книги / Основы математических знаний для изучения физики

приводят к системам лишь с двумя степенями свободы. Для четвертого примера никаких предположений не требуется.

В общем случае движение систем с двумя и более степенями свободы может иметь сложный вид. Покажем, что в случае систем с линейными связями движение может быть описано как суперпозиция простых гармонических колебаний. Эти простые гармонические колебания называют еще

собственными колебаниями или модами. Моды могут отличаться по амплитуде, частоте и начальной фазе. При определенных начальных условиях может реализоваться одна мода. В общем же случае колебание является линейной суперпозицией мод.

В случае задачи, рассмотренной в начале параграфа, одна мода соответствует продольным колебаниям, а вторая мода - поперечным. Покажем способы, позволяющие угадать моды в более сложных ситуациях. Заметим, что угадывание мод требует физической и математической интуиции. Каждая мода должна, конечно же, удовлетворять дифференциальному уравнению. Для демонстрации способов угадывания мод рассмотрим второй и третий примеры, изображенные на рис. 22.

Начнем рассмотрение продольных колебаний для второго примера, предполагая, что массы тел одинаковы и три пружины имеют одинаковые длины / и коэффициенты жесткости к. Исходя из соображений симметрии, следует рассмотреть решения со следующими свойствами:

В первой моде (3.104) смещение тел происходит в совпадающих направлениях и центральная пружина, оставаясь постоянной по длине, фактически не участвует в создании возвращающей силы. Это позволяет найти

Рис. 23. Нормальные моды продольных колебаний:

а - мода с меньшей частотой; б - мода с большей частотой

частоту колебаний этой моды <й]=к1т. Вид этой моды при смещении тел вправо изображен на рис. 23, а.

Во второй моде смещения тел происходят в противоположных направлениях, тела или сближаются, или расходятся. В этом случае эффективная жесткость пружин оказывается больше, и потому колебания

7//7/77У/ЩГЩ

Рис. 24. Продольные колебания: а - равновесие; б - общий случай движения

г

Мода 2

Рис. 25. Поперечные колебания: а - равновесие; б - общий случай движения; в - мода с меньшей

частотой; г - мода с большей частотой

момент сближения тел показан на рис. 23, б. Общий случай колебаний с двумя модами приведен на рис. 24.

Аналогичные выводы и соображения симметрии для случая поперечных колебаний дают две моды, вид которых представлен на рис. 25. В первой моде тела смещаются в одинаковом направлении, а во второй - в противоположных направлениях.

Заметим, что если снять ограничения со второго и третьего примеров (см. рис. 22), то мы придем к системе с четырьмя степенями свободы. В этом случае общее решение будет являться суперпозицией четырех рассмотренных мод (две моды для продольных колебаний и две моды для поперечных колебаний). Вклад каждой моды определяется соответствующими начальными условиями.

3.9. Сложение колебаний

Тема сложения колебаний является очень важной для понимания таких явлений, как, например, интерференция и биения. Различают сложение колебаний, происходящих в одном направлении, и сложение колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.

Рассмотрим вначале случай сложения колебаний, происходящих в одном направлении. В этом случае при постановке задачи требуется узнать результат сложения

В случае различных частот можно лишь сказать, что величина результирующего колебания не будет выходить за пределы суммы модулей

(х (о < и ,|+ К |).

Четкие результаты получаются для случая совпадающих частот oOj = со2 = со. Именно этот случай мы и будем рассматривать вначале. Очевидно, что результирующее колебание будет иметь ту же частоту:

Амплитуда результирующего колебания и его начальная фаза определяются из (3.106) с применением известных со школы формул тригонометрии.

Покажем простой способ нахождения параметров (3.107) с помощью векторной диаграммы. В векторной диаграмме (рис. 26) колебания изображаются проекцией вектора (его длина равна амплитуде) на одну из осей прямоугольной системы координат при вращении вектора против часовой стрелки с частотой со. Для сложения двух колебаний достаточно изобразить их в этой диаграмме двумя соответствующими векторами в начальный момент времени. После этого нужно выполнить сложение этих векторов графически по

правилу параллелограмма или аналитически, складывая соот­ ветствующие компоненты век­ торов. Результирующий век­ тор будет также вращаться против часовой стрелки с той же частотой. Взаимное по­ ложение трех этих векторов при изменении времени меня­ ться не будет.

При аналитическом сло­ жении имеем

Рис. 26. Результат сложения колебаний при различных значениях разности фаз

А =у[(Ахcos(cp,) + А2cos(<p2))2 + (/4, sin(cp1) -h А2sin(cp2))2 =

Как видно, результат сложения существенно зависит от разности фаз Дф = ф2 —cpj. При нулевой разности фаз (или в общем случае кратной 2я) амплитуда результирующего колебания максимальна (рис. 27, а):

При разности фаз, равной к / 2, амплитуда (рис. 27, б)

Амплитуда результирующего колебания минимальна при разности фаз, равной л (рис. 27, в),

Рис. 28. Биения

у

— = sin(coOcos(cp2) + cos(co/)sin(<P2)*

л

После этого нужно выразить из этих уравнений sin(co/) и cos(coO, а затем

воспользоваться тождеством sin2(со/) + cos2(со/) = 1. В результате получается уравнение траектории

В общем случае это эллипс (рис. 29, а). Форма эллипса в плоскости хОу определяется амплитудами и разностью фаз. При нулевой разнице фаз эллипс

Рис. 29. Результаты сложения колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях

Соответствующие фигуры легко наблюдать на экране осциллографа, если на

11. Чему равна циклическая частота колебаний в электрическом контуре при емкости 1 мкФ, индуктивности 1 мГн и нулевом сопротивлении?

14.От чего зависит вклад мод в результирующее колебание?

15.В каком случае максимальна (минимальна) амплитуда при сложении двух колебаний, происходящих в одном направлении?

16.В каких случаях фигура Лиссажу изображается отрезком прямой, окружностью, эллипсом?

4. ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

4.1. Классификация уравнений математической физики

Основной класс уравнений математической физики составляют уравнения в частных производных. Существует много книг, посвященных уравнениям математической физики. Укажем лишь две из них, которые давно пользуются популярностью [6, 7]. Описание методов решения уравнений математической физики можно найти в учебных пособиях [4, 5, 9]. В общем случае уравнение в частных производных может быть записано в виде

где F - заданная функция от всех указанных в скобках величин - независимых аргументов от х, до хл, искомой функции м(х,, х2, ..., хп) и ее частных производных.

Порядок старшей производной, входящей в уравнение (4.1), определяет порядок дифференциального уравнения. Уравнение (4.1) может быть линейным, квазилинейным и нелинейным. Уравнение называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от искомой функции. Так, например, уравнение

является квазилинейным уравнением второго порядка для двух независимых переменных, если коэффициенты аи, а]2, а22 не зависят от вторых производных, но могут зависеть от переменных, искомой функции и от ее первых производных. Уравнение (4.2) является линейным, если указанные

однородным.

Решением уравнения (4.1) или (4.2) является всякая функция, тождественно обращающая его при подстановке в тождество. Уравнения имеют бесконечное множество решений. Единственное решение образуется при формулировке дополнительных условий.

В этом разделе мы будем рассматривать лишь уравнения второго порядка, которые охватывают многие задачи физики. Приведем примеры уравнений, которые будут разобраны в следующих разделах.

Процесс распространения тепла и концентрации описывается уравнением

Решение этого уравнения зависит от времени t и трех пространственных координат. В уравнении (4.3) использовано сокращенное обозначение для оператора Лапласа Аи . Этим обозначением будем пользоваться и в дальнейшем.

Процесс распространения волн (упругих, звуковых, электромагнитных) описывается волновым уравнением

Обратим внимание на то, что в отличие от уравнения теплопроводности (4.3) здесь используется вторая производная по времени, а не первая.

Стационарное состояние многих физических систем часто описывается уравнением Пуассона

В качестве искомой функции в уравнении Пуассона может быть температура, потенциал, напряженность электрического и магнитного поля.

Выписанные уравнения (4.3)-(4.5) часто называют основными уравнениями математической физики. Их исследования действительно позволяют разобраться во многих физических явлениях и решить конкретные технические задачи.

Математическая задача с физическим содержанием обычно должна удовлетворять так называемым условиям корректности. Задача считается корректно поставленной, если ее решение существует, оно единственно и устойчиво. Под устойчивостью здесь понимают слабое изменение решения