книги / Сборник задач по общей физике

Полная средняя кинетическая энергия молекулы

<εi> = 2i kT ,

где i – число степеней свободы молекулы. 2. Внутренняя энергия идеального газа

U mμ 2i RT mμ CV T . 3. Теплоемкость тела Ст ddQt .

Удельная теплоемкость c mdQdt .

Молярная теплоемкость C dνdQt mμ ddQt .

4.Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сV)

ипостоянном давлении (ср):

Связь между удельной и молярной теплоемкостями

с = С , С = сμ.

Уравнение Майера

Cр – CV = R. 5. Работа расширения газа:

V2

A pdV – в общем случае;

V1

А = р(V2 – V1) – при изобарном процессе;

6. Первое начало термодинамики

Q = U + A,

61

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

7. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной сис-

где γ – показатель адиабаты, ср .

сV

8.Термический КПД цикла

ηQ1 Q2 , Q1

где Q1 – теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника; Q2 – теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

9. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)

η Q1 Q2 T1 T2 , Q1 T1

где Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

10. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

S 2 S1 2 dQ. 1 T

62

Примеры решения задач

№ 1. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где i – число степеней свободы молекулы газа; μ – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и μ = 20 10–3 кг/моль. Вы-

числяя по формулам (1) и (2), получим

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и μ = 2 10–3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим

№ 2. Вычислить удельные теплоемкости сV и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона 1 = 80 %, массовая доля водорода 2 = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

63

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сV найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на T, выразим двумя способами:

где cV,1 – удельная теплоемкость неона; cV,2 – удельная теплоемкость водорода.

Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем

сV = (6,24 · 102 · 0,8 + 1,04 · 104 · 0,2) = 2,58 · 103 Дж/(кг·К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисле-

ср = (1,04 · 103 · 0,8 + 1,46 · 104 · 0,2) = 3,75 · 103 Дж/(кг·К).

64

№ 3. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при посто-

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5); μ – молярная масса.

Начальную и конечную температуры газа найдем из уравне-

Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим

T1 2 105 1 32 10 3 385 К; 2 8,31

T2 2 105 3 32 10 3 1155 К; 2 8,31

T3 5 105 3 32 10 3 2887 К. 2 8,31

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него, находим

65

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом,

равна А = А1 + А2 = 0,4 106 Дж.

Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии U и ра-

боты А; Q = U + А, следовательно, Q = 0,4 106 + 3,24 106 =

=3,64 106 Дж = 3,64 МДж.

№4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем

был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический

где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа

γ = 1,4),

66

n1 = V2/V1 = 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры

T2 nTγ1 1 .

1

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

Т2 300 300 157 К. 51,4 1 1,91

Работа A1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

A1 mμ CV T1 T2 mμ 2i R T1 T2 ,

где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив числовые значения величин R = 8,31 Дж/(моль К) и i

= 5 (для водорода как двухатомного газа), μ = 2 10–3 кг/моль, m = 0,02 кг, T1 = 300 К, T2 = 157 К в правую часть последней формулы, получим

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

где n2 = V2/V3 = 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим

Знак «минус» показывает, что работа при сжатии совершается над газом внешними силами.

67

№ 5. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

η A ,

Qн

где Qн – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

температуру охладителя

Т2 = Т1(1 – η).

Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуру T1 нагревателя, получим

Т2 = 500 · (1 – 0,35) К = 325 К.

№ 6. Найти изменение S энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 °С до температуры t2 = 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

68

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

S mcln T2 .

T1

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг;

Т1 = 273 К; T2 = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

S 0,1 4190 ln 373273 131 Дж/К.

При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Т2 выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

69

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим

Произведя вычисления по формуле (3), найдем

S 2,26 106 0,1 606 Дж/К. 373

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

S = S′+ S = 737 Дж/К.

70