книги / Расчёт потребного количества технологического и транспортного обрудования в курсовом и дипломном проектах

Ст ф7 Наконец, Аопт= — 1п-^-.

Тф,

Пример: ф0 = 100ед., а - 0,025 мм, ф, = 10ед., Т =0,1 мм.

= 0,00625-2,3 = 0,014375 мм.

Ранее полученное рациональное решение Лопт=0,015 мм.

13.4.Оптимизация технологических параметров

сиспользованием геометрического программирования

Метод геометрического программирования основан на тео­

реме двойственности.

Целевая функция F(t]9t29t39...9t„) представляется в виде суммы полиномов

и заменяется двойственной функцией V{tl9t29.-.9tn). Двойствен­

ная функция представляется в виде произведения этих же поли­ номов, разделенных и возведенных в степень на коэффициен­ ты 5,

В условии (13.9) число весовых коэффициентов соответст­ вует количеству полиномов (слагаемых) целевой функции. При­ чем минимум целевой функции F в некоторой точке (/,',/2,^ ,...,г') соответствует максимуму двойственной функции

V в этой точке. Это условие обеспечивается при нулевых зна-

чениях показателей степени переменных tt , т.е.

системы уравнений (13.11) и уравнения (13.10). После опреде­ ления весовых коэффициентов максимальное значение двойст­ венной функции определяется из выражения

Существенное достоинство метода геометрического про­ граммирования заключается в нахождении экстремума целевой функции F без предварительного определения значений неза­ висимых переменных !,. Переменные t, определяются после на­ хождения экстремума функции V исходя из системы уравнений

= к' шах • 8 „

«2 = Vmax •« 2 .

(13.13)

= v max

где j = 1,2,3, ...,т ; 5у - весовые коэффициенты соответствую­

щих полиномов.

Степень трудоемкости решаемых задач оценивается мето­ дом геометрического программирования по формуле

где т - количество полиномов задачи; п - число переменных. На конкретном примере рассмотрим задачу нулевой степе­

ни сложности.

Задача. Требуется изготовить бак, имеющий форму круго­ вого цилиндра (рис. 13.3). Объем бака задан V Требуется обес­ печить минимальный расход материала.

Решение. Задача имеет две переменных Л и у. Целевая функция состоит из суммы двух полиномов u] =2n-R2;

u2=2n- R-у .

После подстановки данного значения во второе уравнение

получим у - 2 \ Последнее уравнение дает тождество 1= 1.

13.5.Оптимизация технологических параметров

сиспользованием функции Лагранжа

Экстремум функции п переменных f{x\,x2,...,xn), подчи­ ненных дополнительным ограничениям, можно найти методом нахождения множителя Лагранжа. Например, если z = f{x,y) - функция двух переменных, подчиненных одному условию связи ф(х,у) = 0, то функция Лагранжа будет иметь следующий вид:

Для нахождения экстремума функции необходимо найти частные производные от функции Лагранжа и приравнять их нулю:

Решение задачи может быть найдено из системы уравнений

А.= 2/R и подставив его в систему уравнений (13.17), получим

Г 2 R - у =0,

I F = л R2 у.

Из решения данной системы уравнений получим

Минимальное значение целевой функции

Н^ У ) min = 6КУ2ж)

13.6.Нахождение экстремума функции

Для нахождения экстремума функции f ( x ) необходимо

вычислить производную этой функции f'(x) и прираРнять ее

к нулю.

Для определения вида экстремума следует определить из­ менение знака производной при переходе экстремальной точки. Изменение знака производной с плюса на минус означает, что функция в экстремальной точке имеет максимум и, наоборот, изменение знака функции с минуса на плюс означает, что функ­ ция имеет минимум. Если знак производной функции f'{x)

Из уравнения (13.18) определяется оптимальная скорость

Для определения оптимальной производительности Q сле­ дует оптимальное значение скорости подставить в уравнение (13.18) и вычислить Q Получим £9 = 44,4 ед.

13.7. Применение метода линейного программирования для решения технологических задач

Линейное программирование - сравнительно новая область применения математики в решении многих технологических за­ дач, связанных, в первую очередь, с потребностями рациональ­ ного планирования производства. Во многих случаях линейное программирование дает возможность установить, каким обра­ зом следует распорядиться имеющимися ресурсами для дости­ жения наибольшей производительности и получения требуемого качества изготовления деталей. Например, каким образом сле­ дует использовать имеющиеся на предприятии запасы сырья для изготовления тех или иных видов продукции, чтобы доход предприятия был наибольшим.

Можно решать задачи, связанные с оптимальной загрузкой металлорежущих станков. Например, как лучше использовать оборудование цеха, чтобы выполнить установленный план по всем видам выпускаемой продукции. Кроме того, можно решать транспортные задачи, например, как лучше организовать транс­ портировку деталей между цехами, чтобы общая стоимость транспортных расходов была наименьшей.

Оптимизация технологической себестоимости изготов­ ления масляного бака. Технологическая себестоимость масля­ ного бака должна учитывать стоимость листового материала и стоимость сварочных работ. Ее можно представить в виде затрат

где S - площадь материала 1Х18Н9Т, необходимого для изго­ товления масляного бака объемом V = 2000 л; / - длина сва­ рочного шва; а - стоимость единицы площади материала, из

которого изготовлен масляный бак; р - стоимость единицы

длины сварочного шва.

Постановку оптимизационной задачи можно рассматривать в двух вариантах.

Первая постановка оптимизационной задачи предусматри­ вает определение размеров масляного бака заданного объема с минимальной стоимостью:

F, = С —>min ,

Вторая постановка оптимизационной задачи предусматри­ вает определение размеров масляного бака, вмещающего мак­ симальный объем при заданных а и р :

F2 = V -> max ,

С = С,

рис. 13.4 представлена развертка листового материала и пунк­ тирной линией - траектория сварочного шва:

1 = 2{L + 2B)+H,

(13.21)

S = 2[LB + {L + B)H ].