![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Остаточные напряжения теория и приложения
..pdfгде / — номер узла, к — номер итерации, е > 0 — достаточно малое число.
Для проверки алгоритма решения температурной задачи произведено сопоставление теоретических результатов с экспери ментальными (эксперимент проведеп в Украинском научно-иссле довательском институте металлов сотрудниками отдела сорто прокатного производства). Исследовалось охлаждение на воздухе
Рнс. 4.2. Расположсшю точек в иоиеречпом сечении двутаврового профиля
двутаврового колонного профиля (высота Н = 0,2 м, ширина полок В = 0,2 м) с зачеканенпыми термопарами с печного нагре ва до 1300° С. В табл. 4.1 приведены значения экспериментально замеренных и полученных теоретически (для аналогичных усло вий охлаждения) температур для нескольких моментов времени
Т а б л и ц а 4.1 |
|
|
|
|
|
Температура |
|
|
||
Время |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
М точки |
г) |
|
||
дения, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
мин. |
Расчет |
Экспери |
| |
Расчет |
Эксперимент |
Расчет |
Эксперимент |
|||
|
мент |
|
||||||||
0,5 |
1084 |
1090 |
|
|
1077 |
|
|
1099 |
1154 |
1153 |
2,0 |
779 |
847 |
|
|
774 |
|
|
825 |
875 |
901 |
3,5 |
697 |
680 |
|
|
697 |
|
|
(590 |
739 |
751 |
7,0 |
550 |
570 |
|
|
548 |
|
|
563 |
622 |
633 |
11,5 |
435 |
435 |
|
|
436 |
|
|
429 |
463 |
473 |
16,0 |
350 |
350 |
|
|
348 |
|
|
343 |
365 |
369 |
23,5 |
263 |
2(51 |
|
|
264 |
|
|
254 |
272 |
266 |
36,0 |
170 |
170 |
|
|
170 |
|
|
.168 |
175 |
170 |
50,5 |
120 |
115 |
|
|
119 |
|
|
112 |
121 |
117 |
100,0 |
64 |
60 |
|
|
63 |
|
|
59 |
64 |
62 |
Время |
|
|
|
|
|
|
Температура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jft точки |
|
|
||
охлаж |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дения, |
|
/i |
|
|
|
|
|
5 |
|
t$ |
мин. |
Расчет |
|
|
|
Расчет |
|
||||
|
Эксперимент1 |
Эксперимент1 Расчет |
Экспсрн-' |
|||||||
0,5 |
1027 |
|
985 |
|
1125 |
1140 |
1170 |
1200 |
||
2,0 |
795 |
|
850 |
|
|
872 |
902 |
885 |
934 |
|
3,5 |
652 |
|
703 |
|
|
736 |
752 |
747 |
774 |
|
7,0 |
552 |
|
582 |
|
|
622 |
646 |
628 |
657 |
|
11,5 |
435 |
|
432 |
|
|
464 |
480 |
465 |
485 |
|
16,0 |
344 |
|
377 |
|
|
363 |
374 |
367 |
376 |
|
23,5 |
266 |
|
276 |
|
|
275 |
275 |
271 |
269 |
|
36,0 |
177 |
|
160 |
|
|
174 |
170 |
175 |
176 |
|
50,5 |
113 |
|
106 |
I |
|
121 |
115 |
122 |
120 |
|
100,0 |
61 |
|
62 |
|
64 |
63 |
64 |
65 |
51
(расположение точек указано на рис. 4.2). Из таблицы видно, что максимальная относительная погрешность |Трасч — Тэкс |/ Тэкс
не превышает 7—10%.
Сопоставление результатов теоретического расчета и экспери мента в промышленных условиях Нижне-Тагильского металлур гического комбината им. В. И. Ленина для балки № 60 (Я — 0,6 м, В = 0,19 м; эксперимент проведен сотрудниками центральных лабораторий комбината) также обнаруживает приемлемую точ ность расчетов. Так, при прокатке балки № 60 средние темпера туры внешней поверхности полок перед прокаткой в черновой и чистовой клетях, согласно экспериментальным данным, состав ляют 1125 и 950° С, расчетные значения дают соответственно 1095 и 1010° С. Для внутренней поверхности переходной от стенки к полкам области после чистовой клети эксперименталь ные и расчетные данные составляют соответственно 1000 и и 1025° С.
Описанная выше методика решения задач упругопластичности, основанная на инкрементальном подходе, была с успехом исполь зована при рассмотрении нестационарных процессов [74, 100, 115], позволяя-выявить динамику развития пластической зоны, изменения напряжений и деформаций в течение всего анализи руемого процесса.
Для иллюстрации рассмотрим решение задачи об осадке вы сокого параллелепипеда с отношением HIB = 2,0 (рис. 4.3) в условиях плоскодеформированного состояния и полного при липания на контактной поверхности [74]. Вследствие симметрии рассматривается V* часть сечения, которая разделяется на 72 треугольных элемента с числом узлов, равным 49. Граничные условия при этом приняты следующими: 1) на поверхности кон такта заданы нормальные компоненты перемещений, равные ве личине элементарного обжатия ДА = (0,1—0,001) ДЯ (ДЯ — полное обжатие), и касательные компоненты перемещений, рав ные нулю; 2) нормальные компоненты перемещений и касатель ные компоненты напряжений на осях симметрии равны нулю; 3) на свободных поверхностях равны нулю компоненты вектора напряжений. При решении задачи вектор нагрузки в узлах на поверхности контакта формируется посредством умножения из вестной части вектора перемещений на соответствующую часть матрицы жесткости.
В результате решения задачи получена картина развития пластической области на разных этапах осадки (рис. 4.3, а— г), эпюры нормальных и касательных напряжений на контактной поверхности (рис. 4.4), а также изменение формы свободной по верхности. Образование пластической области начинается почти одновременно у кромки свободной поверхности и в центре, после чего она распространяется в диагональном направлении из цен тра вверх и к свободной поверхности. При степени деформации г ж 0,1 % образуется «пластический крест», который затем разви вается сначала в сторону свободной поверхности, а затем к по-
52
Рис. 4.3. Образование и развитие пластической области при осадке иараллслешшсда (элементы, перешедшие п пластическое состояние, затушеваны)
« —е = 0,089 %; |
В |
<5—0,098%; |
|
в —0,103%; |
|
г—0,119%; |
|
1—свободная поверхность; |
|
2 — поверхность |
контакта |
Г, НПО.
Л7|-----
Рис. 4.4. Нормальные (а) и касательные (б) напря жения на поверхности кон такта
верхности контакта. Последними переходят в пластическое со стояние элементы, примыкающие к центру контактной поверхно сти, что подтверждает наличие зоны затрудненной деформации.
Из эпюры касательпых напряжений на поверхности контакта видно, что в центре касательные напряжения (силы сцепления) равны нулю, а у кромки свободной поверхности имеют максималь ное значение. Эпюра нормальных напряжений имеет вогнутый характер, причем у кромки свободной поверхности пормальиые напряжения таклсе имеют максимум. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами большинства экспериментов, а также с теоретическими данными, приведенными в работе [45].
Рассмотрим далее применение инкрементального подхода к решению задач упругопластичпости при рассмотрении изотер мических задач прокатки. Одной из существенных трудностей здесь (как и при решении многих других задач теории обработки металлов давлением) является наличие свободных поверхностей, вообще говоря, неизвестной формы. Неизвестными являются так же зоны упругого и упругопластического деформирования. В существующих решениях задач прокатки и волочения отмечен ные трудности преодолеваются использованием ряда эмпириче ски введенных гипотез: гипотезы «жестких концов», гипотезы о малости внеконтактных деформаций, гипотезы «плоских сече
53
ний» [84, 125] в предположении о жесткопластическом поведении материала [19, 20 и др.]. Являясь полезными для упрощения исходной задачи при определении интегральных характеристик процесса, эти гипотезы неприемлемы для расчета напряженнодеформированного состояния в каждой точке исследуемой обла сти, в том числе при определении остаточных напряжений.
Ниже приводятся некоторые результаты, иллюстрирующие возможности применения метода конечных элементов для иссле дования процесса прокатки без использования вышеуказанных гипотез.
Рассмотрим случай изотермической прокатки стальной полосы
Т( = 20° С, |
Ст. 40, |
Е = |
2-105 |
МПа, |
ц = 0,3, <JS = |
350 МПа) |
с отношением длины дуги |
контакта I к |
средней высоте ИИ = 0,2 |
||||
и обжатием |
AHIH = |
3,8%, где |
АЯ = |
Н0 — Я 1? Я = |
1/2 (Я 0 + |
+ Я х), Я 0 — первоначальная высота полосы, Нг — высота поло сы после прокатки. Решение данной задачи получено в условиях
а х
Рис. 4.5. Образование и развитие пластической области в очаге деформации при прокатке (элементы, перешедшие в пластическое состояние, черпого цвета)
плоскодеформированного состояния и полного прилипания на контактной поверхности, так как'при ИН = 0,2 зона прилипания охватывает всю дугу контакта [125]. В силу симметрии рассматри валась х/г часть продольного сечения полосы, разделенная на 432 треугольных элемепта с числодг узлов, равным 259. Гранич
ные условия |
приняты |
следующими |
(рис. 4.5): щ = ц{, х €Er St |
{х : (F (х) = |
0) /Л (ап < |
0)} (F (х) = |
0— уравнение поверхности |
валка, йг — перемещения точек валков за вычетом перемещений
полосы как целого), аип^ = |
0, х е |
S2 (уравнение для S2находят |
||
ся интегрированием поля перемещений), uv = |
0, т,^ = 0 , х е «У3, |
|||
причем полная поверхность |
S = |
Sx + |
+ |
S3. |
Решение задачи позволило последовательно проследить за за |
||
полнением геометрического |
очага деформации, формированием |
|
зон пластического деформировапия й изменением формы свобод |
||
ных поверхностей. На рис. |
4.5 приведена картина |
образования |
и развития области пластического деформирования |
в процессе |
захвата полосы (позиции а — в) и установившегося течения ме талла (позиция г).
На рис. 4.6 представлены поля продольных деформационных, т. е. вычтена скорость поступательного движения полосы, и вер тикальных перемещений в стадии установившегося течения ме талла (через I обозначена длина геометрического очага деформации
54
Рис. 4.6. Поле продольных деформационных перемещении (а); поле верти кальных перемещений (б) (установившееся течение металла)
Ряс. 4.7. Эпюры напряжений (а) в различных сечениях очага де
Sформации (сплошная линия — ах, пунктирная — оу) и эпюра контакт ного давления (б)
0,5 /,0 х/1
без учета внеконтактной деформации). Отрицательные деформа ционные перемещения их на контактной поверхности связаны с на коплением деформации «смятия» полосы перед геометрическим •очагом деформации. Из рис. 4.6, б видно, что фактическая длина дуги контакта меньше, чем определяемая геометрическим очагом деформации,— происходит «утяжка» металла. На некотором уда лении от плоскости входа в геометрический очаг деформации пе ремещения иу положительны, так как за счет давления в очаге деформации происходит выдавливание материала в заднюю внеконтактиуго зону. Уменьшение (по модулю) отрицательных пере мещений иц в передней внеконтактной зоне можно объяснить также выдавливанием материала и упругим восстановлением фор мы полосы.
Эпюры напряжений ох и ov в различных сечениях х = const, очага деформации для стадии установившегося течения представ лены на рис. 4.7, а\ плоскость х = 0 соответствует сечению входа; у — 0 — плоскость симметрии полосы. В сечении входа напряже ние ст;/ имеет максимум при 2у/Н = 0,7, а затем в сечении х/1 — = 0,5 максимум достигается на контактной поверхности. В сече нии выхода из очага деформации х/1 ~ 1 максимальные напряже ния Оу достигаются па оси симметрии. Решение позволило вы явить также наличие зоны затрудненпой деформации в области,
55
примыкающей к валку [115]. Зона затруднепиой деформации трактуется как область, в которой приращение интенсивности де формаций неположительно. Возникновение подобной области обусловлено тем, что здесь металл находится в условиях всесто роннего сжатия.
На рис. 4.7, б приведена эпюра контактного давления. Мак симум контактного давления в данной задаче достигается при хИ = 0,5. Среднее давление на валки, подсчитанное по приведен ным результатам, составляет 560 МПа.
Аналогичные результаты для случая изотермической прокат ки алюминиевой полосы с отношением ПН — 0,3 и степенью де формации ДHIH = 5,5% приведены в работах [100, 115]. Полу ченные результаты удовлетворительно согласуются с экспери ментальными данными, полученными поляризационпо-оптиче- ским методом [10].
Рассмотренный метод эффективен при решении задач с неиз вестной формой внешней поверхности, однако требует значитель ных затрат машинного времени. Так, для решения задач прокатки полос со степенями обжатия 3—6% требуется около 1,5—2 ч ма шинного времени на БЭСМ-6. Если же при установившемся тече нии материала форма свободной поверхности приближенно из вестна, алгоритм решения может быть несколько упрощен.
В этом случае исследование напряженно-деформированного со стояния материала обычно сводится к решению задачи установив шегося течения нелинейно-вязкой жидкости [41, 45, 57, 145 и др.], где определяющие соотношения записываются в форме Сен-Ве- нана — Мизеса. Материал полагается жесткопластическим, при этом пренебрегается изменением формы свободных поверхностей и упругими деформациями. Указанные допущения могут приво дить к существенным ошибкам в решении и, кроме того, не позво ляют определить остаточные напряжения. От этих недостатков свободен изложенный ниже алгоритм решения задач установив шегося течения материалов [101, 1171, также основанный на МКЭ.
Будем считать малыми углы поворота частицы материала в зонах упругого деформировапия и деформации во всей исследуе мой области. Предположим, что для исследуемого процесса тече ния известны зоны упругого и пластического деформировапия и линии тока, вдоль которых движутся частицы металла. В пласти ческой области поведение металла описывается определяющими соотношениями теории пластичности для процессов малой кри
визны |
[52] |
|
|
Sij — 2A, (£jj |
ет8ij) |
(4.43) |
|
и уравнением |
несжимаемости |
|
|
£ = |
1/з & № -^ = 0, |
(4.44) |
|
где |
= Vij — компоненты тензора |
скоростей деформаций; |
%= ф (s)/3ir, |
Ф (s) — функция |
упрочнения; |
s = ^t f (g) dg— |
длина дуги |
|
|
j_о |
траектории деформации; Н = (2/3&;-£у)2 — интен |
|||
сивность скоростей деформации; |
бт — скорость |
температурной |
|
деформации; кт= а.тТ. |
|
|
В упругой зоне определяющие соотношения запишем в виде
kSij = |
2G&eij, |
(4.45) |
где Дец ~ |
— l8u)At — приращение компонент девиатора де |
формаций за малый промежуток времени. Уравнение изменения объема представим также в приращениях
Да = |
КА&, К = Е/(1 - |
2ц), |
Де = (V3i№ - &)At. |
(4.46) |
Вводя |
обозначения G' = |
GAt и |
К! = КAt, уравнения |
(4.45), |
(4.46) можно записать в форме уравнепий линейно-вязкой жидко сти]
Л»о = 2С'<Еи-8ви).
Да = | = Ч3Ы - F . (4.47)
Используя далее уравнения равновесия, записанные для упругой области в приращениях напряжений, а для пластической — в пол ных напряжениях, определяющие соотношения (4.43), (4.44), (4.47) и метод Галеркина, можно получить разрешающие соотно шения метода конечных элементов
№ {-j-} = <F>- |
(4.48) |
Здесь искомыми неизвестными являются значения составляю щих вектора скоростей перемещений {v} и величина среднего напряжения в каждом узле {а}. Поскольку априори форма сво бодной поверхности, линии тока, упругие и пластические зоны неизвестны, для их определения используется следующая итера ционная процедура.
Для наглядности изложения, не уменьшая общности предлагае мой методики, проведем его для случая изотермической прокатки высокой алюминиевой полосы в предположении, плоской дефор мации и полного прилипания (начальная высота Н0 = 0,70 м, степень деформации в = 14%, радиус валков R = 0,108 м, угло вая скорость валков © = 0,093 с-1). В начальпом приближении принимаем, что исследуемая область ограничена поверхностью обрабатывающего инструмепта в зоне геометрического очага де формации и приближенно заданными поверхностями заготовки и готового изделия (рис. 4.8). Линии тока в нулевом приближении задаются пропорциональным делением отрезков в направлении оси Оу (рис. 4.8, Ох — ось симметрии). Кроме того, в нулевом приближении полагается, что вся исследуемая область находится в упругом состоянии. Используя определяющие соотпошеппя
57
Рис. 4.8. Линии тока (пунктирные) по предварительной схеме деформации и исправленные (сплошные) при решении задачи прокатки алюмиппсвой полосы
(4.47), из решения (4.48) определяем поле скоростей перемещений и скоростей деформаций. Исследуемая область подразделяется на конечные элементы, при этом полагается, что все элементы дви жутся по линиям тока, последовательно переходя один в другой. Интегрируя по линиям тока скорости деформаций, можно для движущейся частицы определить деформации (последние счита ются малыми) в каждой точке евклидова пространства (решение ведется в эйлеровой системе координат, однако прослеживается движение материальных частиц). В предположении гладкости поля скоростей деформаций и малости интервалов времени пере мещения частицы (элемента) в соседнее положение интегрирова ние можно заменить суммированием:
e l f = S |
(4.49) |
n=l |
|
где т — номер элемента по линии тока, А/<п> = &n)/i4n) — время перемещения элемента из положения п в положение п + 1 (см.
рис. 4.8), — продольная скорость центра тяжести n-го эле мента.
По найденным деформациям гц (х) и интенсивности деформа ций е{ (х) определяются области упругого деформирования (в том числе области разгрузки) и зоны пластического деформирования. Заметим, что упругие деформации определяются, как обычно, с помощью закона Гука через найденные напряжения. Пластиче ские деформации определяются как разность между полными де формациями и суммой упругих и температурных составляющих тензора деформаций.
Далее для пластических зон определяется эффективная вяз кость («секущий модуль») первого приближения X*1) (х). Затем решение повторяется, причем для упругих областей в качестве
58
Рис. 4.10. Эпюры деформационных остаточных напряжений при прокатке алюмшшсной полосы
с —расчет; 0 —эксперимент
определяющих соотношений используются уравнения (4.47), а для пластических — (4.43), (4.44) — с найденными значениями вяз кости (х). Условия окончания итерационного процесса имеют вид
max |IS)»'’ — |
< |
бЕ. |
(4.50) |
|
max | |
— a t » - 1< |
б,, |
(4.51) |
|
V |
|
|
|
|
где б|, |
ба — малые |
положительные числа, |
р = 1, 2, . . ., L — |
|
номер элемепта, /с — номер итерации. При |
этом для элементов |
в пластической области с заданной точностью должно выполнять ся условие пластичности.
Интегрируя затем по линиям тока полученные поля скоростей перемещений, корректируются линии тока и положение свобод ной поверхности, после чего происходит переход к итерационному процессу линеаризации физической нелинейности. Процесс уточ нения линий тока прекращается, если максимальное по области значение модуля нормальной к линии тока составляющей вектора скорости vn удовлетворяет условию
max |vn(х) |< е, |
(4.52) |
xe=V |
|
где е — заданное |
положительное число. |
Критерием завершения расчетов является одновременное вы |
|
полнение условий |
(4.50) — (4.52). |
На рис. 4.8 приведены полученные «исправленные» линии тока. Характер течения полностью соответствует полученному при ре шении этой же задачи методом переменной жесткости. Соответст-
59
( х/l)= 0 |
(x/l)= 0,J |
f x / l h f |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 4.11. |
Эпюры |
сте |
|
|
|
|
|
|
пени |
использования |
ре |
|
|
|
|
|
|
сурса |
пластичности |
при |
|
|
|
|
|
|
прокатке |
алюминиевой |
||
0 |
0,2p |
0 |
0,2 y |
0 |
полосы |
|
|
|
0,2 p |
|
|
|
вие рассчитанных контактных напряжений с экспериментальными результатами [471 является удовлетворительным (рис. 4.9) для рассматриваемого круга задач.
Решение позволило также найти деформационные остаточные напряжения в полосе после прокатки и распределение ресурсапластичности ¥ [451. Эпюры остаточных напряжений по сечению полосы приведены на рис. 4.10. Результаты расчета находятся в хорошем соответствии с качественными эшорами остаточпых папряжений, полученными экспериментально [31]. Кривые степени использования ресурса пластичности при прокатке изображены на рис. 4.11.
Хотя доказательство сходимости алгоритма решения задачи в скоростях отсутствует, результаты численных экспериментов сви детельствуют о его быстрой сходимости. Например, при решении упомянутой выше задачи прокатки при использовании данного алгоритма потребовалось около 30 мин, чтобы рассчитать на БЭСМ-6. При той же точности расчетов метод переменной жестко сти требует для своей реализации более 2 ч. Отмеченное обстоя тельство позволило рекомендовать применение приведенного алго ритма к решению задач прокатки и волочения.
Недостатком данного алгоритма является возникающая в не которых случаях численная неустойчивость, устраняемая надле жащим выбором конечноэлементной сетки и использованием мето да регуляризации [111].
Следует отметить, что одним из преимуществ численных мето дов является возможность использования при решении задачи не скольких алгоритмов и различных определяющих соотношений в зависимости от того, какие свойства материала являются наибо лее существенными на той или иной стадии процесса обработки. Например, при анализе остаточных напряжений в проволоке при определении напряженно-деформированного состояния при воло чении может быть использован алгоритм решения задачи в ско ростях, а при рассмотрении процесса охлаждения после волочения, где возможно возникновение вторичных пластических дефор маций,— описанный ранее метод переменной жесткости. Естест венно, решение вопроса о возможности подобного комбинирова ния должно приниматься на основе предварительного анализа особенностей того или иного процесса обработки материалов.