книги / Моделирование технологического оборудования
..pdf1.2.2. Проверка корректности
После ввода исходных данных производится проверка корректности поставленной задачи. Проверка основана на анализе типа введенных элементов и схемы их соединения.
Исходные данные считаются корректными, если по ним может быть получена система уравнений, описывающая статику и динамику реального объекта, решение этой системы уравнений позволяет определить статические и динамические характеристики объекта. С математической точки зрения система уравнений должна иметь единственное решение.
В противном случае процессы дальнейшей обработки исходных данных прекращаются, после вывода причины прекращения дальнейшей обработки программа возвращается в режим редактирования исходных данных.
Причиной некорректности может быть избыточность системы, когда допускается множество решений данной задачи. К этому приводит недостаток количества переменных в системе уравнений по сравнению с количеством независимых уравнений.
Другой причиной служит отсутствие решения, обусловленное тем, что количество переменных в системе уравнений превышает количество независимых уравнений.
Еще одна причина прерывания дальнейшего хода программы - отсутствие установившегося движения. На уровне исходных данных недопущение этого сводится к необходимости наличия у каждого узла эквивалентной схемы упругой или диссипативной связи с базовым (неподвижным) узлом или с другим узлом, уже имеющим такие связи.
При условии корректности сформулированной задачи проводится проверка наличия нелинейных элементов в эквивалентной схеме. При наличии хотя бы одного нелинейного элемента задача относится к нелинейному виду.
Если система является линейной, то управление передается на блок формирования матрицы коэффициентов линейной системы уравнений.
При нелинейной системе управление передается на блоки составления нелинейной системы уравнений, ее решения, линеаризации нелинейностей и только затем на блок формирования матрицы коэффициентов линейной системы уравнений.
1.2.3. Составление и решение нелинейной системы алгебраических уравнений
Ввиду многообразия типов нелинейных элементов и структуры нелинейной системы уравнений, встречающихся при моделировании реальных объектов, в данном пакете программа PAN на основе исходных данных вначале составляет нелинейную систему уравнений и процедуру ее решения. Затем управление передается данной процедуре решения нелинейной системы уравнений.
После решения нелинейной системы уравнений управление возвращает ся в основной модуль программы для дальнейшей обработки.
Процедура для решения нелинейной системы уравнений использует мо дифицированный метод Ньютона [12, 16], заключающийся в реализации итера ций по следующей формуле:
|
|
|
(1.52) |
где |
Хц„) |
- |
вектор значений переменных на предыдущем шаге итерации; |
|
Хц„+\) - |
вектор значений переменных на текущем шаге итерации (уточ |
|
|
|
|
ненные значения); |
|
/*/ |
) - |
значение исходной функции при подстановке в нее значений пе* |
|
|
|
ременных предыдущего шага итераций; |
|
^(/») |
- |
обращенная матрица Якоби. |
|
Вычислительный процесс реализуется по алгоритму, представленному на |
||
рис. |
1. 10. |
|
|
Рис. 1.10. Последовательность решения нели нейной системы алгебраических уравнений
Матрица Якоби составляется из значений частных производных системы нелинейных уравнений Ft{x)
|
dFx/ |
d F j |
. |
dFx/ |
|
/o r , ’ |
/ д х 2’..... ’ |
/д х п |
|
|
d F / |
d F / |
|
d F / |
|
/cbc, ’ /cbr, ’.... ’ |
/д х п |
||
|
При этом частные производные в матрице Якоби заменяются их при |
|||
ближенными конечно-разностными значениями. |
||||
|
dF, |
F<.(x ,+ /i,)-F ,(x <) |
||
|
дх( |
|
^ |
(1.54) |
|
|
|
||
где |
A, - малое приращение х |
|
|
|
|
Решение линейной системы уравнений осуществляется методом Гаусса |
|||
[12, |
16]. |
|
|
|
1.2.4. Линеаризация нелинейных уравнений
Для анализа математической модели в данном пакете программ исполь зуются методы, которые применимы только для линейных систем. Реальные же системы чаще всего оказываются нелинейными. Поэтому необходимо реальные системы привести к линейному виду.
Система считается нелинейной, если она имеет хотя бы одно нелинейное звено. Приведение системы к линейному виду сводится к замене характеристик нелинейных элементов характеристиками линейного элемента или к линеари зации нелинейных элементов. Нелинейные элементы можно разделить на су щественно нелинейные и несущественно нелинейные.
Существенно нелинейные элементы имеют характеристику в виде пре рывистой функции. Такие элементы трудно поддаются линеаризации. Этими элементами в реальных объектах отражается явление сухого трения в направ ляющих и т.п.
Несущественно нелинейные элементы имеют характеристику в виде не прерывной функции. Они линеаризуются [16, 32] путем разложения ее в ряд Тейлора и отбрасыванием всех старших членов ряда, начиная со второго. Суть такой линеаризации реальных элементов системы заключается в замене реаль ной кривой, представляющей характеристику элемента, на прямую, которую
проводят как касательную к кривой в точке, соответствующей равновесному состоянию (рис. 1.11).
Нелинейные элементы, выделенные в данном пакете программ, описыва ются выражением
F —*5 ~ Х*)П (1.55)
N
где jc3,х4,дг5 - переменные;
N - постоянная.
Это выражение представляет собой сложную функцию переменных д'3, .г4, л'5. Линеаризация функции путем разложения в ряд Тейлора представляет собой замену
|
|
F(x) = F(x0 ) + F '( х0 ) - ( х - х0), |
(|.5б) |
где F 1(х0) - значение производной от функции при подстановке |
в нее ус |
||
|
|
тановившегося значения переменных; |
|
Я *„) |
- установившееся значение функции; |
|
|
х {) |
- |
установившееся значение переменной; |
|
л* |
- |
переменная. |
|
Так как в общем случае мы имеем дело со сложной функцией, то линей ная характеристика элемента в окрестности установившегося состояния будет иметь следующий вид:
F(x) = \ j X5а<Х™~ хп )П + (Х™ и™ * (х>~ хп ) +
+Т Г ~ ( Х30 - * 4 o /'V * 3 -*зо) +
N • п
+ ^ Г ~ ( Х30--*4o/“'Y*4 -*4оЛ |
(1.57) |
|
N • п |
у |
’ |
где хзо’х40’х>5о “ значения переменных в установившемся состоянии.
I.2.S. Построение линейной системы уравнений
Математическая модель линейной системы объекта [5,23] представляет собой систему дифференциальных уравнений.
[4{*}+[4{х}+[с]-М=И, |
0-58) |
где [л] - матрица инерционности;
[в]- матрица сопротивления (демпфирования);
[с]- матрица жесткости;
j.tj —матрица-столбец обобщенных ускорений;
j.vj - матрица-столбец обобщенных скоростей;
{*} - матрица-столбец обобщенных координат; !F\ - матрица-столбец внешних воздействий.
Если для этой системы выполнить преобразование Лапласа [16] и пере вести задачу в плоскость изображений, то получим систему линейных алгеб раических уравнений.
2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
2.1. Схема анализа физической системы по математической модели
Пакет программ PAN предлагает широкие возможности для анализа фи зической линейной системы по математической модели. В основу положен операторный способ анализа систем обыкновенных дифференциальных урав нений. Последовательный процесс анализа можно представить в виде блоксхемы (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Последовательность анализа по математической модели
aji — aji / аи,
(2.3)
Qjk = ajk +aji-at bj = bj + aji • bj,
где
/ = 1,2,...,л-1;
У = i + l,/ + 2,..., л;
к= i + lfi + 2,...,/ + л.
Вконце этих преобразований исходная матрица приводится к треуголь ному виду. При этом на каждом шаге производится выбор наибольшего по мо дулю главного элемента и перестановка строк и столбцов. Это исключает си туацию деления на ноль и повышает точность вычислений.
На втором этапе организуется обратный ход последовательного нахожде ния переменных на основе выражений
(2.4)
h = h - X j •djj,
где
i = л-1, л -2 ,...,2,1; у = / + 1,i + 2,..., л;
х, = h ! a u.
В результате данных преобразований формируется массив значений обобщенных координат системы, соответствующих равновесному состоянию.
Для получения статической характеристики вида (2.1) необходимо после довательно решить систему алгебраических уравнений для разных значений параметров системы и внешнего воздействия.
