книги / Сборник задач по общей физике

m = 0,1 кг.

2. Тонкий однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. С каким угловым ускорением вращается стержень, если на него действует вращающий момент М = 98,1 мН·м?

3.Определите момент импульса цилиндра массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, совпадающей с одной из его образующих (рисунок).

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей че-

рез центр платформы, делая 0,5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R м, человек – точечная масса.

5.Диск катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия диска равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию поступательного и вращательного движения диска.

6.Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона

α= 25°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения стала 4,6 м/с.

7.Зависимость потенциальной энергии тела в центральном

поле от расстояния r до центра поля задается функцией WÏ (r) rA2 Br (А = 6 мкДж·м2, В = 0,3 мДж·м). Определите,

при каком значении r потенциальная энергия тела принимает максимальное значение.

8. В узкую пробирку налита вода до уровня 10 см. Когда пробирку отклонили на некоторый угол от вертикали, давление

221

воды на ее дно уменьшилось в 2 раза. При этом из пробирки не вылилось ни капли воды. Определите угол, на который отклонили пробирку от вертикали.

9.На тело, погруженное в воду, действует сила Архимеда, составляющая шестую часть его веса в воде. Определите плотность тела.

10.На конце нити, перекинутой через блок, подвешено тело массой 30 г. Другой конец нити соединен с легкой пружиной, к которой прикреплено тело массой 50 г. Длина пружины в нерастянутом состоянии 10 см. Под действием силы 0,1 Н пружина удлиняется на 2 см. Найдите длину пружины во время движения грузов.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 23

1. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m относи-

тельно оси ОО′ (рисунок). Груз принять за материальную точку.

2.Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его

плоскости. Зависимость угловой скорости от времени дается уравнением ω = А + Вt, где В = 8 рад/с2. Найдите касательную силу, приложенную к ободу диска.

3.Определите момент импульса цилиндра массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг его оси симметрии.

4.Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим

мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг·м2?

222

5.К ободу сплошного однородного диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила F = 20 Н. Определите кинетическую энергию диска через 5 с после начала действия силы.

6.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, уменьшил частоту своего вращения с 240 до 120 об/мин. Определите работу сил торможения.

7.Какова первая космическая скорость для планеты, масса

ирадиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?

8.Аквариум прямоугольной формы на 2/3 объема заполнен водой. Определите величину силы давления воды на стенку аквариума длиной 40 см и высотой 30 см.

9.Льдина равномерной толщины плавает, выступая над уров-

нем воды на высоту 2 см. Найдите массу льдины, если площадь ее основания 200 см2. Плотность льда 900 кг/м3.

10.На горизонтальном диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит шайба массой 150 г. Шайба соединена с осью диска легкой пружиной длиной в недеформированном состоянии 20 см. Определите жесткость пружины, если при угловой скорости диска 4 рад/с пружина растягивается на 2 см. Коэффициент трения между шайбой и поверхностью диска 0,2.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 24

1. На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определите момент инерции та-

кой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси, стержня (рисунок). Принять m = 0,1 кг.

223

2.На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого

привязан груз массой 10 кг. Определите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2 м/с2.

3.Два однородных тонких стержня: АВ

длиной l1 = 40 см и массой m1 = 900 г и CD длиной l2 = 40 см и массой m2 = 400 г скреплены под прямым углом (рисунок). Определите момент импульса системы стерж-

ней, вращающейся с частотой ν относительно оси ОО′, проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит в центре платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние от человека до центра станет равным R/4? Платформа – однородный диск радиусом R м, человек – точечная масса.

5.Шар массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 5 об/с. Найдите полную кинетическую энергию шара.

6.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит на расстоянии 3 м от центра платформы. Когда человек переместился на расстояние 1 м от центра платформы, частота вращения стала равной 22 об/с. Платформа – однородный диск, человек – точечная масса. Найдите работу, совершаемую человеком.

7.Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определите его скорость и период вращения.

8.В U-образную трубку налита ртуть. Сверху в одно колено заливают 68 г воды. Площадь сечения трубки 1 см2, плотность

ртути 13,6·103 кг/м3. Определите, на сколько уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом.

224

9.При взвешивании в воздухе тело объемом 1000 см3 было уравновешено медными гирями общей массой 890 г. Какой массы

гири необходимо добавить при взвешивании этого тела в вакууме? Плотность меди 8,9·103 кг/м3, воздуха – 1,2 кг/м3.

10.Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 25

1. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m отно-

сительно оси ОО′ (рисунок). Груз принять за материальную точку.

2.На барабан массой m1 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m2 = 2 кг. Определите ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

3.Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как показано на рисунке. Определите момент импульса системы, вращающейся с частотой ν относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 0,5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние от человека до центра станет рав-

225

ным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R м, человек – точечная масса.

5.Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой 20 об/с, равна 20 Дж. Найдите момент импульса вала относительно оси вращения.

6.Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 об., остановился. Определите момент М силы торможения.

7.Вычислите первую космическую скорость у поверхности Луны, если ее радиус 1760 км, а ускорение свободного падения

уповерхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.

8.На какой глубине в озере давление в 3 раза больше атмосферного давления р0 = 100 кПа?

9.Железобетонная плита размером 4 0,3 0,25 м погружена в воду на половину своего объема. Какова архимедова сила, действующая на плиту?

10.На горизонтальной поверхности лежит брусок массой 1 кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью 50 Н/м. К свободному концу пружины приложили горизонтальную силу, растягивающую пружину. Какую работу совершит сила к моменту, когда брусок начнет скользить? Коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,4.

Модуль 3. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Вариант 1

чальная фаза этих колебаний?

226

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колеба-

ний в виде x Asin t 0 .

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимостьпроекции скорости vx от времени.

4. Уравнение движения точки дано в виде x sin(πt6), см.

Найдите моменты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение.

5.К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна 1 Дж, найдите коэффициент упругости пружины. Амплитуда колебаний 5 см.

6.Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Сначала ось проходит через образующую диска, потом – на расстоянии R/2 от центра диска. Определите отношение периодов колебаний дисков.

7.Постройте векторную диаграмму сложения амплитуд и напишите уравнение результирующего гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, задан-

ных уравнениями х1 = 4sin t, см, и x2 = 3sin( t + /2), см.

8. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных уравнениями х = 2sin( 0t+ /2), см, и у = 2sin 0t, см. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.

9.Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определите логарифмический декремент затухания.

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси х. Уравнение незатухающих колебаний источника дано в виде

227

у = 10sin0,5 t, см. Напишите уравнение колебаний для точек волны в момент t = 4 c после начала колебаний.

11. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 40 м/с. Частота колебаний 20 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 2

1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением х =

=5cos2π(t 1/8), см.

2.Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармони-

ческих колебаний в виде x Asin t 0 .

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Напишите уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

5.Материальная точка массой 20 г колеблется по уравнению

x5sin πt5 π4 см. Найдите период колебаний, максималь-

ную силу, действующую на точку, и ее полную энергию.

228

6.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите период этих колебаний.

7.Точка участвует в двух одинаково направленных коле-

баниях: х1 = А1sin t и х2 = А2соs t, где А1 = 1 см, А2 = 2 см,= 1 рад/с. Определите амплитуду результирующих колебаний и их частоту.

8.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: х = 2sin t и у = 2cos t. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.

9.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 5 мин?

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х.

Уравнение незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5 t, см. Напишите уравнение колебаний для точки, отстоящей на расстояние 600 м от источника колебаний, если скорость волны 300 м/с.

11. Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна /3, а частота колебаний 25 Гц.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 3

1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x 0,1sin π(t8 14), м. Чему равны амплитуда, частота и началь-

ная фаза колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена

графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний

в виде x Asin t 0 .

229

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Постройте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Амплитуда гармонических колебаний 5 см, период 4 с. Найдите максимальную скорость колеблющейся точки и максимальное ускорение.

5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки

А= 0,3 см, полная энергия колебаний W = 3 · 10–7 Дж. При каком

смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 10–5 Н?

6.Как соотносятся частоты колебаний математических маятников, если длины соотносятся как 1:4?

7. Найдите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями х1 = 3sin t см, и x2 = 4sin( t + /2), см. Напишите уравнение результирующего колебания и постройте векторную диаграмму сложения амплитуд.

8. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и выражаемых уравнениями х = sin t/2 и у = cos t (длина – в см, время – в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте

еес соблюдением масштаба и укажитенаправлениедвижения.

9.За 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в3 раза. Определите коэффициент затухания.

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравне-

ние колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5 t, см. Напишите уравнение волны, если скорость распространения колебаний

300м/с.

11.Волны распространяются со скоростью 75 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 2 м. Найдите период колебаний.

230