книги / Сборник задач по общей физике

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

Поскольку цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, для напряженности можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

Поскольку величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r1 = R + а1 = 1,5 см; r2= R + а2 = 3 см. Подставим числовые значения в выражение (2) и вычислим:

№ 9. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2 = 5 мкФ. Какая энергия W′ израсходу-

91

ется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Р е ш е н и е.

Энергия, израсходованная на образование искры,

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов.

Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

Подставим выражение U2 в формулу (3):

92

3.2. Постоянный ток

Задачи на постоянный ток можно разделить на два типа: вычисление сопротивлений, сил токов или напряжений на какомлибо участке цепи; задачи на работу, мощность и тепловое действие тока.

Из задач первого типа можно выделить вспомогательную группу – задачи на вычисление сопротивлений отдельных проводников и соединений из них. Если в условии задачи указано, из какого материала изготовлен проводник, или приводятся сведения о его геометрических размерах или массе, то для нахождения неизвестной величины нужно воспользоваться формулой сопротивления и соотношением между массой, объемом и плотностью проводника. Решение задач на вычисление сопротивлений сложных соединений нужно начинать с анализа схемы и отыскания в ней каких-нибудь двух (иногда более) проводников, соединенных друг с другом последовательно или параллельно. Их сопротивление следует заменить одним эквивалентным сопротивлением, используя соответствующие формулы

и получить упрощенную схему. В схемах, представляющих собой комбинацию последовательно и параллельно включенных проводников, этот прием нужно применять несколько раз и таким образом найти общее сопротивление.

При решении задач на определение силы тока, напряжения или сопротивления на каком-либо участке цепи следует:

93

а) начертить схему и указать на ней все элементы цепи – источники тока, резисторы и конденсаторы;

б) установить, какие элементы цепи включены последовательно, какие – параллельно;

в) расставить токи и напряжения на каждом участке цепи; г) используя законы Ома, установить связь между токами

и напряжениями (ЭДС). В результате получается система уравнений, полностью отражающая условия задачи и позволяющая определить искомую величину.

Задачи второго типа можно, в свою очередь, разбить на три группы. К первой группе относятся задачи на расчет электрической цепи, аналогичные рассмотренным выше. Для их решения составляют те же уравнения законов Ома, но к ним добавляют формулы мощности (работы). Особое внимание следует обратить на выбор исходной формулы мощности. Если речь идет о мощности, выделяемой на участке цепи, нужно пользоваться формулой

P = IU = I2R = U 2 .

R

Мощность, развиваемая источником, – полная мощность определяется по формуле

P0 = I = Rε2 r ,

а мощность во внешней цепи источника тока

Ко второй группе относятся задачи на тепловое действие тока. Основным расчетным соотношением в них является закон

Джоуля–Ленца

Q = I2Rt.

Если участок цепи не содержит источников тока, то количество теплоты, выделяющееся на этом участке, можно определять по формуле

94

Q = IUt = U 2 t.

R

Третью, небольшую, группу составляют задачи о превращении электрической энергии в механическую, тепловую и химическую при работе электромашин постоянного тока. Решение таких задач основано на применении уравнения закона сохранения и превращения энергии.

Основные формулы

1. Сила тока

I ddqt ,

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

R – сопротивление участка;

б) I 1 2 ε

R

(для активного или неоднородного участка цепи), где – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних

95

и внутренних сопротивлений). Знаки «+» или «–» выбираются в зависимости от полярности включения источника;

в) I R ε r – для замкнутой (полной) цепи, где R – сопротив-

ление внешней цепи; r – сопротивление внутреннее (сопротивление источника тока).

3. Правила Кирхгофа:

а) Ii 0 – первое правило;

б) Ii Ri εi – второе правило,

где Ii – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;Ii Ri – алгебраическая сумма произведений сил токов и сопротивлений участков замкнутого контура; εi – алгебраическая

сумма ЭДС в замкнутом контуре.

4. Сопротивление R и проводимость G однородного проводника:

R = Sl , G = γ Sl ,

где – удельное сопротивление; – удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения.

Зависимость удельного сопротивления от температуры

0 1 t ,

где – температурный коэффициент сопротивления; t – температура по шкале Цельсия.

Сопротивление системы проводников:

а) R Ri – при последовательном соединении;

где Ri – сопротивление i-го проводника.

96

5. Работа тока:

dA IUdt I 2 Rdt U 2 dt. R

Закон Джоуля–Ленца (тепловое действие тока) dQ dA I 2 Rdt,

где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике; dt – промежуток времени, в течение которого выделялось тепло.

Мощность тока полной цепи

P = Iε.

Мощность тока на внешнем участке цепи

P = IU = I2R = U 2 .

R

Закон Ома в дифференциальной форме j γ E .

Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме w = γ E2,

где w – объемная плотность тепловой мощности (количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени).

Примеры решения задач

№ 1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 2 А в течение времени τ = 5 с. Определите заряд, прошедший по проводнику.

Р е ш е н и е.

Поскольку сила тока в проводнике изменяется, воспользоваться для подсчета заряда формулой Q= It нельзя, поэтому возьмем дифференциал заряда dQ = Idt и проинтегрируем:

97

В силу равномерного нарастания тока I = kt, где k – коэффициент пропорциональности, очевидно, что

Проинтегрировав, получим

Подставим числовые значения:

Q 2 5 5 Кл. 2

№ 2. Найти полное сопротивление схемы (а), если она вклю-

чена в цепь в точках 1 и 2. R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R. Р е ш е н и е.

Очевидно, что сопротивления R3 и R5 соединены последовательно, так как в точке 4 разветвлений нет. Определив их общее сопротивление Rэ1 = 2R, представим схему в виде б. Теперь можно выделить параллельно соединенные сопротивления Rэ1 и R4. Со-

98

Схему можно представить в виде в. Тогда имеем последовательно соединенные сопротивления Rэ2 и R2. Их общее сопротив-

ление Rэ3 = Rэ2 + R2 = 53 R. Наконец, общее сопротивление всей

схемы (г) равно сопротивлению параллельно включенных сопротивлений Rэ3 и R1:

№ 3. По железному проводнику, диаметр d сечения которого равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определите среднюю скорость <v> направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.

Р е ш е н и е.

Средняя скорость направленного (упорядоченного) движения электронов определяется по формуле

где t – время, в течение которого все свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между сечениями I и II, пройдя через сечение II, перенесут заряд Q = eN и создадут ток

где е – элементарный заряд; N – число электронов в отрезке проводника; l – его длина.

Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом:

где S – площадь сечения.

99

По условию задачи п = п . Следовательно,

где NА – постоянная Авогадро; V – объем металла; – молярная масса металла; – его плотность.

Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим

I NA lSe .

μt

Отсюда найдем

Подставив выражение I в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов

№ 4. Потенциометр с сопротивлением Rп = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой ε = 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением RV = 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и под-

вижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?

100