книги / Сборник задач по общей физике

стоящего на краю платформы; ′ – угловая скорость платформы

счеловеком, стоящим на ее краю.

3.Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

= 2 n.

6.Подставим выражения для I1, I2, I2 и в формулу (3):

31

№ 3. На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой M. Диск совершает вращательное движение с частотой n (об/с). Чему равна кинетическая энергия системы? Чему равна работа внешних сил, в результате действия которых частота вращения увеличивается вдвое?

Р е ш е н и е.

Запишем формулу кинетической энергии вращающегося тела

где I – момент инерции системы; – угловая скорость вращения системы.

Выразим момент инерции системы I и угловую скорость . Момент инерции системы складывается из моментов инерции тел системы:

I = I1 + I2,

где I1 – момент инерции диска, I1 = mR2 2 ; I2 – момент инерции че-

ловека, I2 = MR2 . Угловая скорость = 2 n. Подставим выражения I1 и I2 в формулу (1):

Работу сил определяем по теореме об изменении кинетической энергии:

Wк2 Wк1 A.

Используя уравнение (2) и условие n2 = 2n1, запишем

А = 2 4n2R2(m + 2M) – 2 n2R2(m + 2M) = 3 2 n2R2(m + 2M).

32

1.4. Гидромеханика

Основная задача гидромеханики состоит в том, чтобы найти законы распределения давлений и скоростей внутри жидкости. Сравнительно просто эта задача решается для идеальной несжимаемой жидкости, в которой отсутствуют силы трения между ее слоями (нет вязкости). Со стороны идеальной жидкости на тела могут действовать только нормальные силы упругости.

Задачи, связанные с нахождением давлений и сил давления в какой-либо точке внутри жидкости, решаются на основании закона Паскаля и вытекающих из него следствий. К ним можно отнести задачи на сообщающиеся сосуды. Порядок их решения может быть следующим:

1. Сделать схематический чертеж и отметить равновесные уровни жидкости, которые она занимает по условию задачи. Если даны сообщающиеся сосуды с разнородными жидкостями, то нужно отметить уровни каждой из них. Затем следует выбрать поверхность нулевого уровня, от которого будут отсчитываться высоты столбов всех жидкостей. Эта поверхность должна проходить через однородную жидкость; обычно ее выбирают на нижней границе раздела сред (жидкость – жидкость, жидкость – воздух) или на уровне трубки, соединяющей сосуды. Если по условию задачи происходит перетекание жидкости из одного сосуда в другой и при этом имеется два или несколько равновесных состояний жидкостей, то необходимо отметить высоты всех уровней, отсчитывая их от поверхности нулевого уровня.

2.Указав высоты столбов всех жидкостей в сосудах относительно поверхности нулевого уровня, следует записать уравнение равновесия жидкостей.

3.Составив уравнение равновесия, следует, при необходимости, дополнить его условиями, которые связывают между собой

высоты h1, h2 и т.д. Например, если жидкость перетекала из одного сосуда в другой, то обычно в качестве дополнительного условия используется свойство несжимаемости жидкостей: при уменьше-

33

нии объема жидкости в одном из сосудов объем этой жидкости в другом сосуде увеличивается на такую же величину. Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые величины.

В другую группу задач можно выделить задачи на применение силы Архимеда при плавании или движении тел в жидкости. Принципиально решение таких задач не отличается от решения задач статики и динамики. Здесь, кроме сил, рассмотренных в п. 2.2, должна быть учтена сила Архимеда.

Основные формулы

1. Давление, производимое силой F, равномерно распределенной по плоской поверхности площадью S и действующей перпендикулярно поверхности, находим следующим образом:

p FS .

2. Давление, создаваемое покоящейся жидкостью, называют гидростатическим.

При отсутствии движения внутри идеальной жидкости, находящейся в равновесии, давление, производимое жидкостью на глубине h, вычисляется по формуле

p = ρgh,

где – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения.

Формула носит общий характер: давление не зависит от того, какую форму имеет сосуд, содержащий жидкость.

3. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, модуль которой равен весу жидкости, вытесненной телом:

FA = жgVв.ж,

где ж – плотность жидкости; Vв.ж – объем вытесненной жидкости.

34

4. Уравнение Бернулли 2v2 gh p const.

Примеры решения задач

№ 1. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Площадь сечения одного сосуда в 2 раза больше, чем другого. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 1,02 м. На сколько миллиметров поднимется ртуть в широком сосуде?

Р е ш е н и е.

Приравнивая давления в сосудах на уровне границы ртути с водой, придем к уравнению

ртhрт = вhв.

Обозначив за x изменение уровня ртути в широком сосуде, запишем условие неизменности объема ртути

2Sx = S(hрт – x)

(увеличение объема ртути в широком сосуде равно уменьшению в узком сосуде). Решая совместно эти уравнения, получаем

xρвhв 25 10 3 м 25 мм.

3hрт

№2. Однородное тело плавает на поверхности

керосина ( к = 800 кг/м3) так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Определить объем погруженной части при плавании тела на поверхности воды.

Р е ш е н и е.

Обозначим: V – объем всего тела; Vпк – объем погруженной

части тела, плавающего в керосине; Vпв – объем погруженной части тела, плавающего в воде. На тело, плавающее в керосине, действуют mg – сила тяжести; F = ρкVпg – сила Архимеда; к

35

и в – плотности керосина и воды. Из условия плавания следует, что mg = F, или

Из уравнений (1) и (2) получим к 0,92Vg вVпвg, откуда

Vпв 0,92 к V 0,92 800V 0,74V.в 1000

1.5. Механические колебания и волны

Колебательным называется такое движение, при котором тело многократно проходит одно и то же устойчивое положение равновесия. Если при этом оно возвращается в исходное положение через равные промежутки времени, то такие колебания называют периодическими. Если в периодических колебаниях изменения всех физических величин происходят по закону синуса (или косинуса), то такие колебания называются гармоническими, а частица, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Простейшей колебательной системой с одной степенью свободы является линейный осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением

x 02 x 0.

В данной системе реализуются гармонические колебания вида

х А sin 0t 0 ,

где А – амплитуда колебаний; 0 – циклическая частота; 0 – начальная фаза.

Задачи данного подраздела можно условно разделить на три группы: задачи, требующие применения общих уравнений гармонических колебаний, и задачи на сложение колебаний; задачи

36

о математических и физических маятниках; задачи о распространении механических колебаний в пространстве, т.е. волн.

При решении задач первой группы следует обратить особое внимание на составление дифференциального уравнения для точки, совершающей гармонические колебания. Это уравнение

в конечном итоге приводит к соотношению k m 02 , в котором

коэффициент k должен быть выражен через те или иные величины, характеризующие колебательную систему. Нахождение выражения для этого коэффициента фактически и представляет основное содержание задач такого типа.

Для решения задач на сложение колебаний одного направления достаточно часто используется метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм), когда складываемые колебания изображаются в виде двух векторов, амплитуда и фаза результирующего колебания находятся по теореме косинусов.

При решении задач на сложение взаимно перпендикулярных колебаний для нахождения траектории результирующих колебаний можно воспользоваться уравнением эллипса

В этом случае наибольшую сложность представляет определение – разности фаз складываемых колебаний. При этом надо помнить, что складываемые колебания должны иметь одинаковую частоту. В некоторых случаях задачи данного типа решаются с использованием формул тригонометрии.

При решении задач второй группы нужно представлять, что при ускоренном движении точки подвеса математического маятника изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению равнодействующей силы и, следовательно, частоты и периода колебаний. Формулу периода колебаний легко получить для каждого конкретного случая, внося соответствующую поправку в формулу периода математического маятника:

37

Т 2π аl ,

где l – длина подвеса; a – модуль ускорения, сообщаемого грузу силой натяжения нити. Если маятник в том или ином направлении приобретает переносное ускорение aп, то a g aп. Найдя обыч-

ными методами модуль этого ускорения и подставив его в приведенную выше формулу, получим выражение для периода колебаний математического маятника с учетом движения точки подвеса.

В задачах на физический маятник, нужно знать понятие приведенной длины физического маятника.

Решение задач третьей группы сводится обычно к записи уравнения плоской волны и соотношения между длиной волны и скоростью ее распространения, что дает возможность определить фазу (разность фаз) или смещение точки от положения равновесия в произвольный момент времени.

Основные формулы

1. Связь между периодом, циклической частотой и частотой

T 2π 1 .0 ν

2. Кинематические характеристики колебательного движения:

– смещение х Аsin 0t 0 ;

– скорость v А 0 cos 0t 0 , максимальная скорость vmax

= A 0;

– ускорение a А 02 sin 0t 0 , максимальное ускорение

аmax = А 02 .

3. Динамические характеристики колебательного движения:

– сила F = ma = mА 02 sin 0t 0 ;

38

где L – приведенная длина; I – момент инерции; b – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.

7. Сложение колебаний:

а) сложение колебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой:

– амплитуда результирующего колебания

A A12 A22 2A1 A2 cos 2 1 ;

– начальная фаза результирующего колебания

arctg A1 sin 1 A2 sin 2 , A1 cos 1 A2 cos 2

где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний; 1 и 2 – начальные фазы складываемых колебаний;

39

б) сложение взаимно перпендикулярных колебаний: x = A1sin ( 0t + 1), y = A2sin( 0t + 2);

8. Затухающие колебания:

– уравнение x = A0e–βtsin( t + 0), где β – коэффициент затухания;

– логарифмический декремент затухания δ = lnσ = βT. 9. Вынужденные колебания:

где f0 Fm0 , F0 – амплитуда вынуждающей силы; 0 – цикличе-

ская частота собственных колебаний; – циклическая частота вынужденных колебаний;

40