книги / Остаточные напряжения теория и приложения
..pdfВ снеге указанных соображений можно утверждать, что паи- •более удобным методом для определения остаточных напряжений в задаче, сформулированной в конце введения, является решение связанной (вообще говоря) задачи термоупругопластичности в те чение всего периода охлаждения тела от начальной температуры Т0до температуры среды 2\. Напряжения, получающиеся при пол ном остывании и снятии силовой нагрузки, и будут остаточными напряжениями.
Ниже приводится постановка связанной задачи термоупругопластичпости, позволяющей определить напряжения а,,- (х, т), деформации (х, т), перемещения ut (х, т), температуру тела в процессе остывания Г (х, -г) и остаточные напряжения р{/- (х), пе ремещения иг (х, tj), деформации т|^- (х) в конце процесса. Время остывания области обозначено через tv Все нижезаписанные урав нения справедливы при любом т ЕЕ [0, f j .
В систему уравнений входят [27, 39): уравнение нестационарной теплопроводности
су (дТ/дх -|- v-VT) = v . (№Т) + W, Х Е У ; (2.46)
уравнение равновесия (для квазистатических процессов)
V •a + F = О, |
х е У; |
(2.47) |
определяющие уравнения в приращениях, конкретный вид которых зависит от принятой теории термоупругопластичности:
da = D --dz + R dT; |
х £ У ; |
|
(2.48) |
геометрические уравнения |
|
|
|
е = 8е -(- ер + ет = |
(Vu -{- uV), |
х б У ; |
(2.49) |
здесь с — удельная теплоемкость, у — удельный вес; W — теп ловой источник за счет пластической деформации; X — коэффи циент теплопроводности.
Начальные условия:
t = 0, |
Т(х) = Т° (х), а = е = и = 0. |
(2.50) |
Грапичпые условия весьма разнообразны и зависят от харак тера решаемой задачи. Во многих случаях они имеют следующий лид:
п-а = Р, |
х е= Sp', |
и = |
u, |
x ^ S u; |
|
т(х, т) = т(х), |
x e ^ i ; |
|
(2.51) |
||
X (дТ/дп) = |
5(х), |
х е |
S*, |
|
|
|
|
||||
X (dTldn) = |
— а(Т — 71*) + Wi, |
х е ^ , |
|||
где S = Sp + |
Su = |
Sx + |
S2 + |
S 3; <7 — заданный тепловой по |
|
ток; a — коэффициент теплоотдачи через поверхность; Т а , — тем пература окружающей среды; W% — тепловой источник за счет трения на границе.
21
В некоторых случаях в уравнении (2.51) вместо Т«, входит температура поверхности другого тела, контактирующего с рас сматриваемым. В этом случае приходится решать температурную, задачу для системы двух тел. При необходимости учета термо упругих деформаций инструмента, деформирующего рассматри ваемое тело, в систему уравнений входят также уравнепия тер моупругости для инструмента [39].
Решение краевой задачи (2.46)—(2.51) ведется методом после довательных нагружений в пределах малых промежутков времени [т, т + Ат]. Для прикладных задач, когда во многих случаях форма области является весьма сложной, эффективно использо вание метода конечных элементов.
ГЛАВА Ш . ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
3.1- Постановка оптимизационной задачи снижения остаточных напряжений
Решение оптимизационных прикладных задач в механике дефор мируемого тела, соответствующих реальным технологическим процессам, представляет собой новое научное направление [1291. Если в теории оптимального проектирования конструкций имеет ся большое число решенных задач [94], то здесь оно весьма неве лико. Наиболее развито направление, связанное с оптимизацией нагрева массивных тел перед прокаткой с учетом возникающих при нагреве упругих термопапряжелпй. Указанные задачи наи более полно изложены в монографии А. Г. Бутковского [71. Дру гие прикладные оптимизационные задачи изложены в работе
Т. К. Снразетдипова [103].
Вработе [14] рассмотрена задача об оптимальном нагреве из делий типа пластин и оболочек, имеющих остаточные напряжения. Для релаксации этих напряжений проводится отжиг, по при ло кальном нагреве до определенной температуры могут возникнуть значительные температурные напряжения. Поэтому ставится за дача — получить температурное поле определенного вида, при котором уровень температурных напряжений оптимально низок. Решение ведется в рамках термоупругости. В качестве целевой функции использована энергия упругой деформации.
Возвращаясь к задаче снижения остаточных напряжений, от метим, что приближенный инженерный подход к определению термических остаточных напряжений при остывании металличе
ских изделий был предложен немецким ученым Е. Гейном еще в начале века. Описание теории Гейиа и ее модификаций можно найти в работах [82, 98, 110]. Согласно этой теории весь интер вал изменения температурного поля в изделии делится на две части: в области пластического деформирования во всех точках области происходит пластическая деформация, напряжениями вследствие высокой интенсивности процессов релаксации и ппзкого значения предела текучести в этой области пренебрегают; учет напряжений начинается с появления упругой разгрузки в какомлибо элементе. Тогда напряжения определяются температурными деформациями, отсчитываемыми с этого момента. Указанный мо мент условно называют моментом перехода в упругое состояние.
Теория Гейна имеет ряд существенных недостатков. Во-пер вых, температура перехода в упругое состояние не является, конечно,' константой материала, а зависит от уровня напряжений в изделии, которые, в свою очередь, зависят от размеров и формы ■тела, перепада температур в области, характера охлаждения и
23
других факторов. В указанных работах [1, 82] имеется большой разброс значений температуры перехода в упругое состояние. Во-вторых, пренебрежение напряжениями текучести дает особен но большую погрешность определения остаточных напряжений для высокопрочных сталей, имеющих высокий предел упругости и большие времена релаксации. Наконец, теория делается мало применимой, если упругая разгрузка начинается в различных элементах тела в существенно различные моменты времени. Та кая ситуация имеет, например, место у крупных двутавровых балок, полученпых способом горячей прокатки, когда разностьтемператур по . сечению после прокатки может достигать 150— 180° С.
Положительным моментом теории Гейиа является следующая из нее рекомендация: для снижения уровня термических остаточ ных напряжений в конце процесса остывания тела следует управ лять температурным полем только до тех пор, пока вся область не перешла в упругое состояние.
В данной работе задача снижения остаточных напряжений ста вится как оптимизационная задача термоупругопластичности. При формулировании целевой функции следует учитывать следую щее. Решение большинства прикладных задач термоупругоплас тичности возможно лишь с помощью численных методов. Поэто му нужно, чтобы целевая функция зависела от текущих, а не от конечных параметров процесса охлаждения, так как многократное решение связанной нелинейной задачи термоупругопластичности в областях сложной формы вряд ли возможно даже на современ ных ЭВМ. В § 2.1 показано, что причиной появления остаточных напряжений является несовместность упругих остаточных дефор маций.
Предполагаем (формула (2.3)), что полная деформация склады вается из упругой и неупругой деформации. В последнюю входят пластическая и температурная деформации (возможно учесть также деформацию ползучести). Так как компоненты тензора полной деформации всегда совместны, то несовместность компо нент тензора упругой деформации связана с несовместностью компонент тензора неупругой деформации. В рассматриваемой задаче полная температурная деформация цг заранее известна. Значит уменьшить несовместность неупругой деформации (а по тому уменьшить и остаточные напряжения) можно только с по
мощью пластических деформаций е^- В реальных процессах горя чей обработки металлов воздействовать на пластические дефор мации можно лишь в начальной стадии процесса охлаждения, пока предел упругости достаточно низок. Поэтому целевая функ ция должна учитывать, какие пластические деформации нужна создать в начале процесса охлаждения для минимизации остаточ ных напряжений в его конце.
Вообще говоря, предлагаемый подход может быть использовал не только для определения оптимальных режимов охлаждения, но и, например, для нахождения режимов других видов термооб
24
работки (в этом случае в суммарную деформацию следует вклю чить деформацию ползучести). Кроме того, указанное при поста новке задачи предположение о естественном состоянии материала в начальный момент времени не является принципиальным — на чальные напряжения и деформации нетрудно включить в опре деление целевой функции.
Поясним указанные соображения на примере двухстержневой модели, рассмотренной ранее в § 2.3. Пусть начальные темпера туры стержней 1о° и не одинаковы (для определенности счи таем, что 2oX> > То2)) и стержни не иапряжепы. При остывании до температуры 2\ обоих стержней в системе возникнут остаточные напряжения. Если считать, что напряженное состояние в стерж нях одноосное н изгиб отсутствует, то условие совместности здесь заключается в равенстве длин стержней. Остаточные напряжения не возникнут, если для остаточных деформаций будет иметь место условно
(3.1)
где
(3.2)
т)р, г),, — пластические деформации в стержнях при достижении ими температуры Ti.
Другими словами, так как в первом стержне, где начальная температура выше, произойдет большая температурная усадка, чем во втором стержне, в нем необходимо создать пластические деформации растяжения относительно второго стержня. Пласти ческое деформирование, вообще говоря, можно производить в те чение всего процесса охлаждения, но оно потребует меньших за трат энергии, если его осуществлять в начальной стадии процесса, где предел текучести ниже, чем в конце охлаждения.
Таким образом, в качестве целевой функции можно выбрать величину, характеризующую несовместность компонент тензора неупругой деформации. Можно ожидать, что большой несовмест ности должпы отвечать и большие остаточные напряжения, и наобо рот. Если для стержневой модели условие совместности записать легко (это просто равенство длин стержней), то в общем случае напряженпо-деформированного состояния тела оценка меры не совместности деформаций неочевидна. В следующем параграфе это будет сделало с помощью аппарата функционального анализа.
Так, будет введеп функционал Ф [е£ (тк)], где тл — момент окон чания пластического деформирования, который служит мерой несовместности пеупругнх деформаций и через который можно оценить остаточные напряжения.
25
Постановка.оптимизационной задачи сппженпя остаточных на
пряжений имеет вид |
|
минимизировать Ф [efj (тк)]; |
(3.3) |
ограничения типа равенств: уравнения краевой задачи термоупругопластичности (2.46)— (2.51), связывающие перемещения иь напряжения а{;-, деформации e£j, температуру Т и управляющие воздействия oj (коэффициент теплоотдачи а, поверхностные нагрузки P t, массовые силы Ft, геометрия обрабатывающего ин струмента и т. д.); ограничения тппа неравенств могут быть нало жены на управления и параметры процесса.
3.2.Применение теории гильбертовых пространств для оценки уровня остаточных напряжении
Введем гильбертово пространство Я симметричных двухвалент ных тензоров Wij (х), определенных в области V [65]. Скалярное произведение элементов W x и W 2 этого пространства обозначим (Wx, W 2). Норма элемента W определится тогда как
|W |= (W, W),/s. |
(3.4) |
В зависимости от конкретного вида скалярного произведения мож но получить разные оценки для несовместности деформаций и со ответственно для уровня остаточных напряжений.
Далее выделим в Я подпространство Нх симметричных тензо ров второго ранга, компоненты которых удовлетворяют условиям совместности, т. е. существуют такие компоненты вектора иг (х), что
Wij = 1/2 (uitj + Ujt i), |
x e F , |
{Ж ^} = ^ е Я 1 . |
(3.5) |
||
Очевидно, что многообразие |
тепзоров |
W ^ |
Нх является |
ли |
|
нейным, т. е. если |
и |
W 2 e Нх, то |
W x - f W 2 е Нх и |
||
aWj £= Нх (а — постоянный |
скаляр). По определению считается, |
||||
что подпространство не обязательно должно быть замкнутым. Другими словами, если есть последовательность Wn ^ Н1 (п = = 1,2, ...)n W n-)-WnoHopMe пространства Я(|| Wn— W||n-<*-*-0); то, вообще говоря, W ф Нх.
В данном случае подпространство Нх не замкнуто (кроме слу чаев, когда оно конечномерно), т. е. последовательность элемен тов Wn S Нх может сходиться к пределу, принадлежащему Я , но не принадлежащему Нх. Это связано с тем, что последователь ность непрерывных функций, принадлежащих Н х, может сходить ся к разрывной функции, уже не принадлежащей множеству Нх. Присоединив к Нх пределы всех сходящихся последовательностей его точек, получим замыкание множества Нх, обозначаемое как Я х.
Степень несовместности тензора W можно оценить с помощью расстояния в пространстве Я от данного тензора до подпростран
ства Я х, которое определяется |
как |
|
р (W, Нх) = inf {р (W, Y) : Y |
е Нх), |
(3.6) |
26
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
р (w , Y) = |
|W - |
Y |. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из |
(3.6) |
вытекает, |
что |
|
|
|
|
|
||||
|
Р (W, Я,) < |
р (W, Я,). |
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||||
|
Покажем, |
что в (3.7) может быть только зиак равенства. До |
|||||||||||
п усти ^ |
от |
противного, |
что |
р (W, Пу) К |
р (W, Ну). |
Пусть |
|||||||
р (W, Htl) = |
I W — Z0(I |
= |
р_(РГ, |
Ну) — e, |
где |
e — некоторое по |
|||||||
ложительное число, |
Z 0 е |
//1( Z 0 ф. Ну. Дале^ так |
как Ну есть |
||||||||||
замыкание Ну, в любой |
окрестности Z 0 ЕЕ Ну найдется |
точка |
|||||||||||
Y 0 е |
Ну. По неравенству треугольника |W — Y 0 1|^ |
р (W, Z 0) + |
|||||||||||
+ |
р (Z0, Y 0). |
|
Возьмем |
|Y 0 — Z J < е/2. Тогда |
I W — Y0 1|< |
||||||||
< |
р (W, |
Ну) - |
е + |
е/2 = |
р (W, |
Ну) - |
е/2 < |
р (W, Ну), |
что |
||||
противоречит определению р (W, Я х) согласно (3.6). Таким обра зом, доказано, что расстояние от элемента W до множества Нх и его замыкания равны, что позволяет для отыскания последнего
применить теорему |
Бсппо—Леви |
об ортогональной проекции |
|
111, |
61]. |
|
|
Для введения в |
гильбертовом |
пространстве Я естественным |
|
образом скалярного произведения и нормы учтем некоторые осо бенности решаемой задачи определения остаточных напряжений.
Если каким-либо образом разложить упругие остаточные де формации на совместные т]$ и песовместпъте составляющие
чи=чЙ’ + ч!?. |
(3.8) |
то можно установить, что уровень остаточных напряжений |
оп |
ределяется только несовместными деформациями т)|*\ В самом де ле, с учетом (2.1), (2.2) и теоремы Гаусса—Остроградского уста навливаем, что
V |
V |
(3.9) |
|
||
Далее из закона Гука следует, что |
|
|
$ Pii4«dV > |
Сp.jPijdV. |
(3.10) |
V |
V |
|
Комбинируя (3.9) и (3.10), имеем |
|
|
J PiiPiidV < |
J PijTlS’^ - |
(3-Н) |
С учетом (3.11), предполагая, что функции W (х) |
суммируемы |
|
с квадратом, т. е. что |
|
|
$ W ijW y jd V C o o , v
27
удобно ввести скалярное произведение следующим образом:
(W1,W a) = ^(W 1)tj(tr2)y<iPr. |
(3.12) |
При этом будут иметь место все свойства скалярного произведе ния. Используем далее неравенство Коши— Буняковского
$Р«Т|8, < Я '< | Р | .| Е ® | . |
(3.13) |
V |
|
где Е<2) — тензор с компонентами riif. |
|
Из (3.11) и (3.13) получим |
|
IIР I = ($ ftiPii <^)T < - r ^ 2 f - 1 Е<!> I- |
(3-14) |
V |
|
Неравенство (3.14) представляет собой оценку уровня остаточ |
|
ных напряжений через среднеинтегральпую несовместность упру гих остаточных деформаций. Оценку (3.14) можно улучшить. Дей
ствительно, |
неравенство (3.14) справедливо |
для любых r\if = |
|
= |
— rfg, |
в том числе и для составляющих |
тензора Е<2>с ми |
нимальной нормой. Из теоремы Беппо—Леви [11, 61], соотноше ний (3.6), (3.7) следует, что минимальной норме |Е (2>Ц соответ
ствуют компоненты |
тензора |
Е1 , ортогонального |
замыканию |
# ! подпространства Нх: |
|
|
|
Лу = Лу — прн.Лу» |
|
|
(3.15) |
|Е1 1|= in! |Е(2)|= |
ini I Е - |
Е(1)|= |Е — прн-Е||, |
Е(1) е Я х, |
Е ^ е Я х |
|
‘ |
(3.16) |
где (np- E)i^ —^компоненты |
проекции тензора Е с компонентами |
|||||||||
г\[) на |
подпространство |
Нх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
совместности полных |
остаточных |
деформаций |
т]£у сразу |
||||||
следует, что компоненты |
с точностью до знака совпадают с ком |
|||||||||
понентами |
ёу (TJ) = (efj (Tj) + |
TI^ |
O)-1- (тх — момент |
окончапия |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тх |
|
|
процесса охлаждения); {ew} |
= |
Э, |
х е |
F, i f = jj aTdT, |
V x e V. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т. |
|
|
Заметим, что компоненты тензора Э (т) складываются из теку |
||||||||||
щих пластических efj (т) |
и полных температурных т)тб^ |
состав |
||||||||
ляющих тензора деформаций. |
|
|
|
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IЦ Ы |
|= |Лу |. |
ёу (ti) = e,i Ы |
- |
[пр- Э (тх)]у . |
|
|
||||
Так как подпространства Нг и Нг сепарабельны, в них можноввести счетный базис, с помощью которого вычисляются проек ции тензоров па подпространство. Покажем, что базисы в
ji# j совпадают. Действительно, пусть множество А всюду плотное
в Нх,хп<щА (п |
= 1, 2, . . .). Тогда (V y e tfj) |
н (Ve > 0) £Г*П, так |
чтор (у, г71) < |
(е/2). С другой стороны, так как Шх есть замыкание |
|
# i, то для Vy е |
//i, Яу е _ Я х, так что р (у, у) < |
(е/2). Из неравенства |
треугольника |
имеем р (у, *„) < р (у, у) + р |
(у, 2Я) < е._Отсюда |
сразу следует, что базис в Нх является также базисом в Hv и на оборот.
Таким образом, находя расстояние от элемента W до подпро странства IIх в некотором базисе, получим расстояние от W до под
пространства Нх (вычисляя его в том же базисе). |
|
|||||||
Заметим |
что |
если |
|
конечномерно, |
то, так как всякое ко |
|||
нечное множество замкнуто, Нх совпадает со своим замыкаппем |
||||||||
Н\ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если изпестеп ортонормпрованиый базис Шп) в подпространстве- |
||||||||
Нх (он же |
является базисом и в / / х), |
то |
|
|
||||
[“ Ря,9 (Т0Ь ‘ = |
Д а , ^ |
, |
|
|
|
|||
где я*У — компоненты [базиса IT”), |
% = |
$ ём (тх) n^dV — коэф- |
||||||
фициенты Фурье в. базисе П<4 |
|
у |
|
|||||
|
|
|
||||||
Согласно |
определению проекции |
имеем |
|
|||||
IIЕ 1 II = IIЭ1 Ы |< 1Э(то - |
(то ||, |
(3.17> |
||||||
где компоненты |
egW) (тд) |
тензора 3<lW>(тх) определяются |
как |
|||||
ё(1^ (т 0 |
= |
J I |
аяя|?). |
|
|
|
|
(3.18). |
В итоге из (3.14) получаем следующую оценку уровня остаточ |
||||||||
ных напряжений: |
|
|
|
|
|
|||
IIРII = |
(SPUP., W Y '-< -г&ш г II э (т.) - |
Э<1И»(т,) II - |
|
|||||
|
V |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
- |
т ёщ г [<9 (т»>-Э W ) - £ |
<й]‘л . |
(3.19)! |
|||||
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
Для использования |
оценки (3.19) |
следует построить |
базис |
|||||
в подпространстве |
Нх совместных деформаций, что |
можно |
||||||
сделать с помощью полей перемещений. Построение базиса про ведено в § 3.3.
Заметим, что компоненты Ъц (тх) зависят только от остаточных пластических деформаций rjfj и полных температурных деформа ций т|5. Поэтому остаточ!ше напряжения можно оценить по со ставляющим тензора е$ ь момент времени хк1 вслед за которым ни в одной точке области V не возникает пластических деформаций. Во многих практических задачах термоупругопластичности ин тервал времени [0, тк] значительно меньше времени охлаждения об
2»
ласти до температуры среды Ti. У казанное обстоятельство позволяет существенно уменьшить затраты машинного времени при использо вании целевой функции (3.19) для регаепия задач управления уров нем остаточных напряжений.
Возвращаясь к поставленной ранее оптимизационной задаче снижения уровня остаточных напряжений, можно отметить, что
функционал Ф [еу (т*)1, введенный согласно (3.3), теперь приоб ретает вид
N |
|
ф [е& Ы ) = Т Г 2 Г [<Э.Э) - Х Л ‘ ] 1 . |
(3.20) |
tl=l |
|
где |
|
(Э)« (Т») = e?j(т„) + л Ч = ёц (т„);
® »М = $ ё мЫя<")<гг.
V
3.3. Методика вычисления целевой функции
Как показано в § 3.2, уровень остаточных напряжений |Р |ма жорируется нормой (£7(1 — 2р.)) IЭ (Tjf) — 8<1ЛГ) (тк)) ||. Напомним, что — момент окончания пластического деформирования ис следуемой области; Э — тензор с компонентами ёу, равными сум
ме текущих пластических eg и полных температурных цт6у
составляющих тензора деформаций, |
ёу = eg -1- 'Птбу; 8<liV> — |
— N = е — приближение проекции |
тензора Э на замыкание |
подпространства тензоров, удовлетворяющих условию совме
стности. При этом компоненты |
тензора |
8 llN) при наличии |
||
в Нх |
счетного ортонормированного |
базиса |
Шп> представимы |
|
в виде (напомним, что базис в Нх является базисом и в # 2) |
||||
|
>= S |
|
|
(3.21) |
|
П=1 |
|
|
|
Здесь |
— компоненты базиса П^п), |
|
— коэффициенты Фурье |
|
разложения тензора Э(1> в базисе Шп>, т. е. |
|
|||
« n = S e ijng)dF. |
|
|
(3.22) |
|
|
v |
|
|
|
Понятно, что если существует счетная система линейпо-незави- симых элементов G<n>е Я х, п = 1 , 2 , . . . , полная в Я х, то не трудно обычным образом [11] построить счетный ортонормированный базис П<»>. Такая система может быть получена из решения
уравнетая (2.6) |
т. |
е. |
|
|
Ink (G<">) = |
rot |
(rot G<n>)* = 0 , |
n = 1 , 2 , . . . |
(3.23) |
30