книги / Основы математических знаний для изучения физики

Интегралы этого уравнения (решения) называют характеристиками. Характеристическое уравнение распадается на два уравнения:

Знак подкоренного выражения (дискриминант D ) определяет тип уравнения: при D >0 уравнение гиперболического типа, при D =0 уравнение параболического типа, при D < 0 уравнение эллиптического типа. В различных частях области определения переменных уравнение может иметь различный тип. В случае постоянных коэффициентов тип уравнения один для всей области. Следует отметить, что замена переменных не меняет типа уравнений.

4.2. Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности в декартовых координатах имеет вид

где % ~ коэффициент температуропроводности; У|(/, х, у, z) - заданная функция, определяет мощность внутренних источников тепла. Коэффициент температуропроводности зависит от теплопроводности среды а , плотности р и удельной теплоемкости с: %=и/(р-с). Уравнение справедливо для случая постоянных значений параметров а, р, с и, следовательно, %.

В одномерном случае (нет зависимости от координат у и z) уравнение имеет вид

Уже было упомянуто, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа. Убедимся в этом, составив дискриминант D из предыдущего параграфа и полагая, что первой независимой переменной является время, а второй - координата:

D = 4 - а„а22 = 0 - lx = -X < 0.

Для формулировки конкретной задачи, описываемой уравнением (4.9), необходимо задать функцию источников тепла, два граничных условия и начальное условие. В качестве простейшего примера рассмотрим случай без внутренних источников тепла (/[ = 0) с начальным состоянием (/ = 0) в виде гармоники с номером п\

при нулевых граничных значениях на концах рассматриваемого интервала по

хот JC= 0 до х =1\

Легко проверить, что точным решением поставленной задачи является функция

Полезно отметить свойства этого решения. Во-первых, видно, что любые гармоники монотонно по экспоненциальному закону убывают с течением времени. Во-вторых, гармоники с большим номером убывают быстрее. Медленнее всего убывает первая гармоника с п = 1. Из закона убывания первой гармоники находится характерное время выравнивания неоднородности по температуре:

За характерное время амплитуда первой гармоники уменьшается в е раз (е-основание натуральных логарифмов, е «2,718). Согласно формуле (4.13) характерное время пропорционально квадрату длины и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности. Мы сознательно заостряем внимание на этих фактах, так как они позволяют из решения одной задачи с выбранными параметрами (/, %) предсказать характерные времена при других параметрах.

Приведем пример. Допустим, что мы решили задачу об остывании шара радиусом 1 см и знаем, что его максимальная температура убывает в е раз за 10 секунд. Не решая задачу об остывании шара размером в 100 раз больше в аналогичных условиях, можно достоверно утверждать, что максимальная температура большого шара также уменьшится в е раз за время, равное 10 • 1002 секунд « 27,8 часа.

Рассмотрим расширение поставленной задачи, напомнив, что использованное начальное условие было выбрано в виде одной гармоники с номером п (4.10). Расширение задачи позволяет использовать в качестве

В этом случае задача решается с помощью разложения функции (4.14) в ряд Фурье:

Л=1

Из математического анализа известно, что любая гладкая функция может быть представлена в виде сходящегося ряда (4.15). Это означает, что при достаточно большом значении числа слагаемых N погрешность представления (4.15) оказывается малой. После замены функции, задающей начальное условие, в виде конечного ряда Фурье приближенное решение задачи находится с использованием принципа суперпозиции в виде суммы:

Использованный нами принцип суперпозиции (сумма решений уравнения также является решением уравнения) справедлив для линейных задач. Точность решения (4.16) определяется числом слагаемых и гладкостью функции ср(х).

Продолжим расширение постановки задачи, напомнив, что в качестве граничных условий мы использовали нулевые значения (4.11). Если граничные условия первого рода (заданные постоянные значения) имеют вид

решение задачи следует искать в виде

в котором коэффициенты Ап аппроксимируют функцию

Разобранные примеры относятся к граничным условиям первого рода. Ситуация меняется, если граничные условия иного рода. Решить задачу при произвольных граничных условиях помогает метод разделения переменных, который излагается в следующем параграфе.

4.3. Метод разделения переменных

Метод разделения переменных позволяет найти решение многих уравнений математической физики (не только уравнения теплопроводности).

Однако описание метода выполним именно для разобранного выше уравнения параболического типа.

Метод предполагает, что решение уравнения можно представить в виде произведения функций только от одной независимой переменной. В случае одномерного уравнения теплопроводности в декартовых координатах метод предлагает находить решение в виде

где T (t)- функция только времени; Х (х)~ функция только координаты.

Штрихи в (4.21) обозначают соответствующую обыкновенную производную. После деления на %T(t) X(x) соотношение приводится к виду, из которого вытекает, что

где X - параметр разделения.

Утверждение (4.22) следует из того факта, что комбинации функций различных независимых аргументов могут быть равны лишь в случае их равенства одинаковой постоянной. Следствием (4.22) являются два уравнения:

Для уравнения (4.23) нужно использовать начальные условия, а для уравнения (4.24) - граничные условия.

Дальнейший этап метода заключается в поиске решений уравнения (4.24). Рассмотрим вначале случай нулевых граничных условий. В этом случае для нахождения решения Х(х) образуется так называемая задача Штурма - Лиувилля. Известно, что всегда существует нулевое решение Х(х) = 0, которое называют тривиальным. Нас же интересуют не тривиальные решения. Оказывается, что не тривиальные решения существуют не при любых значениях параметра разделения, а лишь при определенных значениях, которые называются собственными значениями задачи. Соответствующие функции, удовлетворяющие уравнению, называются собственными функциями.

С помощью проверки легко убедиться, что решением уравнения (4.24) могут быть тригонометрические функции

граничными условиями для задачи ШтурмаЛиувилля. В случае нулевых

Согласно принципу суперпозиции и предположению (4.20) решением нашей задачи будет сумма решений:

(л = 1, 2, ..., N). Это вносит некоторую погрешность в решение. Оценка этой погрешности может быть сделана путем перебора значения числа слагаемых

N

В построенном решении не определены пока начальные значения Г„(0). Их значения определяются из заданного начального условия

Отсюда видно, что коэффициенты Г„(0) являются коэффициентами разложения известной функции ср(х) в ряд Фурье и могут быть определены путем интегрирования:

I n

Мы разобрали подробно случай граничных условий первого рода. Укажем, что меняется в случае других граничных условий. При других граничных условиях меняется решение задачи Штурма - Лиувилля. Рассмотрим пример с граничными условиями

du(t, 0)

дх

u(t, /) = 0. (4.33)

В этом случае требуется найти решение уравнения (4.24) с граничными условиями Х ’(0) = 0, Х(1) =0. Левое граничное условие подсказывает нам выбор функции

так как производная от косинуса в нуле равна нулю. Правое граничное условие требует, чтобы

Дальнейшие этапы метода аналогичны, но следует помнить, что суммирование начинается с нуля и начальная функция ср(х) раскладывается в ряд не по синусам, а по косинусам.

Заметим, что был рассмотрен вариант с одной пространственной переменной. В случае трех пространственных перменных и области в форме параллелепипеда метод разделения предлагает отыскавать решение в виде

Штурма - Лиувилля. В областях другой геометрии (цилиндр, шар, шаровая полость) удобнее решать задачу в других координатах и также применять метод разделения переменных.

4.4. Уравнения эллиптического типа

Типичным примером эллиптического уравнения является уравнение Пуассона:

Кроме того, будем полагать, что областью определения является прямоугольник (0<дг</р 0 < у < / 2), на границах которого заданы значения искомой функции:

Сформулированная задача (4.38)-{4.39) с заданными значениями функции на границе называется внутренней задачей Дирихле. Если требуется найти решения вне заданной области, задача называется внешней задачей Дирихле. Соответствующие определения годятся и для трехмерной задачи. Доказано, что задача Дирихле корректно поставлена и потому имеет единственное решение.

Существует группа приближенных методов решения краевых задач, объединенных названием методы взвешенных невязок. К числу этих методов относятся: метод Галеркина, метод моментов, метод Ритца, метод коллокации и другие. Не вдаваясь в подробности, опишем кратко основные идеи этих методов. Решение задачи ищется в виде суммы известных (выбранных) функций \\fk(r) с неизвестными коэффициентами:

Выбранные функции называются базисными. Приближенное решение й(г) подставляется в решаемое уравнение, и, таким образом, вычисляется невязка. Коэффициенты ск находятся из условия минимизации невязки. Методы различаются способами минимизации невязки. Успех методов во многом определяется набором базисных функций. Набор этих функций должен обладать свойством полноты (полнота обеспечивает возможность

аппроксимировать любую функцию с заданной точностью). При удачном выборе базисных функций достаточно небольшого количества функций для получения хорошего приближения.

Здесь мы опишем весьма популярный метод решения любых задач математической физики - конечно-разностный метод, или метод сеток. Глобальная идея метода проста и прозрачна. Все производные в решаемом уравнении заменяются конечными разностями, и, таким образом, осуществляется переход к алгебраической задаче. Решение алгебраической задачи, полученное, как правило, на ЭВМ, дает приближенное решение в узлах сетки.

Использование метода сеток требует знания трех важнейших понятий - погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости [4, 5, 9]. Здесь мы не будем углубляться в эти детали, изложенные во многих книгах по численным методам, а укажем лишь сведения, необходимые для раскрытия математического смысла уравнения Лапласа.

Для замены производных конечно-разностными соотношениями вводятся дискретные значения аргументов (сетка). Будем полагать, что мы отыскиваем решение для фиксированных значений аргументов:

В случае квадратной сетки hl =h2=h система уравнений может быть приведена к виду

В случае уравнения Лапласа ( / = 0) система приобретает вид

из которого отчетливо виден математический смысл оператора Лапласа. Оператор Лапласа соответствует операции усреднения - значение искомой функции в каждом узле пространственной сетки равно среднему арифметическому от значений в соседних узлах. Формулу (4.45) впервые получил немецкий математик Рунге.

4.5. Волновое уравнение

где с - скорость распространения волны.

Уравнение (4.46) предполагает, что скорость распространения волн одинакова для волн любой длины (нет дисперсии и нет затухания). В качестве неизвестной функции u(t,x,y,z) для упругих колебаний может выступать какаялибо характеристика отклонения от равновесия (смещение, плотность, давление). В случае электромагнитной волны в качестве неизвестной функции может выступать напряженность электрического или магнитного поля. При изучении волн на воде неизвестной функцией является высота поверхности жидкости.

Скорость распространения электромагнитной волны в пустоте равна скорости распространения света в пустоте с«3*108м/с. В среде с показателем преломления п эта скорость уменьшается в п раз. Скорость распространения звука в идеальном газе выражается формулой

где К - модуль объемной упругости; р - плотность газа; у - отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме; R —универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура газа; р - молекулярный вес газа. При нормальных условиях скорость

распространения звука в воздухе с ~ 340 м/с.

Для твердых тел различают продольные и поперечные волны. Скорости этих волн различны и определяются через соответствующие модули упругости.

Простейшей моделью для изучения волнового уравнения являются поперечные колебания струны. Скорость распространения волн в струне зависит от силы натяжения F , плотности р и площади поперечного сечения

S : c =yl F /(pS). Колебания струны описываются одномерным волновым уравнением

д2и _ 2 д2и

(4.48)

dt2 дх2

Прямой подстановкой доказывается, что общим решением уравнения (4.48) для бесконечно длинной струны является любая функция аргумента

(х ± ct)

Это решение называют решением Д'Аламбера. Первая функция описывает распространение возмущения по оси х вправо (прямая волна), а вторая - в противоположном направлении (обратная волна). Таким образом, решение Д’Аламбера является суммой прямой и обратной волн. Аргументы функции в решении Д’Аламбера определяют фазу. Приравняв фазу первой функции нулю, получим скорость перемещения фазы:

Отметим, что первая функция является общим решением также более простого уравнения - уравнения переноса:

Дифференцирование уравнения переноса по времени дает волновое уравнение (4.48).

Дадим геометрическую иллюстрацию решения f x(x -c t) в плоскости y - f \ ( x - c t ) и х при двух значениях времени / = 0 и t = tl = lfc (рис. 31). Как видно, заданное распределение y(x) = f }(x)передвигается вдоль оси х с пос­ тоянной скоростью с. Соответственно, функция f 2(x +ct) описывает перемещение распределения у(х) = f 2(x) в обратном направлении.

Пока мы обсуждали общие решения волнового уравнения без упоминания начальных условий. При заданных начальных условиях: