книги / Установление расчетного расхода при проектировании мостовых переходов
..pdfДля оценки изменчивости ряда определяют среднее квадра тическое отклонение р --------------------- —
Но среднее квадратическое отклонение учитывает только аб солютную величину изменчивости ряда,поэтому оно не может быть использовано для сравнения изменчивости различных рядов.Такое сравнение возможно производить лишь тогда,когда будет исключено влияние среднего арифметического значения.Это достигается пу тем деления среднего квадратического отклонения на среднее арифметическое значение данного ряда.Определяемый таким обра зом параметр называется коэффициентом вариации.
Итак, коэффициент вариации
С |
|
w |
|
|
Г V t Q i - Q o T |
|
|
= — |
|
а . 1 |
|
|
|
||
^ |
|
Q o |
|
|
|
|
|
Но Qi = K iQ 0 |
, |
тогда |
---------:-------------- г |
----------- |
|
||
■•«■ |
- о |
|
|
||||
, |
~ |
, J Z f r Q o - Q j f f l K i |
( 4 ) |
||||
' v |
Q o |
V |
n |
= l |
n |
|
|
В математической статистике доказывается, что при ограни |
|||||||
ченном числе |
членов ряда |
( /7 < |
30) коэффициент вариации, опре |
||||
деляемый по формуле |
(4 ), |
содержит постоянную ошибку, |
равную |
||||
И. Для исключения этой ошибки при Г7 < 30
коэффициент вариации подсчитывают по формуле
г - 7 |
п |
I |
( 5 ) |
~~ у П-У 1 |
П-4 |
||
Выражением (4) |
пользуются при |
/? |
^ 30. |
■Чем меньше коэффициент вариации, |
тем менее вероятны рез |
||
кие колебания максимальных расходов и тем более надежными будут расчеты, основанные на наблюдениях, входящих в данный ряд.
Коэффициент вариации не полностью характеризует изменчи вость ряда. В самом деле, два ряда с одинаковыми значениями па
раметров Qa и Cv могут иметь различное количество |
отклонений |
|
Q L - |
Q Q в положительную и отрицательную сторону, |
то есть |
разную |
асимметричность. |
II |
Для оценки асимметричности ряда необходимо определить коэффициент асимметрии, который находится по следующей формуле:
С Я & К 1 - ' Г |
( 6 ) |
п С *
Формула (6) при сравнительно непродолжительных рядах наб людений, чаще всего встречающихся на практике, дает очень боль шие ошибки. Например, при числе лет наблюдений П = 20 ошибка составляет 55$;даже при П = 100 лет эта ошибка равна 24,5%. Поэтому коэффициент асимметрии C g обычно определяют по фор муле С.Н.Крицкого и М.Ф.Менкеля
с |
=— — |
( 7 ) |
|
|
s I_к |
|
|
|
X |
9УГУ |
|
где С.v - коэффициент вариации; |
|
|
|
Кгъin ~ нашеньший модульный коэффициент ряда, |
соответствую |
||
щий минимальному наблюденному расходу QfTi^n »'10 эсть
^ mL П
Qo
Уравнение кривой К.Пирсона Штипа тлеет следующий вид:
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
У |
' ~тГ |
|
( 8 ) |
|
|
|
|
= У с * |
(<+■£)* |
|
||
где |
I |
К - |
координаты кривой |
(рис.2); |
|
||
I |
■наибольшая, |
или модальная, |
ордината; |
|
|||
- |
радиус |
асимметрии; |
|
|
|
||
сг |
- расстояние от модальной |
ординаты до нижнего конца |
|||||
|
|
кривой; |
|
|
|
|
|
в- основание натуральных логарифмов.
С целью практического использования кривой К.Пирсона Ш ти
па гидролог А.Фостер (США) |
в 1923 г . |
выполнил приближенное |
ин |
|
тегрирование уравнения (8) |
и в результате |
этого получил следую |
||
щее выражение для ординат кривой обеспеченности: |
|
|||
к * |
фс |
+ 1 |
( 9 |
) |
12
где |
C v |
- |
коэффициент вариации; |
|
|
||
|
Я ° |
- |
коэффициент, который представляет собой отклонение |
||||
|
|
|
ординат кривой обеспеченности от середины, то есть |
||||
|
|
|
от K i |
- I , при |
C v |
= 1,0 . |
|
|
Расчетный расход заданной вероятности превышения опреде |
||||||
ляют по формуле |
|
|
|
|
|||
|
|
|
°р = о0х - QO(CPCV+ о, |
(10> |
|||
где |
Q0 - |
среднее |
арифметическое значение ряда, м3/с . |
|
|||
|
Коэффициент |
находят по таблице (прилсок.2) в зависимос |
|||||
ти |
от коэффициента |
асимметрии |
С$ |
и заданной вероятности пре |
|||
вышения |
р |
. Эта |
таблица составлена А.Фостером в 1923 |
г . и |
|||
уточнена |
С.И.Рыбкиным в 1938 |
г . В дальнейшем сотрудники Госу |
|||||
дарственного гидрологического |
института (ГО1) расширили указан |
||||||
ную таблицу до более высокого значения коэффициента асимметрии |
|||
cs , равного |
5 |
,2 . В прилаж.2 приведены значения коэффициента |
|
Ф при Cs |
= |
0,0 - 4,1 . |
|
В 1950 г . |
С.Н.Крицкий и М.Ф.Менкель [ 19] путем |
трансфор |
|
мации уравнения |
биномиальной кривой К.Пирс она Ш типа |
(8) полу |
|
чили уравнение семейства кривых распределения, которые подчи няются закону гамма-распределения. Эти кривые распределения также могут быть определены тремя параметрами: средним арифме тическим значением ряда Q0 , коэффициентом вариации Cv и коэффициентом асимметрии Cs . Поэтому соответствующее им распределение называется трехпараметрическим гамма-распреде лением. Параметры QQ , Cv и Cs кривых трехпараметрического гамма-распределения определяются так же ,как и для биномиальной кривой распределения.
Кривые трехпараметрического гамма—распределения могут быть применены при любом соотношении коэффициентов Cs и Cv . С.Н.Крищсим и М.Ф.Менкелем были приняты следующие соотношения
c s и Су : 1 ,0 ; 1 |
,5; |
2,0; 3 ,0 ; 4,0; 5 ,0 и 6 ,0 . При |
= 2 |
эти кривые совпадают |
с |
биномиальной кривой распределения. |
|
С.Н.Крицким и М.Ф.Менкелем были получены значения |
ординат |
||
теоретических интегральных кривых распределения, соответствую щих кривым трехпараметрического гамма-распределения. В прилож,
3 ,4,5 и 6 приведены ординаты этих кривых при |
-О- = 1 ,0 ; 1,5; |
2,0 и 3 ,0 . |
Су |
13
Отличительной особенностью трехпараметрического гамма-рас пределения является его значительная гибкость. Оно имеет более ипфокий диапазон применения, чем биномиальная кривая распределе ния, и справедливо для рек с самыми разнообразными характерис тиками стока.
Б последнее время стал применяться разработанный Г.А.Алек сеевым в I960 г . графоаналитический способ определения пара метров биномиальной кривой обеспеченности. Б этом способе па раметры Q0 , Cv и Cg вычисляют с помощью трех характерных ординат сглаженной эмпирической кривой обеспеченности. Такими ординатами являются величины максимальных расходов 5,50 и 95#-ной обеспеченности. В математической статистике ординаты кривой обеспеченности различной вероятности превышения называются квантилями. Поэтому графоаналитический способ определения пара
метров биномиальной кривой обеспеченности называется |
также |
спо |
||||
собом квантилей. |
|
|
|
|
|
Cv |
СНйП 2.01 .14-83 [34] рекомендует определять параметры |
||||||
и Cs методом наибольшего правдоподобия. При использовании |
это |
|||||
го метода среднее арифметическое значение ряда |
Q0 |
определяет |
||||
ся по формуле (I) |
, а коэффициент вариации |
Cv |
й коэффициент |
|||
асимметрии |
находят по номограммам [34] |
как функции статис |
||||
тик Л 2 и Л д |
, |
которые подсчитывают по специальным формулам |
||||
(см. п .5 ). Номограммы разработаны применительно к кривым трех параметрического гамма-распределения. Расчетный расход в этом
методе вычисляют по формуле |
(10). |
Расчетный расход |
, полученный в результате статисти |
ческой обработки ряда годовых максимальных расходов, считается |
|
надежным в том случае, если |
стандартная ошибка |
д Qp 4 о,2 Qp • |
( п ) |
Значение ошибки д Qp определяют по формуле [8 ,1 б ] |
|
= Y W ®р> |
<■к > |
где £ - коэффициент, характеризующий среднеквадратическую ошибку; беретоя из табл.2 в зависимости от коэффи циента вариации Cv и вероятности превышения р ; Г) - число членов рада с учетом приведения его к много
летнему периоду.
14
Таблица 2
|
Значения коэффициента |
Е |
|
|
Коэффициент |
Вероятность |
|
||
вариации |
превышения |
|
||
|
|
Р |
,% |
|
|
. . . . . . . . f . . |
|
1 |
2 |
0,2 |
|
|
||
0,35 |
|
|
0,32 |
|
0,4 |
0,64 |
|
|
0,60 |
0,6 |
0,90 |
|
|
0,86 |
0,8 |
1,16 |
|
|
1,10 |
1,0 |
1,41 |
|
|
1,34 |
1,2 |
1,66 |
|
|
1,58 |
1,4 |
1,91 |
|
|
1,81 |
Если, кроме непрерывного ряда годовых максимальных рас ходов, имеется еще расход редкой повторяемости, то его необ ходимо учитывать. Это позволит более точно определить расчет ный расход.
В тех случаях, когда створ мостового перехода не совпада ет со створом водомерного поста, расчетный расход переносят из створа водомерного поста в створ мостового перехода. Если русло транзитное, то есть бесприточное, то при таком переносе необходимо учитывать явление распластывания гидрографа павод ка [31].
15
2.УСТАНОВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО РАСХОДА
СПРИМЕНЕНИЮ ТАБЛИЦЫ ФОСТЕРА-РЫБКИНА
Расчетный расход определяют в следующей последовательнос-
1. Наблюденные на водомерном посту годовые максимальные расходы Q- располагают в убывающем порядке (графа 3 табл.З), причем каждому расходу присваивают свой порядковый номер и ука
зывают соответствующий календарный год |
(графы I и 2 табл .З). |
2. Определяют величину £ Q ^ |
, м^/с. |
|
Таблица 3 |
К определению расчетного расхода с применением таблицы Фостера-Рыбкина43
№ |
Годы |
Расходы |
члена наблю |
Q; , м»/с, |
|
ряда |
дений |
в убывающем |
|
|
порядке |
I |
2 |
3 |
Модульные |
к ; |
- I |
I—1 |
коэффициен- |
|
|
|
ты • |
+ |
|
1 |
к' — |
|
- |
|
К£-о ~ о |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
®тах |
Ктах |
|
|
Q . |
К * |
|
|
гпсп_______А т с л |
|
|
|
±Qc |
£ KL |
£хкг о £(Ki-if |
|
3. Находят среднее |
арифметическое |
значение |
ряда Q0 из |
выражения (I). |
|
|
|
4. Подсчитывают модульные коэффициенты |
по формуле |
||
(2), Результаты расчетов |
заносят в графу 4 табл.З. Модульные |
||
коэффициенты следует определять с точностью до тысячных (на пример, K i = 1,135).
Контроль правильности расчетов
16 |
flK i = п. |
|
5. Определяют величину К L - |
I и полученные значения за.- |
||||||
носят в графы 5 и б табл.З. |
|
|
|
|
|
|
|
Контроль правильности расчетов |
|
|
|
|
|
||
|
т ,(к-с |
-о -о. |
|
|
|
|
|
6 . Подсчитывают величину |
( K i |
- I ) 2 и результаты |
расче |
||||
тов заносят в графу 7 табл.З. |
Затем |
находят |
Н |
( |
- |
I ) 2. |
|
7. Определяют коэффициент вариации Cv |
подформулам |
(4) |
|||||
или (5) |
(в зависимости от числа членов ряда |
П |
) . Коэффициент |
||||
вариации |
Си следует определять с |
точностью до тысячных |
(на |
||||
пример, |
Cv = 0,486). |
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычисляют коэффициент асимметрии |
по |
формуле |
(7), |
|||
при этом наименьший модульный коэффициент ряда Kmiri берут из последней строки графы 4 табл.З. Коэффициент асимметрии Cs
следует |
определять с точностью до тысячных |
(например,С^ =1,375). |
||||
9. |
По таблице Фостера-Рыбкина (прилож.2) определяют коэф |
|||||
фициент СР в |
зависимости |
от |
найденного по формуле (7) коэф |
|||
фициента |
асимметрии С5 |
и заданной вероятности превышения^? . |
||||
Коэффициент 0 ° |
находят путем |
интерполяции |
табличных значений |
|||
для принятого |
коэффициента |
. Его следует определять с |
||||
точностью до тысячных (например, 9 ° |
= 3,456). |
|||||
10. |
Подсчитывают расчетный расход |
Qp |
. tfV c, по формуле |
|||
(10). Полученный расход рекомендуется округлять до числа,крат
ного 5 или 10. Например, |
если расход |
= 8627 м3/с , |
то мож |
|
но принимать 8625 |
или 8630 м3/ с . |
|
|
|
11. По формуле ( 12 ) |
определяют стандартную ошибку лО р |
|||
и проверяют, соблюдается |
ли условие ( I I ) . Если оно не соблюда |
|||
ется, то это означает, что длительность |
заданного ряда |
годовых |
||
максимальных расходов является недостаточной для надежного |
||||
определения расчетного расхода. |
|
|
||
П р и м е р |
I . Установить расчетный расход в створе мос |
|||
тового перехода, |
который проектируется через реку А и находит |
|||
ся на автомобильной дороге 1У технической категории. На реке имеется водомерный пост (на расстоянии 3 = 2,3 км от створа мостового перехода ниже по течению), на котором были установле
ны годовые максимальные уровни воды |
Xi и соответствующие им |
|
расхода |
за П = 26 лет с 1965 |
по 1990 г . (табл.4 ). |
17
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
Значения годовых максимальных уровней воды и расходов в реке А |
|
|||||
№ |
Годы |
Отметки |
Расходы Qi 3 |
п/п |
Годы |
Отметки |
Расходы Qi, |
п/п. |
наблюдений |
уровня воды |
м3/с |
наблюдений |
уровня воды |
||
|
|
в реке |
|
|
в реке |
м3/с |
|
|
|
2ч , м |
|
|
|
Zi , м |
|
1 Г |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1965 |
180,44 |
1145 |
14 |
1978 |
180,50 |
1180 |
2 |
1966 |
180,01 |
760 |
15 |
1979 |
180,68 |
1360 |
3 |
1967 |
179,67 |
590 |
16 |
1980 |
180,60 |
1300 |
4 |
1968 |
179,70 |
605 |
17 |
1981 |
178,01 |
310 |
5 |
1969 |
179,92 |
715 |
18 |
1982 |
181,08 |
1750 |
6 |
1970 |
180,99 |
1635 |
19 |
1983 |
179,13 |
415 |
7 |
1971 |
180,21 |
945 |
20 |
1984 |
181,10 |
1760 |
8 |
1972 |
180,30 |
1010 |
21 |
1985 |
179,10 |
400 |
9 |
1973 |
180,12 |
840 |
22 |
1986 |
179,65 |
570 |
10 |
1974 |
181,05 |
1700 |
23 |
1987 |
179,88 |
705 |
11 |
1975 |
179,35 |
480 |
24 |
1988 |
179,22 |
460 |
12 |
1976 |
178,19 |
350 |
25 |
1989 |
181,34 |
2050 |
13 |
1977 |
178,92 |
360 |
26 |
1990 |
179184 |
695 |
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
Установление расчетного расхода с применением |
|
||||
|
|
таблицы Фостера-Рыбкина |
|
|
||
№ |
Годы |
Расходы |
Модульные |
Кс - |
1 |
( к , - 1)' |
члена |
наблюде |
Qi ,м3/с , |
коэффи |
+ |
|
|
ряда |
ний |
в убываю |
циенты |
|
|
|
|
|
щем по |
K l ~ QO |
|
|
|
|
|
рядке |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
1 |
1989 |
2050 |
2,214 |
1,214 |
|
1,4738 |
2 |
1984 |
1760 |
1,901 |
0,901 |
|
0,8118 |
3 |
1982 |
1750 |
1,890 |
0,890 |
|
0,7921 |
4 |
1974 |
1700 |
1,836 |
0,836 |
|
0,6989 |
5 |
1970 |
1635 |
1,766 |
0,766 |
|
0,5868 |
6 |
1979 |
1360 |
1,469 |
0,469 |
|
0,2200 |
7 |
1980 |
1300 |
1,404 |
0,404 |
|
0,1632 |
8 |
1978 |
1180 |
1,274 |
0,274 |
|
0,0751 |
9 |
1965 |
1145 |
1,236 |
0,236 |
|
0,0557 |
10 |
1972 |
1010 |
1,091 |
0,091 |
|
0,0083 |
11 |
1971 |
945 |
1,020 |
0,020 |
0,093 |
0,0004 |
12 |
1973 |
840 |
0,907 |
|
0,0086 |
|
13 |
1966 |
760 |
0,821 |
|
0,179 |
0,0320 |
14 |
1969 |
715 |
0,772 |
|
0,228 |
0,0520 |
15 |
1987 |
705 |
0,761 |
|
0,239 |
0,0572 |
16 |
1990 |
695 |
0,750 |
|
0,250 |
0,0625 |
17 |
1968 |
605 |
0,653 |
|
0,347 |
0,1204 |
18 |
1967 |
590 |
0,637 |
|
0,363 |
0,1319 |
19 |
1986 |
570 |
0,616 |
|
0,384 |
0,1475 |
20 |
1975 |
480 |
0,518 |
|
0,482 |
0,2320 |
21 |
1988 |
460 |
0,497 |
|
0,503 |
0,2530 |
22 |
1983 |
415 |
0,448 |
|
0,552 |
0,3040 |
23 |
1985. |
400 |
0,432 |
|
0,568 |
0,3226 |
24 |
1977 |
360 |
0,389 |
|
0,611 |
0,3733 |
25 |
1976 |
350 |
0,378 |
|
0,622 |
0,3869 |
26 |
1981 |
310 |
0,335 |
|
0,665 |
0,4422 |
|
SG>- =24090 ЯКг=26,01 |
Z (K -f) =0.014 |
2 ( / < ; - / ) = |
|||
|
У |
|
|
‘ |
|
4 = 7,8122 |
19
Расчетный расход устанавливаем методом математической ста тистики с применением таблицы Фостера-Рыбкина. Так как проек тируемый мостовой переход является участком автомобильной доро
ги 1У технической категории, то принимаем вероятность превыше |
|
ния расчетного расхода р равной 2%. |
|
Наблюденные годовые максимальные |
расходы Q ; располагаем |
в убывающем порядке (графа 3 табл.5). |
Каждому расходу присваи |
ваем свой порядковый номер и указываем соответствующий кален
дарный год (графы I |
и 2 табл.5). |
|
|
|
||
Определяем величину 23 Qc |
|
• Она получилась равной |
||||
24090 MV C. |
|
|
1 |
|
|
|
Вычисляем по формулеп(1) среднее арифметическое значение |
||||||
ряда |
^ |
|
S O i |
|
24090 |
о , |
|
Qo = |
п |
|
= ------ - 926 м /с. |
||
|
° |
|
|
26 |
|
|
Подсчитываем по формуле (2) |
|
модульные коэффициенты К с‘ |
||||
и результаты расчетов заносим в |
графу 4 табл. 5. |
|
||||
Определяем величину 23 К'ь |
|
• Она получилась равной |
||||
26,01 л; 26 = |
п |
.Э то означает, |
что вычисление |
модульных |
||
коэффициентов выполнено верно. |
|
|
|
|||
Подсчитываем величину /<£ |
- |
I и результаты |
расчетов за |
|||
носим в графы 5 и 6 табл.5. Сумма положительных величин « i - I
равна |
6,101, а отрицательных - 6,087. |
Тогда |
ZI (/С £- |
1)=6,Ю1 |
||
-6 ,0 8 7 |
= 0,014 л: 0. Следовательно, |
расчеты |
произведены |
правильк |
||
|
Определяем величину (Д^- - I ) 2 (графа |
7 |
табл.5), |
а затем |
||
находим 23 (K i - I ) 2 = 7,8122. |
|
|
|
|
|
|
|
Так как число лет наблюдений |
/7 |
= 26 |
< |
30, то коэффици |
|
ент вариации подсчитываем по формуле |
(5): |
|
|
|
||
£(Ki~02 I |
7,8122 |
|
c v - |
у |
0,559. |
П - / |
26 ” |
|
Определяем.по формуле (7) |
коэффициент асимметрии O j . |
|
В этой формуле наименьший модульный коэффициент ряда Km in = * 0,335 (см.последнш строку графы 4 табл.5 ).
Тогда коэффициент |
|
2 Cv |
2.0,559 |
c s ~ KZZ =” 5755
20