книги / Сборник задач по общей физике

Р е ш е н и е.

При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. Применим метод ДИ. Выделим на

стержне малый участок dr с зарядом dq = τdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

= 4 · 10–8 Kл; F = 6 мкН = 6 · 10–6 Н; l = 0,2 м; а = 0,1 м; 4πε0

81

№ 3. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = –2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от

друга. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 на r1 = 7 см.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов.

Вектор Е1 направлен по силовой линии от заряда q1, так как

заряд q1 положителен; вектор Е2 направлен также по силовой ли-

нии, но к заряду q2, так как заряд q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора Е найдем как следствие из теоремы косинусов:

82

где – угол между векторами Е1 и Е2 , который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов:

d 2 r12 r22 2r1r2 cos π r12 r22 2r1r2 cos ,

cos d 2 r12 r22 .

2r1r2

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:

Подставляя выражение Е1 из формулы (1) и E2 из формулы (2) в равенство (3) и вынося общий множитель 1/(4πε0) за знак корня, получим

Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления:

3,58 кВ/м.

При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление

Е2 было учтено при его графическом изображении (рисунок).

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

83

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

Подставляя в это выражение числовые значения физических величин, получим

№ 4. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.

Р е ш е н и е.

Численное значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в поле, определяется по формуле

где Е – напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

где τ – линейная плотность заряда.

84

Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами:

q = σS = σ2πRl, q = τl.

Приравняв правые части этих равенств и сократив на l, получим

τ= 2πRσ.

Сучетом этого формула (2) примет вид

E Rσ.

ε0r

Подставив это выражение в формулу (1), получим искомую силу F:

Выпишем в единицах СИ числовые значения величин: q = 25

нКл = 2,5 · 10–8 Кл, σ = 0,2 нКл/см2 = 2 · 10–6 Кл/м2, ε0 = 8,85 · 10–12

Ф/м. Поскольку R и r входят в формулу в виде отношения, они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Подставим в уравнение (3) числовые значения величин:

F 2,5 10-8 2 10 6 1 0,565 10 3 Н 565 мкН. 8,85 10 12 10

Направление силы F совпадает с направлением напряженности E, а последняя направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

№ 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояния r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см.

85

Р е ш е н и е.

Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рисунок): область

I(r1 < R1), область II (R1 < r2 < R2), область III (r3 > R2).

1.Для определения напряженно-

сти Е1 в области I проведем замкнутую

сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса:

EndS 0

S

(так как суммарный заряд, находящийся внутри данной замкнутой поверхности, равен нулю). Следовательно, Е1 (напряженность поля в облас-

ти I) во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.

2.В области II замкнутую поверхность проведем радиусом r2.

Вэтом случае

(так как внутри этой замкнутой поверхности находится только за-

ряд q1).

Поскольку Еn = Е = const, Е можно вынести за знак интеграла:

или

ES2 εq1 .

0

Обозначив напряженность Е для области II через Е2, получим

86

где S2 – площадь замкнутой сферической поверхности, S2 = 4πr22. Тогда

3. В области III сферическая поверхность проводится радиусом r3. Обозначим напряженность Е области III через Е3 и учтем, что в этом случае замкнутая поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q1 + q2. Тогда

E3 = 9 109 1 – 0,5 10–9 = 200 В/м. (0,15)2

№ 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины окружности и равна 16 см.

Р е ш е н и е.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги.

На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq = τdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

87

Определим напряженность электрического поля в точке 0.

Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dq:

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется.

Выразим вектор dE через проекции dEх и dEу на оси координат:

dE idEx jdEy ,

где i и j – единичные векторы направлений (орты).

Напряженность E найдем интегрированием:

E dE i dEx j dEy .

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл dEx равен нулю. Тогда

l

88

оси Y, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/3, а результат удвоим:

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3l = 2πR), получим

Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положительным направлением оси Y.

Подставим значения τ и l в полученную формулу и произведем вычисления:

Заменим r на R и произведем интегрирование:

Поскольку l = 2πR/3, то = τ/6ε0. Произведем вычисления:

10 8 12 188 В. 6 8,85 10

№ 7. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины.

89

Р е ш е н и е.

Заряд q второй пластины находится в поле напряженностью Е1, созданном зарядом первой пластины конденсатора. Следовательно, на заряд q действует сила

где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с учетом выражения (2) примет вид

Подставив числовые значения величин в формулу (3), получим

10 18

F2 8,85 10 12 10 2 5,65 10 4 H.

№8. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью

τ= 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого

поля, находящихся на расстоянии а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Р е ш е н и е.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала

E grad .

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Er ddr , или d = –Erdr.

90