книги / Остаточные напряжения теория и приложения

где / — номер узла, к — номер итерации, е > 0 — достаточно малое число.

Для проверки алгоритма решения температурной задачи произведено сопоставление теоретических результатов с экспери­ ментальными (эксперимент проведеп в Украинском научно-иссле­ довательском институте металлов сотрудниками отдела сорто­ прокатного производства). Исследовалось охлаждение на воздухе

Рнс. 4.2. Расположсшю точек в иоиеречпом сечении двутаврового профиля

двутаврового колонного профиля (высота Н = 0,2 м, ширина полок В = 0,2 м) с зачеканенпыми термопарами с печного нагре­ ва до 1300° С. В табл. 4.1 приведены значения экспериментально замеренных и полученных теоретически (для аналогичных усло­ вий охлаждения) температур для нескольких моментов времени

51

(расположение точек указано на рис. 4.2). Из таблицы видно, что максимальная относительная погрешность |Трасч — Тэкс |/ Тэкс

не превышает 7—10%.

Сопоставление результатов теоретического расчета и экспери­ мента в промышленных условиях Нижне-Тагильского металлур­ гического комбината им. В. И. Ленина для балки № 60 (Я — 0,6 м, В = 0,19 м; эксперимент проведен сотрудниками центральных лабораторий комбината) также обнаруживает приемлемую точ­ ность расчетов. Так, при прокатке балки № 60 средние темпера­ туры внешней поверхности полок перед прокаткой в черновой и чистовой клетях, согласно экспериментальным данным, состав­ ляют 1125 и 950° С, расчетные значения дают соответственно 1095 и 1010° С. Для внутренней поверхности переходной от стенки к полкам области после чистовой клети эксперименталь­ ные и расчетные данные составляют соответственно 1000 и и 1025° С.

Описанная выше методика решения задач упругопластичности, основанная на инкрементальном подходе, была с успехом исполь­ зована при рассмотрении нестационарных процессов [74, 100, 115], позволяя-выявить динамику развития пластической зоны, изменения напряжений и деформаций в течение всего анализи­ руемого процесса.

Для иллюстрации рассмотрим решение задачи об осадке вы­ сокого параллелепипеда с отношением HIB = 2,0 (рис. 4.3) в условиях плоскодеформированного состояния и полного при­ липания на контактной поверхности [74]. Вследствие симметрии рассматривается V* часть сечения, которая разделяется на 72 треугольных элемента с числом узлов, равным 49. Граничные условия при этом приняты следующими: 1) на поверхности кон­ такта заданы нормальные компоненты перемещений, равные ве­ личине элементарного обжатия ДА = (0,1—0,001) ДЯ (ДЯ — полное обжатие), и касательные компоненты перемещений, рав­ ные нулю; 2) нормальные компоненты перемещений и касатель­ ные компоненты напряжений на осях симметрии равны нулю; 3) на свободных поверхностях равны нулю компоненты вектора напряжений. При решении задачи вектор нагрузки в узлах на поверхности контакта формируется посредством умножения из­ вестной части вектора перемещений на соответствующую часть матрицы жесткости.

В результате решения задачи получена картина развития пластической области на разных этапах осадки (рис. 4.3, а— г), эпюры нормальных и касательных напряжений на контактной поверхности (рис. 4.4), а также изменение формы свободной по­ верхности. Образование пластической области начинается почти одновременно у кромки свободной поверхности и в центре, после чего она распространяется в диагональном направлении из цен­ тра вверх и к свободной поверхности. При степени деформации г ж 0,1 % образуется «пластический крест», который затем разви­ вается сначала в сторону свободной поверхности, а затем к по-

52

Рис. 4.4. Нормальные (а) и касательные (б) напря­ жения на поверхности кон­ такта

верхности контакта. Последними переходят в пластическое со­ стояние элементы, примыкающие к центру контактной поверхно­ сти, что подтверждает наличие зоны затрудненной деформации.

Из эпюры касательпых напряжений на поверхности контакта видно, что в центре касательные напряжения (силы сцепления) равны нулю, а у кромки свободной поверхности имеют максималь­ ное значение. Эпюра нормальных напряжений имеет вогнутый характер, причем у кромки свободной поверхности пормальиые напряжения таклсе имеют максимум. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами большинства экспериментов, а также с теоретическими данными, приведенными в работе [45].

Рассмотрим далее применение инкрементального подхода к решению задач упругопластичпости при рассмотрении изотер­ мических задач прокатки. Одной из существенных трудностей здесь (как и при решении многих других задач теории обработки металлов давлением) является наличие свободных поверхностей, вообще говоря, неизвестной формы. Неизвестными являются так­ же зоны упругого и упругопластического деформирования. В существующих решениях задач прокатки и волочения отмечен­ ные трудности преодолеваются использованием ряда эмпириче­ ски введенных гипотез: гипотезы «жестких концов», гипотезы о малости внеконтактных деформаций, гипотезы «плоских сече­

53

ний» [84, 125] в предположении о жесткопластическом поведении материала [19, 20 и др.]. Являясь полезными для упрощения исходной задачи при определении интегральных характеристик процесса, эти гипотезы неприемлемы для расчета напряженнодеформированного состояния в каждой точке исследуемой обла­ сти, в том числе при определении остаточных напряжений.

Ниже приводятся некоторые результаты, иллюстрирующие возможности применения метода конечных элементов для иссле­ дования процесса прокатки без использования вышеуказанных гипотез.

Рассмотрим случай изотермической прокатки стальной полосы

+ Я х), Я 0 — первоначальная высота полосы, Нг — высота поло­ сы после прокатки. Решение данной задачи получено в условиях

а х

Рис. 4.5. Образование и развитие пластической области в очаге деформации при прокатке (элементы, перешедшие в пластическое состояние, черпого цвета)

плоскодеформированного состояния и полного прилипания на контактной поверхности, так как'при ИН = 0,2 зона прилипания охватывает всю дугу контакта [125]. В силу симметрии рассматри­ валась х/г часть продольного сечения полосы, разделенная на 432 треугольных элемепта с числодг узлов, равным 259. Гранич­

валка, йг — перемещения точек валков за вычетом перемещений

захвата полосы (позиции а — в) и установившегося течения ме­ талла (позиция г).

На рис. 4.6 представлены поля продольных деформационных, т. е. вычтена скорость поступательного движения полосы, и вер­ тикальных перемещений в стадии установившегося течения ме­ талла (через I обозначена длина геометрического очага деформации

54

Рис. 4.6. Поле продольных деформационных перемещении (а); поле верти­ кальных перемещений (б) (установившееся течение металла)

Ряс. 4.7. Эпюры напряжений (а) в различных сечениях очага де­

Sформации (сплошная линия — ах, пунктирная — оу) и эпюра контакт­ ного давления (б)

0,5 /,0 х/1

без учета внеконтактной деформации). Отрицательные деформа­ ционные перемещения их на контактной поверхности связаны с на­ коплением деформации «смятия» полосы перед геометрическим •очагом деформации. Из рис. 4.6, б видно, что фактическая длина дуги контакта меньше, чем определяемая геометрическим очагом деформации,— происходит «утяжка» металла. На некотором уда­ лении от плоскости входа в геометрический очаг деформации пе­ ремещения иу положительны, так как за счет давления в очаге деформации происходит выдавливание материала в заднюю внеконтактиуго зону. Уменьшение (по модулю) отрицательных пере­ мещений иц в передней внеконтактной зоне можно объяснить также выдавливанием материала и упругим восстановлением фор­ мы полосы.

Эпюры напряжений ох и ov в различных сечениях х = const, очага деформации для стадии установившегося течения представ­ лены на рис. 4.7, а\ плоскость х = 0 соответствует сечению входа; у — 0 — плоскость симметрии полосы. В сечении входа напряже­ ние ст;/ имеет максимум при 2у/Н = 0,7, а затем в сечении х/1 — = 0,5 максимум достигается на контактной поверхности. В сече­ нии выхода из очага деформации х/1 ~ 1 максимальные напряже­ ния Оу достигаются па оси симметрии. Решение позволило вы­ явить также наличие зоны затрудненпой деформации в области,

55

Рис. 4.8. Линии тока (пунктирные) по предварительной схеме деформации и исправленные (сплошные) при решении задачи прокатки алюмиппсвой полосы

(4.47), из решения (4.48) определяем поле скоростей перемещений и скоростей деформаций. Исследуемая область подразделяется на конечные элементы, при этом полагается, что все элементы дви­ жутся по линиям тока, последовательно переходя один в другой. Интегрируя по линиям тока скорости деформаций, можно для движущейся частицы определить деформации (последние счита­ ются малыми) в каждой точке евклидова пространства (решение ведется в эйлеровой системе координат, однако прослеживается движение материальных частиц). В предположении гладкости поля скоростей деформаций и малости интервалов времени пере­ мещения частицы (элемента) в соседнее положение интегрирова­ ние можно заменить суммированием:

где т — номер элемента по линии тока, А/<п> = &n)/i4n) — время перемещения элемента из положения п в положение п + 1 (см.

рис. 4.8), — продольная скорость центра тяжести n-го эле­ мента.

По найденным деформациям гц (х) и интенсивности деформа­ ций е{ (х) определяются области упругого деформирования (в том числе области разгрузки) и зоны пластического деформирования. Заметим, что упругие деформации определяются, как обычно, с помощью закона Гука через найденные напряжения. Пластиче­ ские деформации определяются как разность между полными де­ формациями и суммой упругих и температурных составляющих тензора деформаций.

Далее для пластических зон определяется эффективная вяз­ кость («секущий модуль») первого приближения X*1) (х). Затем решение повторяется, причем для упругих областей в качестве

58

Рис. 4.10. Эпюры деформационных остаточных напряжений при прокатке алюмшшсной полосы

с —расчет; 0 —эксперимент

определяющих соотношений используются уравнения (4.47), а для пластических — (4.43), (4.44) — с найденными значениями вяз­ кости (х). Условия окончания итерационного процесса имеют вид

в пластической области с заданной точностью должно выполнять­ ся условие пластичности.

Интегрируя затем по линиям тока полученные поля скоростей перемещений, корректируются линии тока и положение свобод­ ной поверхности, после чего происходит переход к итерационному процессу линеаризации физической нелинейности. Процесс уточ­ нения линий тока прекращается, если максимальное по области значение модуля нормальной к линии тока составляющей вектора скорости vn удовлетворяет условию

На рис. 4.8 приведены полученные «исправленные» линии тока. Характер течения полностью соответствует полученному при ре­ шении этой же задачи методом переменной жесткости. Соответст-

59