книги / Основы математических знаний для изучения физики

Словесная формулировка теоремы Стокса звучит так - циркуляция вектора F , характеризующего какое-либо поле, вдоль произвольного замкнутого контура L в этом поле равна потоку вектора rotF через поверхность S , натянутую на контур L. С помощью теоремы Стокса осуществляется переход от интегральных формулировок уравнений Максвелла к дифференциальным уравнениям.

Из теоремы Стокса вытекает еще одно определение ротора скорости:

Покажем пример применения этой формулы для вычисления ротора «твердотельного вращения» на оси вращения. По формуле (2.15) циркуляция твердотельного вращения по кругу радиусом г равна 2псог2 Поделив это значение на площадь круга лг2, получим, что rotF = 2co, даже не прибегая в этом случае к предельному переходу S —> 0.

Вернемся к случаю, когда ротор вектора в каждой точке пространства равен нулю. Такие поля называются безвихревыми. В теории поля строго доказывается, что векторное поле является безвихревым тогда и только тогда, когда соответствующий вектор является градиентом некоторой скалярной

Функцию Ф(г) часто называют скалярным потенциалом безвихревого векторного поля. Для безвихревого поля криволинейный интеграл (2.13) просто выражается через скалярный потенциал:

Это очень важное утверждение. Оно означает, что интеграл вдоль любой кривой, соединяющей две точки, не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек. На языке работы это означает, что работа силы на пути от точки 1 к точке 2 одинакова для всех траекторий, соединяющих эти точки. Примеры полей с обсуждаемыми свойствами известны со школы. Это поле гравитации и электростатическое поле электрических зарядов.

Из формулы (2.19) вытекает еще одно важное следствие - циркуляция безвихревого поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

2.4.Контрольные вопросы к главе 2

1.Чему равен поток вектора Л(|л| = 4) через площадку cLS-0,2 м2, если угол между вектором и нормалью к площадке равен 60°?

2.Чему равен поток постоянного вектора через замкнутую поверхность?

3.Получите закон Кулона для точечного заряда с помощью теоремы Гаусса - Остроградского.

4.Чему равна дивергенция от точечного заряда?

5.Чему равна дивергенция в однородном поле?

8.Приведите пример безвихревого поля.

9.Какова связь разности потенциалов в двух точках с криволинейным

интегралом?

10.Чему равен интеграл по замкнутому контуру от вектора в потен­ циальном поле?

3. ЗАДАЧИ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

3.1. Простейшие дифференциальные уравнения и их решения

Рассмотрим простейшие дифференциальные уравнения на примере движения материальной точки. Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна вектору результирующей силы, действующей на эту точку:

С точки зрения математики формула (3.2)-это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для трех

где vv0, vv0, vr0 - заданные числа.

Нахождение решений дифференциальных уравнений называют интегрированием. Сложность интегрирования соответствующей дифференциальной задачи зависит от вида результирующей силы. В простейшем случае F - const. Заметим, что это типичная ситуация для задач школьного уровня. Более сложный случай соответствует заданной зависимости вектора от времени и координаты F(/, г ) . Кроме того, сила может зависеть и

от скорости F(t, г , v). Если зависимость F(t, г, v) нелинейная, нелинейной становится и соответствующая задача. Нелинейные задачи, как правило, сложнее линейных.

Решив задачу (3.3)—(3.4), мы получим три функции для трех компонент скорости vx(f), vv(/), vz(t). Если нас интересует и траектория движения, следует

проинтегрировать еще три уравнения первого порядка:

Для выделения единственного решения этих уравнений требуется задать начальные значения координат:

Таким образом, если требуется определить координаты материальной точки как функции времени, нам надо вначале решить (проинтегрировать) уравнения для компонент скорости, а затем решить задачу (5)-{6). Для определения координат часто формулируют задачу в виде трех дифференциальных уравнений второго порядка:

с начальными условиями для скорости (3.4) и координат (3.6).

Заметим, что если компоненты силы зависят только от соответствующей координаты и компоненты скорости, три задачи становятся независимыми. Это не редкая ситуация, и ниже мы так и будем считать.

Коснемся вопроса обозначений. В физике часто производные по времени обозначают точками, то есть полагают, что

Приведем примеры простейших решений уравнений движения вначале для одномерного движения вдоль координаты по х .

Пример 1. Пусть Fx =const = , vx(0) = vx0. В этом случае требуется найти скорость из дифференциального уравнения

Легко убедиться в правильности этого общего решения путем подстановки этого решения в уравнение (3.8) и получения тождественного

равенства. Постоянная в общем решении (3.9) находится из начального условия. С учетом начального условия получаем конкретное решение

т

Подчеркнем, что мы нашли бесчисленное множество решений, соответствующих произвольным значениям т, с,, vx0.

Для нахождения зависимости координаты от времени надо решить дифференциальное уравнение

Общее решение этого уравнения имеет вид

Как и ранее, убедиться в правильности этого решения можно подстановкой его в уравнение (3.11). Постоянная в общем решении уравнения (3.11) определяется из начального значения координаты дг(0) ~ х0. В результате

учета начального значения координаты получаем конкретное решение поставленной задачи:

Поставленная задача решена в общем виде для произвольных значений начальных условий JC0, vx0 и параметров уравнения с{, т.

Пример 2. Рассмотрим задачу о полете снаряда в однородном поле тяжести в предположении отсутствия трения о воздух. Кроме того, предполагаем, что вектор начальной скорости имеет только две компоненты, не равные нулю. При таких предположениях требуется решить два уравнения:

Ось у направлена вертикально вверх, и потому сила тяжести берется со знаком минус. В уравнении для горизонтальной координаты нет никаких сил в соответствии с предположением об отсутствии силы сопротивления. Следует сразу заметить, что в обоих уравнениях можно избавиться от массы. Это означает, что решение будет одинаковым для тел с любой массой. Решение

первой задачи подсказывает нам, что компоненты скорости снаряда будут таковы:

Таким образом, движение по горизонтальной оси равномерное, а по вертикали равнозамедленное. Второе интегрирование дает зависимость координат от времени:

Обратим внимание на то, что решения удовлетворяют всем начальным условиям (по скоростям и координатам). Если в условии задачи заданы величина полной скорости V и угол наклона начальной скорости к горизонту а , то следует определить начальные компоненты скорости по формулам:

Зависимость координат снаряда от времени позволяет нарисовать траекторию снаряда. Можно получить траекторию снаряда в виде зависимости у(х), исключив из уравнений время. Для этого из первого уравнения выражаем время t =( x - x 0)/vxQ и подставляем его во второе уравнение. В результате получаем уравнение параболы

Вновь обратим внимание на то, что получено решение, годное для произвольных значений начальных координат и компонент скорости. Но следует помнить, что это решение справедливо лишь до встречи с преградой.

Найденное решение необходимо уметь анализировать. Очень часто в

отрицательных значений), то из уравнения для вертикальной компоненты скорости находим момент обращения ее в ноль. Этот момент времени соответствует достижению снарядом высшей точки траектории: = vv0 'g -

Подставив это значение во второе уравнение (3.16), найдем высоту полета снаряда

Дальность полета снаряда зависит не только от начальных данных, но и от уравнения земной поверхности. Но часто предполагается, что поверхность ровная и х0= у0 =0. В этом частном случае имеем

Из этой формулы легко выясняется следующий важный факт - максимальная дальность полета (при упомянутых предположениях) соответствует углу a = 45°, так как при этом sin(2a) = sin(90°) = 1.

Пример 3. Уравнение движения легко интегрируется, если сила выражается в виде полинома (многочлена) от времени. Рассмотрим одномерный вариант с одним слагаемым в виде F - a tk (к - целое число). В этом случае уравнение движения имеет вид

dv к

т— = at At

Оно легко интегрируется и дает зависимость скорости от времени:

Д+1

НО~ vo+ т(к +1)

Еще одно интегрирование дает зависимость координаты от времени:

atк+2

х{1) = х0 + v0r+

т(к + \){к +2)

Мы рассмотрели простейшие (но очень важные) варианты уравнений движения, в которых сила была постоянной или зависела от времени простейшим образом. В следующих параграфах мы рассмотрим примеры уравнений движения, в которых сила зависит от координат и скорости.

3.2. Движение центра масс системы материальных точек

Покажем, как математика позволяет упростить уравнения движения системы материальных точек в том случае, когда интересуются лишь положением ее центра масс. Радиус-вектор центра масс системы материальных точек определяется по формуле

При непрерывном распределении массы с заданной объемной плотностью р(г) радиус-вектор центра масс определяется с помощью определенного интеграла по объему тела V:

Если начало координат выбрано в центре масс, то в этом случае из определения центра масс (3.21) следует, что

где г*—радиусы-векторы, проведенные к материальным точкам из центра масс. Таким образом, центр масс - это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс на их радиусы-векторы, проведенные из этой точки,

равна нулю.

Запишем второй закон Ньютона для всех материальных точек рассматриваемой системы:

т\4 т - = ^ + Е л *.

к-2

к=]

При записи этой системы произведена сортировка сил. Внешние силы обозначены заглавными буквами Ff, а силы внутреннего взаимодействия между частицами - малыми f ik. Если интересоваться движением всех частиц, то

возникнет необходимость решать все выписанные уравнения.

Сейчас покажем, что для расчета движения центра масс потребуется решать лишь одно векторное уравнение. Для этого сложим все уравнения системы (3.24):

п л2~ п

(3.25)

/=1 аг /=1

Как видно, в результирующий вектор сил F входит лишь сумма внешних сил. Сумма всех внутренних сил оказывается равной нулю в силу третьего закона Ньютона: f jk = -/* , . Записывая левую часть уравнения (3.25) с учетом

определения центра масс, получаем искомое уравнение

dt

Отсюда следует, что при отсутствии внешних сил или при равенстве нулю результирующей внешних сил скорость центра масс постоянна: vc = const.

3.3. Колебания пружинного маятника

Различного рода колебания широко представлены в нашем мире. Достаточно вспомнить, что без звуковых колебаний мы остались бы глухими, а без электромагнитных - слепыми. Широко распространены колебания и в механике. Неслучайно поэтому физики, механики и математики с давних пор уделяли изучению колебаний много внимания. Книг по теории колебаний множество. До сих пор пользуется популярностью книга академика Л.И. Мандельштама [8], который является одним из создателей нелинейной теории колебаний.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, описывающие колебания в системах с одной степенью свободы. В соответствующих дифференциальных уравнениях будем полагать, что сила зависит только от координат. Одной из простейших механических систем, дающих колебания, является пружинный маятник (рис. 12). При отклонении груза от положения равновесия возникает возвращающая сила, пропорциональная величине отклонения (закон Гука).

Уравнение движения (второй закон Ньютона) имеет вид

В этом параграфе для разнообразия производные по времени будем обозначать точками, как это часто делают в физике.

Рис. 12. Пружинный маятник Ось х соответствует направлению колебаний, начало координат выбрано в