книги / Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения

Рис. 49.

46 — 50_изображены эпюры нормальных перемещений w,

усилий Т 1,2* 74, Тг и кольцевого изгибающего момента Мг. Укажем,что величины функций 74 и Мг были найдены по второй и пятой формулам (5.1) после вычисления осталь­

ных перемещений и усилий, приведенных в табл. 10.

Изложенный в работе метод позволяет рассчитывать произвольные оболочки вращения, находящиеся под дей­ ствием любой поверхностной и краевой нагрузки. Толщина оболочки может изменяться по произвольному закону вдоль меридиана, в частности скачкообразно. Вся оболочка или отдельные ее участки могут быть подкреплены системой часто расположенных кольцевых и меридиональных ребер. Нагрузка может быть распределенной по всей поверхности оболочки или приложена к отдельным конечным ее частям.

При построении расчетной схемы заданная оболочка вращения заменена системой конических оболочек линейно­ переменной толщины и цилиндрических оболочек посто­ янной толщины.

При выводе разрешающих дифференциальных уравне­ ний для отдельной заменяющей оболочки учтены все вну­ тренние усилия и перемещения оболочки. Д ля ребристой оболочки учтено влияние на ее напряженное и деформиро­ ванное состояние системы меридиональных и кольцевых ребер. Коэффициенты разрешающих уравнений благодаря специальному выбору закона изменения толщины стенки оболочки и размеров подкрепляющих ребер оказываются постоянными величинами. Это обстоятельство дает возмож­ ность построить точное решение систем разрешающих диф­ ференциальных уравнений в виде сходящихся матричных рядов.

Таким образом, решение задачи о деформации отдель­ ной короткой конической и цилиндрической оболочки является строгим в рамках принятых исходных гипотез технической теории. Строгим является и решение для всей

оболочки, если рассматривать ее как систему вписанных конических и цилиндрических оболочек. Погрешность изложенного метода вызывается, следовательно, только изменением геометрических параметров оболочки и приоб­ ретает физическую наглядность, так как всегда видно, на­ сколько принятая расчетная модель отличается от исход­ ной конструкции.

Указанная погрешность расчетной схемы уменьшается при увеличении количества заменяющих оболочек и при­ ближении их геометрических параметров к параметрам соответствующих участков исходной оболочки, что дает возможность получать решения с любой степенью точности.

Сформулированы в матричном виде граничные условия в общем случае, когда края оболочки подкреплены упру­ гими кольцами, находящимися под воздействием раз личных нагрузок. Учтено сопротивление контурных ко­ лец растяжению, изгибу в горизонтальной плоскости и кручению.

Рассмотрены различные случаи опирания колец: сво­ бодное кольцо; шарнирно подвижное и неподвижное опирание; кольцо, перемещающееся только в своей плоскости.

Разработанный матричный алгоритм решения задачи весьма просто осуществляется на электронных цифровых вычислительных машинах (ЭЦВМ), так как применение таких машин дает значительный эффект при решении за­ дач, где многократно производится стандартный набор операций, которым в данном случае являются главным об­ разом перемножение и суммирование матриц.

С другой стороны, при выполнении расчетов по предло­ женному методу на ЭЦВМ отпадает необходимость выпол­ нять наиболее сложную в принципиальном отношении и трудоемкую часть задач теории оболочек — интегрирова­ ние разрешающих дифференциальных уравнений высоких порядков. Подготовительную работу, которая заключа­ ется в вычислении по элементарным алгебраическим фор­ мулам элементов исходных матриц, могут выполнять не­ зависимо друг от друга несколько расчетчиков любой квалификации. Однако и этот этап расчета может быть запрограммирован.

Практическое применение предложенного метода ил­ люстрировано примерами расчета реальных конструкций: ребристой оболочки конического резервуара водонапорной башни, находящегося под действием осесимметричной на­

грузки, и ребристой оболочки камина градирни на дей­ ствие гармонической нагрузки, изменяющейся вдоль мери­ диана скачкообразно.

Исследована сходимость метода на примере решения осесимметричной задачи для гладкой конической оболочки. Сравнение в этом случае результатов расчета, выполнен­ ного по предлагаемому и известным методам, показывает, что если погрешность расчетной схемы не превосходит 7% , получаемые расчетные величины практически явля­ ются точными. Найденные перемещения и усилия в сече­

вующими величинами, полученными по известной упро­

Приведенные примеры свидетельствуют о эффективности предложенного алгоритма при решении наиболее сложных

в подобных случаях раскрываются преимущества предло­ женного метода.

Естественно, область его применения не исчерпывается расчетом оболочек вращения. Модификации метода могут найти применение при решении др угих задач строительной механики, сводящихся к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сп е ц и а л ь н а я

1.А м б а р ц у м я н С. А., К расчету анизотропных цилиндри­

деформашя конструктивно-ортотропних оболонок, «Доповш АН УРСР»,

Расчет гофрированных оболочек, сРасчет пространственных конструк­ ций», 1962, вып. VII.

10. В а й н б е р г Д. В. , С и н я в с к и й А. Л. , Д е х т я - р ю к Е. С., Итерационные алгоритмы и численные задачи теории пла­ стин и оболочек, «Теория пластин и оболочек», Изд-во АН Арм. ССР, 1964.

11.В а р в а к П. М ., Развитие и приложение метода сеток к рас­ чету пластинок, ч. I, К -, Изд-во АН УССР, 1949; ч. II, К ., Изд-во АН УССР, 1952.

12.В а т у л ь я н А. X ., Применение смешанного матричного

метода к некоторым задачам о статической и динамической устойчи­ вости и колебаниям упругих стержней, Диссертация. Новочеркасск, 1963.

13. В в е д е н с к и й С. А., Расчет колебаний разветвленных систем методом динамической жесткости в матричной форме, Диссерта­ ция, Л ., 1956.

36. К а н С. Н., Прочность, устойчивость и несущая способность конструктивно-ортотропных цилиндрических оболочек, «Расчет про­

упругих оболочек и некоторые методы их интегрирования, «Сб. трудов Института математики АН УССР», № 4— 6, К ., Изд-во АН УССР, 1940.

39. К и л ь ч е в с к и й Н. А ., Приближенные методы определе­ ния перемещений в цилиндрических оболочках, «Сб. трудов Института

сов теории упругости, Изв. Киевского политехнического института, т. XV, К ., Изд-во Киевского университета, 1954.

41. К и л ь ч е в с к и й Н. А., Интегродифференциональные и интегральные уравнения равновесия тонких упругих оболочек, ПММ, 1959, т. X X III, вып. 1.

43. К и з и м а Г. А., Исследование напряженного состояния реб­ ристых оболочек нулевой Гауссовой кривизны, «Теория пластин и обо­ лочек», Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1964.

45.К о р о л е в и ч Ю. С., Асимптотичне ранения задач! симетрично) деформаци кошчно! оболочки з лшшно змшною товщиною, «Прикладна механша», 1959, т. 5, вип. 1.

46.К у з н е ц о в Э. Н ., Практический способ расчета произволь­ ных оболочек вращения на осесимметричную нагрузку, Научные до­

клады высшей школы, Строительство, 1958, № 3.

47. Л а п п о - Д а н и л е в с к и й И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Гостехтеориздат, 1957.

48. Л а щ е н и к о в Б . Я ., Интерполирование и матричные ал­ горитмы в задачах устойчивости и колебаний упругих систем, Диссер­ тация, М., 1962.

49.Л у р ь е А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехтеориздат, 1947.

50.Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.

51.Л ь в и и Я. Б ., Сопротивление конических оболочек краевым циклическим воздействиям, «Расчет пространственных конструкций», 1962, вып. VII.

52.М е й е р Р ., Х а р м а н М., Метод конических сегментов для исследования нагруженных по краям усеченных конических оболочек вращения, «Ракетная техника», 1963, № 4.

53.М а л а х о в с к и й Р. А., Расчет круговых ортотропных ко­

нических оболочек, Изв. вузов, Авиационная техника, 1960, № 2. 54. М и т к е в и ч В. М., Симметричная деформация конической

оболочки, подкрепленной ребрами, «Труды конференции по теории пла­ стин и оболочек». Казань, Казанский университет, 1961.