книги / Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения

= 0.5 [2 (2+ 1) — 2гж(г—^)ь

что всегда меньше (10.14). Отношение чисел (10.17) и (10.14) равно

2?! (2 — 2Х)

(10.18)

2 ( 2 + 1 )

Выражение (10.18) показывает, насколько сокращается число элементов блок-матрицы (10.13), подлежащих вы­ числению, и характеризует снижение трудоемкости при при­ менении форм решения (10.15) и (10.16) вместо формы ре­ шения, представляемой выражением (10.13).

Пусть, например, исходная оболочка вращения заме­ нена 20 отдельными оболочками (г = 20), a zi = 10. Тогда в решение (10.13) входят 210 элементов, подлежащих вы­ числению, а в решения (10.15) и (10.16) только 110 таких элементов.

В дальнейшем будем пользоваться формой решения (10.15) и (10.16), как менее трудоемкой.

§ 11. Оболочки на упругом контуре. Формулировка граничных условий

Как было отмечено выше, усилия и перемещения в ме­ ридиональном сечении оболочки характеризуются вели­

Соответственно этому и граничные условия задачи оп­ ределяются заданием на крае оболочки четырех из этих величин или заданием такого же количества алгебраиче­ ских соотношений, связывающих величины (11.1) между собой.

Так, если край оболочки жестко защемлен, то угол по­

Если край оболочки свободен, то неизвестны его переме­ щения и, v и w и угол поворота меридиана 0, а усилия и момент равны нулю

ные соотношения между указанными величинами, и при помощи этих соотношений удовлетворять граничным ус­ ловиям.

Формулировка подобных граничных условий и вывод

Пусть края конической оболочки подкреплены упру­ гими кольцами (рис. 7). Назовем кольцо, подкрепляющее узкий край оболочки, первым, а кольцо, подкрепляющее широкий край,— вторым. В соответствии с этим в даль­ нейшем все величины, относящиеся к узкому краю, будем отмечать индексом «1», а относящиеся к широкому краю — индексом «2».

Рассмотрим деформацию кругового цилиндрического кольца радиуса г„ при нагрузках, распределенных вдоль его окружности. Если закон изменения нагрузок вдоль

cos rtfi — вертикальная нагрузка;

P« sin «Р

^ sin rtf} — окружная нагрузка; Kcos rtfi

qcosrtP — радиальная нагрузка;

кsin/гр

m cos яр — моментная нагрузка в меридиональных плосKsm rtp костях;

оси кольца перемещаются в пространстве, а само кольцо — закручивается.

Перемещения точек оси кольца характеризуются (рис. 9):

cos п$ — радиальными перемещениями;

кsinnp

cos /ф — вертикальными перемещениями;

ик sin пр

sin пр — касательными перемещениями.

к cosnp

Закручивание поперечных сечений характеризуется

Qcosnp sin /гр

—поворотом (углом кручения) в меридиональных плоек» стях.

Положительными считаются: wK— к центру; ик - сверху вниз; vK— в сторону возрастания угловой коор­ динаты Р; б* — по часовой стрелке, если смотреть вдоль окружности в сторону возрастания р.

Исследованию напряженного и деформированного со­ стояния круглых колец при действии гармонических внеш­ них воздействий посвящены работы 1661 и [67], откуда I заимствованы формулы для перемещений кольца.

Для иллюстрации основных положений излагаемого решения рассмотрим случай действия на кольцо нагрузок вида

В этом случае четными относительно переменной р функ­ циями являются радиальные и вертикальные перемещения точек оси кольца wK и ик, повороты в диаметральных пло­ скостях 6К, а нечетной функцией — касательные перемеще­ ния t)K, так как при действии на кольцо нагрузок

рк sin лр, tKcos np, qKsin np, mKsin np, gHcos np

изменяется лишь вид функций wR, ик, 0К, vK, а именно: wR, ик, бк изменяются по закону sin np, т. e. являются уже нечетными, а функция vK становится четной. Вид соотно­ шений между перемещениями кольца и нагрузками, дей­ ствующими на него, и в первом, и во втором случаях оди­ наков.

Рассмотрим отдельно различные случаи загружения незакрепленного кольца, т. е. кольца, на которого не на­ ложены внешние связи.

А.Осесимметричное загружение (п = 0). Как известно.

Б . Антисимметричное загружение (п = 1). В этом слу­ чае из условий равновесия кольца вытекают соотношения между амплитудными значениями внешних загружений кольца

ГкРк *“

что символически можно записать

В формулах (11.4) — (11.7) введены обозначения:

f K = » A

— площадь поперечного сечения кольца;

/к (11.10)

12

— момент инерции поперечного сечения кольца относительно горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести;

— момент крутильной жесткости кольца, для определения которого приведены в табл. 2 значения коэффициента ак. зависящего от отношения /iK/6K [3].

При выводе соотношений (11.14) предполагалось, что оболочка крепится к волокну кольца 1 (рис. 11). Если обо­ лочка примыкает к другим волокнам кольца, например, к волокну 2 или 3, то в выражении (11.14) перед круглыми

скобками, в которые заключены величины ок\а и ок1.2, знаки необходимо проставлять в соответствии с рис. 11.

Перемещения юк ,, ик ,, vKl волокна кольца, вдоль кото­

Угол поворота меридиана оболочки 0и равен углу пово­ рота поперечного сечения кольца в меридиональной плос­ кости

(И -М )

Выше было рассмотрено свободное кольцо, т. е. кольцо на которое не наложены внешние связи. Однако часто встре­ чаются случаи, когда кольцо опирается на внешние опоры,

препятствующие его свободной деформации. На рис. 13 представлены некоторые возможные схемы опирания кольца подкрепляющего узкий край конической оболочки:

схема 11 — свободное кольцо;

схема II х — на кольцо наложена связь, исключающая

вертикальные перемещения волокна Ах, но не препятст­ вующая радиальным перемещениям этого волокна и пово­ ротам кольца в меридиональных плоскостях;;

схема 111х — волокно Аг закреплено от вертикальных и горизонтальных перемещений и является геометрическим местом центров поворота поперечных сечений кольца; схема IVi — поперечное сечение кольца может совер­

шать только радиальные перемещения.

Кроме того, предполагается, что связи, наложенные на кольцо, не препятствуют касательным перемещениям то­ чек кольца.

Приведенные выше соотношения дают возможность составить условия сопряжения оболочки и подкрепляю­ щего ее узкий край кольца