаний, (o=W /h.
Рассмотрим теперь конкретные ситуации. При свободном движении частицы (потенциальная энергия U =0) полная энергия частицы совпадает с ее
кинетической энергией |
|
W = mv |
(4.74) |
Направим ось х вдоль движения частицы. В этом случае стационарное уравнение Шредингера записывается в более простом виде:
|
д \ |
(2m W \ |
. |
|
(4.75) |
|
а ? Ч - р - > ' 0' |
|
|||
|
|
|
|||
Общее решение этого уравнения таково: |
|
|
|
||
\\f(x) = с, ехр(/Ах) + с2exp(-ikx), |
к = yjlmW / h . |
(4.76) |
|||
Вспоминая полное значение волновой функции (4.66), имеем |
|
||||
4f(t9x) =Cj ехр(-/(©/ - Ах)) + с2ехр(-/(©г + Ах)). |
(4.77) |
||||
Видно, что это решение является суперпозицией двух монохроматических |
|||||
волн с частотой |
co = W /h , |
распространяющихся |
в противоположных |
||
направлениях. Таким |
образом, |
свободная частица в |
квантовой |
механике |
|
описывается плоской монохроматической волной. При этом длина этой волны соответствует длине волны Де Бройля. Действительно, согласно введенным обозначениям имеем
X 2тс_ |
2nh _ |
h |
h_ |
(4.78) |
к |
yjlmW |
-JlmW |
mv |
|
Рассмотрим второй пример точного решения стационарного уравнения Шредингера (4.75) для так называемого случая потенциальной ямы. В этой задаче потенциальная энергия частицы внутри потенциальной ямы (ящика) равна нулю, а за пределами ящика - бесконечности:
£/(*) = 0, х е [0,1]; {/(*) = «, *е[0,£]. |
(4.79) |
Постановка этой задачи является упрощением (моделью) задачи о поведении электронов внутри металлов. Бесконечная высота потенциального барьера упрощает задачу нахождения решения. Мы рассматриваем одномерный вариант задачи, хотя задача легко может быть решена и для трехмерного «ящика» размером Ц х ^ х Ц .
При сформулированных условиях нам необходимо решить стационарное уравнение Шредингера (4.75). Бесконечность потенциальной энергии за пределами потенциальной ямы позволяет считать, что вероятность обнаружить
частицу вне ямы равна нулю, и потому можно положить, что |
|
\|/(0) = 0, у(/,) = 0. |
(4.80) |
Отметим, что в случае конечного потенциального барьера за счет туннельного эффекта нельзя использовать простые условия (4.80). Легко проверить, что общее решение уравнения (4.75) имеет вид
|
|
|
\|f(x) = CjCOs(fct) + с2sin(Ax) |
(4.81) |
|
с |
волновым |
числом k =2nlX = yl2mW/И и |
неопределенными |
пока |
|
коэффициентами |
с2. Использование граничного условия при х - 0 приводит |
||||
к |
тому, что |
коэффициент при косинусе должен |
быть равен нулю: |
с, = 0. |
|
Граничное условие на правом конце интервала (x - L ) требует выполнения равенства
Равенства (4.82) ведут к важным следствиям. Обсудим эти следствия. Оказывается, что волновое число может принимать только дискретные значения, отмеченные номером п :
И = 1,2, |
(4.83) |
Дискретность волнового числа приводит к дискретности длин волн Де Бройля:
Хп=2L/n, п =1, 2, |
(4.84) |
Физический (а точнее геометрический) смысл требования (4.84) весьма прост - на длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн. Квантование волн приводит к важному выводу - о квантовании полной энергии частицы
Wn = |
h2 |
n2h2 /7 = 1, 2, |
(4.85) |
|
Ъпк2 |
8mL2' |
|
Таким образом, энергия микрочастицы в потенциальном ящике не может принимать любые значения, а может принимать только «разрешенные» - квантованные значения согласно (4.85). Этот вывод справедлив и для многих более сложных задач квантовой механики. В частности, он справедлив для квантовых состояний электронов в атомах; этот факт четко подтвержден линейчатым спектром атомов и молекул.
Полезно уметь делать оценки из полученных формул. Вычислим для примера разницу между соседними энергиями частиц в потенциальной яме:
AfVn= WnM—fV„= (2n + Y)AfV0, A^0= - ^ - . |
(4.86) |
ътЬ~ |
|
Для электрона при L = 1 Ангстрем = КГ10 м, А^Г0«0,68эВ. В случае
размера L - 1 см эта величина ничтожно мала (AW0«0,68 10~|6эВ). Из этого примера видно, что разница уровней энергии значима лишь для размеров порядка размеров атома. При больших размерах квантованием можно пренебречь и считать, что допустимы любые (непрерывные) значения энергии.
4.7.Контрольные вопросы к главе 4
1.Чем отличается уравнение теплопроводности от уравнения диффузии?
2.Приведите примеры физических полей, которые описываются уравнением Лапласа.
3.Что такое характерное время выравнивания температурных неоднородностей? От чего оно зависит?
4.Как выглядит решение однородного одномерного уравнения
теплопроводности, если w(0,х) = sin(7ix), u(t, 0) = u(t, 1) = 0?
5.Какова идея метода разделения переменных?
6.Что значит задача Штурма - Лиувилля?
7.Какое отношение ряд Фурье имеет к методу разделения переменных?
8.Что такое «невязка» решения? Как она связана с погрешностью решения?
9.Каков математический смысл оператора Лапласа, подсказанный
формулой Рунге?
10.Как выглядит общее решение уравнения переноса?
11.Какие физические процессы описываются волновым уравнением?
12.В каких средах возможны продольные и поперечные колебания?
Список литературы
1.Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих / Я.Б. Зельдович. - М: Наука, 1970.-560 с.
2.Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. - М: Наука, 1980. - 512 с.
3.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М.: Физматлит, 1963. - 660 с.
4.Тарунин Е.Л. Конечно-разностные методы решения уравнений в частных
производных: учеб, пособие по курсу «Численные методы» / Е.Л. Тарунин. - Пермь: Изд-во ПГУ, 2004. - 98 с.
5.Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
6.Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1970. - 711 с.
7. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов,
А.А.Самарский. - М.: Наука, 1972. - 736 с.
8.Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям / Л.И. Мандельштам. - М.: Наука, 1972.-470 с.
9.Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977.-656 с.
Учебное издание
ТАРУНИН Евгений Леонидович, ЦАПЛИН Алексей Иванович
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Редактор, корректор О.Н. Довбилкина
Подписано в печать 30.10.2007. Формат 60x90/16. Уел, печ. л. 6,25. Тираж 100 экз. Заказ № 205/2007.
Издательство Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.