книги / Основы математических знаний для изучения физики

1.9. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) известен в математике со времен Гаусса. Немецкого математика Гаусса (1777-1855) часто называют королем математики. МНК полезен при обработке результатов измерений или наблюдений, содержащих случайные ошибки. Метод позволяет находить приближенные аналитические зависимости по полученным экспе­ риментальным данным. Можно без преувеличения сказать, что МНК позволяет находить исследуемые закономерности. Поэтому необходимо

Типичная постановка задачи МНК такова. Имеется таблица значений аргумента (/ = 1, п) и соответствующих им значений функции у .. Полагается,

что значения функции получены с некоторой погрешностью. Требуется выяснить параметры предполагаемой аналитической зависимости у = fix ) так, чтобы сумма квадратов отклонения табличных значений от этой функции была минимальна. Сумма квадратов отклонения, называемая еще суммой квадратов невязок,

S = 2 > ,(/(c„ с2, ср>х^ - уУ , (1.77) /=)

где ck(k = 1, 2, ..., р) - параметры формулы.

Весовые коэффициенты р> могут учитывать «значимость» (точность) /-го измерения. Если нет каких-либо сведений о зависимости точности измерений

П.Л. Чебышев.

Как правило, для корректности постановки задачи требуется, чтобы число параметров было меньше числа измерений ( р < п ). Найденные параметры

ближе к реальным параметрам при большом числе измерений (л > р).

В соответствии с законами математики минимум суммы квадратов невязок достигается при равенстве нулю частных производных от суммы квадратов невязок S по всем параметрам:

через заданные точки; при этом, по сути дела, решается задача интерполяции. Покажем пример применения МНК для обработки данных по

радиоактивному распаду. Полагаем, что в результате п измерений в моменты

Возникает вопрос -- как с помощью полученных измерений определить константу радиоактивного распада - X I Если использовать в сумме квадратов невязок функцию (1.84), метод приведет к необходимости решать нелинейную систему' уравнений. Решать нелинейную систему уравнений сложнее, чем линейную. Но оказывается, что задача может быть сведена к линейной. Для этого достаточно вспомнить, что в логарифмическом масштабе уравнение (1.84) превращается в линейное

Следовательно, необходимо прологарифмировать значения /V,., положив у, = 1п(А,), и сумму квадратов невязок записать в виде

степень погрешности и убедиться в правильности решения (глаз человека легко заметит серьезную ошибку в аппроксимации).

1.10. Контрольные вопросы к главе 1

1.Чему равна длина вектора, равного сумме двух векторов А\{ 1, 2),

М4, 2)?

2.Чему равна третья производная от функции ехр(2х)?

3.Чему равно значение м(1) при линейной и квадратичной интерполяции, если дано и(0) = 0, и(2) = 2, и(3) = 8?

4.Сколько может быть вещественных корней у полинома третьей степени?

5.Оценить с помощью формулы Тейлора значение схр(0,01).

6.Сколько будет слагаемых в ряде Фурье, если разлагаемая в ряд Фурье функция и(х) = 2sin(x) + 4sin(2x)?

7.Чему равна относительная погрешность вычисления произведения х\х2з если 8, =0,01, 62=0,002?

8.Оцените погрешность вычисления fix ) = ехcos(2x)при х = л/ 2±0,01.

9.Чему равен угол наклона прямой, проведенной методом наименьших квадратов для следующих данных: y(l) = 1, у(2) ~ 2, у(3) = 1?

10.Сколько корней у производной от полинома второй степени?

Заметим, что при интегрировании вектор нормали должен быть направлен в одну и ту же сторону относительно поверхности. В случае замкнутой поверхности следует выбирать вектор внешней нормали, г.е. вектор, направленный вовне из области, ограниченной поверхностью.

Приведем пример простой задачи, связанной с вычислением потока. Пусть солнце расположено над горизонтом под углом 10° Во сколько раз поток солнечного излучения через вертикальную площадку больше потока через горизонтальную площадку? Для горизонтальной площадки угол между направлением солнечных лучей и нормалью к площадке составляет 80°, а для вертикальной площадки 10°. Следовательно, отношение потоков равно отношению косинусов углов к = cos(10°)/cos(80°) «5,7. Примерно во столько раз эффективнее при низком солнце загорать стоя.

Важным случаем потока является поток через замкнутую поверхность. Формально формула для потока в случае замкнутой поверхности также вычисляется по формуле (2.2). Но чтобы подчеркнуть замкнутость поверхности для интеграла, используют другое обозначение:

(S)(S)

Атеперь сформулируем теорему Гаусса (Гаусса - Остроградского) для вектора напряженности электростатического поля Е и покажем, как ее использовать в простейших ситуациях. Согласно этой теореме поток вектора Е через любую (мысленную) замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

Заряды в сумме отмечены индексом «охв», напоминающим, что суммирование касается лишь зарядов, охваченных замкнутой поверхностью. Если задано непрерывное распределение зарядов, вместо алгебраической суммы используется определенный инге^ал от плотности распределения заряда.

Покажем применение этой теоремы вначале для точечного заряда. Выберем в качестве замкнутой поверхности сферу, центр которой находится в месте расположения заряда. Отметим важный момент. Выбор замкнутой поверхности делается таким образом, чтобы облегчить вычисление потока. Этому выбору помогает знание свойств симметрии электрических полей. В случае точечного заряда известно, что вектор напряженности электрического поля направлен по радиусу и величина его на этой поверхности одинакова. Поэтому поток напряженности электрического поля через поверхность такой сферы легко вычисляется следующим образом:

соответствии с теоремой), получим известную формулу для зависимости напряженности единичного заряда от расстояния:

4пе0г2

Приведем еще один пример. Пусть требуется вычислить напряженность поля от бесконечного заряженного цилиндра радиусом R, в предположении, что заряд распределен на цилиндре при г - R равномерно с поверхностной плотностью а . Геометрия подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать также цилиндр с той же осью. Высота цилиндра роли не сыграет, так как и поверхность, и величина заряда пропорциональны высоте цилиндра. При вычислении потока учитываем, что вектор напряженности перпендикулярен оси цилиндра. Поэтому поток через торцевые поверхности оказывается равным нулю и полный поток легко вычисляется (S '-боковая поверхность цилиндра):

O t = c f £ - d S - [ Ег • dS' = £, • 2 я г# .

(S)(Л

Всоответствии с теоремой Гаусса это значение следует приравнять величине заряда на боковой поверхности цилиндра, равное 2KRHG , и поделить

на константу е0, если r> R . При r< R величину заряда следует положить

раной нулю. В итоге получаем, что внутри цилиндра поле равно нулю, а вне цилиндра (г >R)

2.2. Связь потока с дивергенцией

Дивергенция (расходимость) вектора А есть предел отношения потока через замкнутую поверхность, окружающую рассматриваемую точку, к объему, ограничиваемому этой поверхностью, когда она стягивается к точке. Математически это определение записывается коротко:

С помощью этого определения находятся формулы для вычисления дивергенции в точке. Эти формулы зависят от используемой системы координат. В декартовой системе координат

В формуле (2.6) отмечено еще одно обозначение для дивергенции вектора, принятое в векторном анализе. Это обозначение дается с помощью скалярного произведения оператора Гамильтона V на вектор. Оператор ГахМильтона определен соотношением

В цилиндрических координатах г, <p, z дивергенция вычисляется по формуле

где 9 - полярный угол, ф - азимутальный угол.

Русским математиком Остроградским в 1828 году получена формула (опубликована в 1931 году), связывающая величину потока через замкнутую поверхность с объемным интегралом от дивергенции:

Формула Остроградского позволяет перейти от интегральных уравнений Максвелла к дифференциальным уравнениям.

Приведем пример формального вычисления дивергенции. Пусть компоненты вектора заданы формулами:

Ax =xz2, Av=xy2z \ Az =x2y 2z3