книги / Сборник задач по общей физике

ная r также зависит от (r = r0/sin ), следовательно, dα sin d . r r0

Таким образом, выражение (3) можно переписать в виде

B μ0 I 2 sin d , где 1 и 2 – пределы интегрирования. 4πr0 1

Выполним интегрирование:

При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos 2 = –cos 1. С учетом этого формула (4) примет вид

Подставив выражение cos 1 в формулу (5), получим

111

В= 26,7 мкТл.

№2. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рисунке. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить

магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80

А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию B в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей B Bi .

В нашем случае провод можно разбить на три части: два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконеч-

в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.

Поскольку точка О лежит на оси провода 1, B1 = 0, и тогда

B = B2 + B3 . Учитывая, что векторы B2 и B3 направлены в соот-

ветствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В2 + В3.

112

Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока

B μ20RI .

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому B2 μ40RI .

Магнитную индукцию В3 найдем, применив соотношение (4)

(пример 1): B3 μ0 I cos 1 cos 2 . 4πr0

№ 3. По двум бесконечным параллельным прямым проводам, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов, приходящуюся на 1 м длины проводника.

Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном направлении. Ток I1 создает в месте расположения второго провода (с током I2) магнитное поле, направление вектора магнит-

ной индукции B1 определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В1 задается соотношением

113

Согласно закону Ампера на каждый элемент dl второго про-

F μ0 I 2l .

2π d

Произведем вычисления:

F 4π 10 7 103 2 1 = 1 H. 2π 0,2

Сила F сонаправлена с силой dF, а направление dF опре-

деляется правилом левой руки.

№ 4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

114

Р е ш е н и е.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции:

v B. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна вектору v , она сообщает частице (протону) нормальное ускорение an .

Согласно второму закону Нью-

тона

окружности (векторы an и FЛ сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора B ).

и sin = 1, тогда FЛ = qvB. Поскольку нормальное ускорение an = v2/R, выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = = mv2/R. Отсюда выразим радиус окружности:

Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической

энергии протона, т.е. А = W, или q( 1 – 2) = W2 – W1, где ( 1 – 2) = U – ускоряющая разность потенциалов (или ускоряю-

115

щее напряжение); W1 и W2 – начальная и конечная кинетические энергии протона.

(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиусом R = 5 см. Определить магнитный момент рm эквивалентного кругового тока.

Р е ш е н и е.

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Движение электрона по окружности эквивалентно току, кото-

рый в данном случае определяется выражением Iэкв q e , где

t T

е – заряд электрона; Т – период его обращения.

Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2 R)/v. Тогда

116

где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном,

№ 6. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

Р е ш е н и е.

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой

W 12 LI 2 .

Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости сердечника, т.е. L = 0 n2V, где 0 – магнитная постоянная.

117

Магнитную проницаемость можно выразить следующей фор-

женность.

Подставив в формулу энергии магнитного поля выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим

Н = 2 103 · 0,5 А/м = 103 А/м.

Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).

Произведем вычисления:

W12 101,33 2 103 2 0,52 2 10 4 0,5 0,065 Дж.

№7. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных

сторон, на угол = 90°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Р е ш е н и е.

На контур с током в магнитном поле действует момент силы

118

где pm – магнитный момент контура, pm = I · S = I · a2; В – индукция магнитного поля; – угол между вектором pm (направлен по

нормали к контуру) и вектором B.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю

(М = 0), а значит, угол = 0, т.е. векторы pm и B сонаправлены.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Поскольку момент сил переменный (зависит от угла поворота ), для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Md . Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa2sin d .

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при пово-

роте на конечный угол A IBa2 sin d . Работа при повороте на

0

угол = 90°

Произведем вычисления: А = 100 · 1 · (0,1)2 = 1 Дж.

119

ГЛАВА 4. Оптика. Атомная и ядерная физика

4.1. Геометрическая оптика

Здесь можно выделить следующие типы задач: задачи на отражение света, задачи на преломление света и задачи на линзы.

Первую группу составляют задачи на построение изображения в плоском зеркале с использованием закона отражения. При построении изображения предмета в плоском зеркале следует помнить, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета А, после отражения от зеркала пойдут так, что их продолжения будут пересекаться за зеркалом в одной и той же точке А1, которая является мнимым изображением точки А. В результате изображение предмета получается прямым, мнимым, равным по величине самому предмету, расположенному симметрично с ним по отношению к плоскости зеркала.

Задачи второй группы сравнительно просты. Их решают на основании формулы закона преломления с использованием геометрии и тригонометрии. При решении задачи прежде всего надо сделать чертеж, где следует указать ход лучей, идущих из одной среды в другую. Перед тем как чертить преломленный луч, необходимо установить, переходит ли он из оптически менее плотной среды в более плотную или наоборот. В зависимости от этого луч отклоняется от своего начального направления или приближаясь к нормали в точке падения, или удаляясь от нее. После того как сделан чертеж, нужно записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из одной среды в другую и составить вспомогательные уравнения, связывающие углы и расстояния, используемые в задаче.

Задачи третьей группы – на построение изображения в одиночных линзах и расчеты, связанные с этим изображением, – решаются почти так же, как и задачи на зеркала. Для каждого положения предмета нужно построить изображение, отметить характерные точки линзы (F и 2F), расстояния от линзы до предмета и

120