книги / Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения

котором можно пренебречь указанными моментными чле­

совпадающего с неравенством (8.19). Последнее выражает такое же условие в случае действия произвольной нагрузки

Q(s> Р).

В § 9 указывалось, что напряженное и деформирован­ ное состояние меридионального сечения оболочки в общем

Из (13.15) легко найти вектор £/0, т. е. выразить пере­ мещения и, w и их производные через величины (13.13) при t «= О,

Формула (13.20) по своей структуре совпадает с фор­ мулой (9.19), описывающей отдельный участок оболочки в общем случае. Однако между этими формулами суще­ ствует одно различие: квадратные матрицы, входящие в решение (13.20), имеют шестой порядок, а аналогичные матрицы, входящие в решение (9.19),— восьмой порядок.

Алгоритм решения задачи, описанный в § 10, и пред­ ставленный формулами (10.15) и (10.16) полностью приме­ ним и для рассматриваемого случая, только порядок квад­ ратных матриц Qn понижается с восьмого до шестого и

векторы Wh W*f и W* в этом случае состоят из шести эле­

ментов.

Граничные условия задачи при подкреплении краев оболочки упругими кольцами сформулированы в § И для различных гармоник, определяемых числом п разложения внешней нагрузки (2.5), в том числе и для п = О, т. е. для рассматриваемого случая осесимметричной нагрузки.

Вышеуказанным исчерпывается вопрос о решении осе­ симметричной задачи для круговой конической оболочки в перемещениях и и w срединной поверхности.

Решения для цилиндрической оболочки приводить не будем. Укажем только, что для получения этого решения в общих формулах, приведенных в предыдущих главах и относящихся к цилиндрической оболочке, необходимо при­ нять п равным нулю.

§14. Решение задачи в усилиях

Впредыдущих разделах было изложено решение в пере­ мещениях статической задачи для произвольных оболочек вращения при действии нагрузки общего вида и осесим­ метричной нагрузки.

Решение содержало 8 неизвестных начальных пара­ метров в первом случае, т. е. при п > 1 (вектор X в фор­ муле (12.11), и.]5 неизвестных параметров во втором случае

(п = 0). Величины начальных параметров определялись в зависимости от граничных условий задачи по формулам (12.12) и (12.13). В этих формулах вектор Т зависел, как видно из приведенных в § 12 соотношений, от граничных условий и внешней нагрузки, действующей на оболочку. Квадратная же матрица В определялась только геометри­ ческими параметрами оболочки и фактически характери­ зовала взаимное влияние краев оболочки.

В связи с этим необходимо заметить, что при действии на оболочку нагрузки общего вида (т. е. при п > 1) уси­ лия и перемещения оболочки являются незатухающими функциями, в том числе и оболочки с прямолинейным меридианом. Поэтому условия, осуществляемые на каж­ дом крае, оказывают взаимное влияние. Иными словами, зона распространения краевых усилий охватывает всю оболочку и матрица В является нормальной матрицей.

Иная картина наблюдается пои действии на оболочку

вращения осесимметричной нагрузки п = 0. В этом слу­ чае моменты, а иногда и усилия, возникающие в краевых сечениях оболочки с прямолинейной образующей, носят затухающий характер. Здесь имеет место краевой эффект. Зона распространения краевого возмущения зависит от толщины стенки оболочки, радиуса кривизны, угла конус­ ности и может охватывать не всю оболочку, а только ее части, примыкающие к краям. Оболочку в таком случае называют ^длинной» и расчет ведут без учета взаимного влияния ее краев.

Это обстоятельство находит отражение в том, что мат­ рица В вырождается, и выше описанное решение стано­ вится неприемлемым. Поэтому возникает необходимость выяснения вопроса о зоне распространения краевого эф­ фекта в конической оболочке.

Представим с этой целью решение осесимметричной задачи оболочки вращения в форме, отличной от выше приведенной.

Рассматривается, как и прежде, коническая оболочка вращения, толщина которой изменяется по закону,

(14.1)

Оболочка подкреплена меридиональными ребрами, име­ ющими размеры (1.3), и кольцевыми ребрами с размерами

Легко заметить, что уравнения (13.2) получаются из уравнений (14.2) исключением из второго уравнения (14.2) величины NiS с помощью третьего из этих уравнений и перехода к новой переменной t

s

(14.3)

Уравнение совместности деформаций конической обо­ лочки вращения при осесимметричной деформации пред­ ставляется в виде

угол поворота 0j меридиана выражаются через перемеще­

Общее решение задачи состоит из суммы частного реше­ ния, зависящего от внешней нагрузки, и общего решения

ношений (14.9). Используя зависимость (14.14), получаем второе уравнение, связывающее функции. Т? и б?,

Уравнения (14.16) и (14.17) эквивалентны уравнениям равновесия (14.11) и уравнению совместности деформаций конической оболочки (14.12), вследствие чего решение этих уравнений является решением и рассматриваемой однородной задачи.

Уравнение (14.18), или (14.19), к решению которого свелось решение однородной задачи, благодаря специально выбранному закону (14.1) изменения толщины стенки конической оболочки является обыкновенным дифферен­ циальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Как уже отмечалось, принятые исходные зависимости и, следовательно, полученные уравнения, в силу примени­ мости гипотез Кирхгоффа, имеют погрешность порядка hiг по сравнению с единицей, т. е. порядка 1 по сравнению с 62. Поэтому и дальнейшие преобразования будем произ­ водить с указанной степенью точности.

Д ля интегрирования уравнения (14.18) состави ответствующее характеристическое уравнение

в котором коэффициенты Ь, с и d введены для общности изложения. Отметим, что, как видно из формулы (14.21),

вследствие чего коэффициенты Ь, с и d, являющиеся вели­ чинами порядка единицы, пренебрежимо малы по сравне­ нию с величинами порядка №

Корни уравнения (14.22) совпадают с корнями двух квадратных уравнений

Здесь и в дальнейшем подчеркнутые величины прене­ брежимо малы по сравнению с величинами порядка k\

Уравнения (14.24) принимают вид

г/ 2ft26 — d\

и корни их равны

Решение (14.38) уравнения (14.22) имеет погрешность

порядка — по сравнению с единицей или. как отмечалось

выше, порядка 1 по сравнению с ft2, что не выходит за пре­ делы принятой точности.