книги / Моделирование технологического оборудования
..pdfFr(ja>) = ReW(ja>) + jlmfV(jo)). |
(2.16) |
Рис. 2.15. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы
Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и доста точно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой сис темы fV(/o>) не охватывала критическую точку -1, лежащую на вещественной оси.
Степень устойчивости в этом случае удобно измерять по расстоянию Д от точки -1 до точки пересечения годографом действительной оси. lie.in точка пересечения находится справа от критической точки, то говорят о запасе устой чивости (положительное значение), при расположении слева говорят об отри цательной устойчивости (отрицательное значение).
Программа PAN позволяет построить график АЧФХ и на основе критерия Найквиста исследовать устойчивость замкнутой системы.
2.3.4. Расчет собственных значений
Собственные значения в физической системе определяют характеристики свободных колебаний, вынужденных колебаний и устойчивости динамических систем, поэтому имеют самостоятельную ценность.
В качестве собственных значений физической системы выступают значе ния переменной S = a + jb , которые удовлетворяют системе линейных алгеб раических уравнений:
НАЧАЛО
Ц
Ввод исходной информа ции
[ДЭД
I
Вывод: действительных частей я,; собственных частот vl=bi/2n
ц
КОНЕЦ
Рис. 2.16. Алгоритм вычисления собственных значений системы
операторном методе преобразований Лапласа позволяет свести операцию диф ференцирования к умножению, а операцию интегрирования - к делению. Таким образом осуществляется переход от системы дифференциальных уравнений к
системе алгебраических уравнений.
В настоящее время операционное исчисление широко применяется в нау ке и технике как совокупность методов прикладного математического анализа. Оно позволяет экономичными средствами получить решение линейных диффе ренциальных уравнений, эффективно проводить анализ переходных процессов, вынужденных колебаний физических систем.
Процесс решения дифференциальных уравнений операторным способом включает в себя несколько этапов:
1)перевод исходной задачи с помощью прямого преобразования Лапласа
вобласть изображений (переход от переменной t к комплексной переменной S);
2)решение системы алгебраических уравнений относительно комплекс
ной переменной S;
3) перевод решения из области изображений к реальной переменной / с помощью обратного преобразования Лапласа.
Переход от функции / к функции новой переменной S осуществляется при помощи прямого преобразования Лапласа, которое имеет следующий вид:
|
Ц А О ) = A S ) = J Д / ) е - d t, |
(2.20) |
|
о |
|
где F (S )- |
изображение (функция от 5); |
|
/(/) - |
оригинал (функция от г); |
|
S = а + jb - |
комплексная переменная. |
|
Укажем некоторые свойства преобразования Лапласа: |
|
|
1. |
Изображение суммы нескольких функций равно сумме изображений |
|
этих функций: |
|
|
|
« / . (') + Л (0 + • • • + /„ ( ') ) = Д / , (0 ) + « Л (0 ) + - + Д Л ( 0 ) . |
(2.21) |
2. Изображение постоянной равно значению постоянной, |
деленной на |
|
комплексную переменную S: |
|
|
|
L(A) = j . |
(2-22) |
3. Изображение произведения постоянной величины и функции равно произведению постоянной величины и изображения этой функции:
L (A f(t)) = A-L(f(t)). |
(2.23) |
4. Изображение первой производной от функции равно произведению комплексной переменной S и изображения этой функции:
^ j = S L (/(0 > |
(2.24) |
Если начальные условия отличны от нуля, то необходимо вычесть значе ние функции при начальных условиях:
= 5 £ (/(())- ДО). |
(2.25) |
5. Изображение второй производной отфункции равно произведению квадрата комплексной переменной S и изображения этой функции:
= |
(2.26) |
Для произвольной п-й степени изображение запишется аналогично:
I ^ ) = 5"L (/(0 > |
(127) |
При ненулевых начальных условиях следует учесть поправку:
L( ^ r ) = S2 ■L {f (l ) ) - S • Д О )- /'( 0 ) . |
(1 28) |
6. Изображение интеграла функции равно частному от деления изображе ния функции на комплексную переменную S:
L |
ЦАО) |
(2.29) |
S
Если начальные условия отличны от нуля, то
\ f № |
ПА П) , с |
(2.30) |
|
|
s |
s ' |
|
где |
С - постоянная интегрирования. |
Свойства преобразования Лапласа позволяют записать изображения ос новных простейших функций:
г/ «ч |
л! |
|
|
£(sin<oO = --T<l) |
(2.31) |
||
|
S~ + or |
||
jL(COSO)0 = |
£ |
|
|
------- г , |
|
||
|
«S’ |
+ GT |
|
Д еи/) |
1 |
|
|
|
|
|
|
«S- а
Изображение линейного дифференциального уравнения при нулевых на чальных условиях
L(y) = L{ax + й— + |
+ •••)= аЦх) + bL(x)S + cL(x)S:+ ••• |
(132) |
d/ d/
Таким образом, прямое преобразование Лапласа для системы дифферен циальных уравнений при нулевых начальных условиях заключается в замене символов дифференцирования и интегрирования на их изображение:
— -►.S'; fd/- —> — |
(2.3.1) |
Если начальные условия для системы уравнений отличны от нуля, то и этом случае переходят к уравнениям в приращениях. Уравнения в приращениях получают вычитанием уравнений статики из уравнений динамики. Такое пре образование приводит систему уравнений к начальным условиям. В противном случае при преобразовании Лапласа необходимо учитывать начальные условия.
Решение задачи в изображениях сводится к решению системы алгебраи ческих уравнений одним из известных методов. В рамках операторного способа для решения алгебраических уравнений целесообразно использовать метод Крамера. При этом решение ищется в виде отношения двух определителей:
.V <S) = ^ , ( = 1,2..... |
(2.34) |
D
где D - главный определитель исходной системы;
D - дополнительный определитель, полученный из главного определите ля путем замены /-го столбца столбцом свободных членов F.
Далее определитель раскрывается, и окончательный вид решения пред ставляет собой отношение двух многочленов, где неизвестной является ком плексная переменная S :
j n s ) = b°sm + ^ sm 1+ • • • + bm_\S + bM
(2.35)
При этом для реальных физических систем выполняется неравенство
п > т.
Переход от изображения к оригиналу осуществляется на основе обратно го преобразования Лапласа:
1 |
г+Г |
(236) |
f(t) = L'(F(S)) =— |
[F(S)e*dS. |
Это выражение устанавливает однозначное соответствие между изобра жением и оригиналом. Но ввиду сложности непосредственного использования выражения обратного преобразования Лапласа применяют инвариантные мето ды. Один из способов основан на применении формул соответствия между функциями оператора S и функциями времени /, которые сведены в специаль ные таблицы. Но наиболее широко на практике используют формулу разложе ния, она рассматривается как основной метод перехода от изображения к функ ции времени.
Если решение алгебраических уравнений в изображениях представляет собой отношение двух многочленов вида (2.35) и п > /и, то переход к функции времени можно осуществить с помощью выражения
N(Sk) А*
/<»>«£■
(2.37)
к=\ M \S k)
Порядок работы при этом следующий:
1 Решается задача о собственных значениях системы. Для этого полином в знаменателе выражения (2.35) приравнивается к нулю и получается характе ристическое уравнение системы вида
Решение данного характеристического уравнения дает п (собственных значений) корней S*. Среди этих корней могут быть как действительные, так и комплексные числа. S* = а* ± jbk.
2. Находится первая производная от полинома в знаменателе Л/(5).
M'(S) + dM(S) |
(2.39) |
dS |
|
3. Далее полученные собственные значения 5* подставляются в форму разложения. В результате будет получен многочлен из п членов, который пред ставляет собой решение исходной системы дифференциальных уравнений от носительно переменной /.
__ * № ) |
» , N (S 2) с,„ + ••• + Ш А . & |
(2.40) |
|
M'iSi) |
M'(S2 |
M \ S „) |
|
Данное выражение описывает переходный процесс в физической системе при ступенчатом внешнем воздействии {F}.
Для удобства анализа целесообразно от показательной формы записи ре шения (2.40) перейти к тригонометрической форме записи в виде
Д О = £ Л е' а" (C0S( M + Ф *) + j ■sin(Pt / + <pt )). |
(2-41) |
к=1 |
|
Если в числе корней имеются комплексно-сопряженные, то решение (2.40) можно сразу, без промежуточных преобразований, представить в следующем
виде: |
|
24е“*' cos(3*f + Ф* ), |
Д О = £ c * e s" + £ |
||
*=1 |
к=1 |
(2.42) |
где г - число действительных корней;
р- число пар комплексно-сопряженных корней; а- действительная часть комплексного корня;
- мнимая часть комплексного корня.
Коэффициенты Са первой суммы в выражении (2.42) получаются при подстановке в формулу разложения действительных корней:
с **(Sk) .
к = 1,2,..., г.
*M \ s ky
Подстановка в формулу разложения комплексно-сопряженных корней дает комплексные выражения (векторы), состоящие из действительной Ра и мнимой Qk частей частотной характеристики системы.
N(Sk)
M \ S k) =>pk + jQ k -
Модуль этих векторов представляет собой амплитудную характеристику Аксистемы:
A
Угол наклона вектора называют фазовой характеристикой срАсистемы.
Qk
Фа =arctg— . М:
Алгоритм построения переходного процесса приведен на рис. 2.17.
Рис. 2.17 Алгоритм построения переходною процесса
2.3.6. Расчет частотных характеристик по передаточной функции системы
Частотные характеристики являются основой для анализа вынужденных колебаний и устойчивости замкнутой системы [18, 24, 28]. Методы частотного анализа эффективны как для непрерывных, так и для дискретных систем.
Частотные характеристики могут быть построены по передаточной функ ции системы
bmS m+bm_lS m~ ' + - +bxS +b[i |
(2.43) |
|
Ф(5) = |
+ a{) |
|
anSn + <V i ‘S,w~l + • • *+ |
|
|
где aiybt - коэффициенты передаточной функции;
т- порядок числителя передаточной функции;
п- порядок знаменателя передаточной функции.
Для реальных физических систем всегда выполняется условие т<п.
Для определения частотных характеристик необходимо передаточную функцию перевести в частотную область. Это осуществляется применением к ней преобразования Фурье, что сводится к формальной замене S в передаточ ной функции наусо. После преобразования Фурье получим
ф( /(0) = *-(./«>)" + .б„, |
(2.44» |
Отделяя в числителе и знаменателе выражения для Ф(/ш) вещественную часть от мнимой, можно записать
Ф(Ум) = |
а((о) + jb( со) |
(2.45) |
|
с(о)) + jd( со)
Это выражение можно представить на основе комплексной арифметики в виде двух слагаемых:
ч |
ac + bcI . b c -a d |
|
ф(усо) = |
~тг + J |
(2.46) |
|
с~ +d~ |
с +d |