книги / Статистическое управление качеством технологических процессов

Вероятность обнаружить не более х дефектных деталей в выборке

1=0

Пример. Решим приведенный в п. 5.2.1 пример с использованием таблиц распределения Пуассона.

Определяем среднее число дефектных деталей в партии: р = п р = 100-0,02 = 2.

Последовательно вычисляем вероятности обнаружения в выборке ровно 0; 1; 2; 3; 4 дефектных деталей:

g(0) = ^ e ~2 =0,1353, g(l) = j e ~2 =0,2706,

2 2

g (2) = ■— е - 2 = 0,2706, g(3) = =^е~2 = 0,1804,

24

g(4) =- e - 2 =0,0902.

4!

Определяем суммарную вероятность обнаружения в выборке не бо­ лее 4 дефектных деталей:

G(4) = g(0) + g(l) + g( 2 ) + g(3) + g(4) =

= 0,1353 + 0,2706 + 0,2706 + 0,1804 + 0,0902 = 0,9471.

Отдельные и суммарные вероятности распределения Пуассона для часто встречающихся значений р приведены в табл. 7, 8 приложения.

5.2.4.Использование номограммы Торндайка

В случаях, когда не требуется высокая точность расчета, можно ис­ пользовать номограмму Торндайка, которая представляет собой графиче­ ский способ решения задачи на основе суммарной функции распределения Пуассона (рис. 5.3). С помощью номограммы Торндайка можно опреде­ лить значение вероятности распределения для заданных р их.

Порядок определения вероятности распределения с использованием номограммы Торндайка:

1) определяют значение р (среднее число дефектов) и отмечают это значение точкой на горизонтальной шкале номограммы;

2) проводят вертикальную линию из этой точки до пересечения с кривой, отвечающей допускаемому числу дефектов или дефектных деталей; 3) из точки пересечения проводят горизонталь до пересечения с ле­

вой вертикальной шкалой G(x);

Рис. 5.3. Определение вероятности обнаружения в выборке дефектных деталей по номограмме Торндайка

4)снимают значение суммарной вероятности G(x) по вертикальной шкале в месте пересечения ее с горизонталью;

5)значение вероятности g(x) определяют как разность значений

G(*HT(X-1).

Пример. Решим приведенный в п. 5.2.1 пример с использованием номограммы Торндайка.

Среднее число дефектных деталей в партии

\i = n- /7 = 100-0,02 = 2.

Прямая вертикальная линия на рис. 5.3 проведена от точки со сред­ ним числом дефектных деталей р = 2. Горизонтальные линии проведены через точки пересечения вертикали с кривыми для х = 0; 1; 2; 3; 4 к шкале суммарной вероятности G. Суммарную вероятность можно определить не­ посредственно по оси G. Вероятность обнаружения в выборке ровно 0; 1; 2; 3; 4 дефектных деталей равна соответствующим отрезкам шкалы G.

5.3./7-Карты для доли несоответствующих единиц

/7-Карты используются для регулирования доли несоответствующих (дефектных) изделий в контролируемой группе. Это может быть выборка из 75 изделий, берущаяся дважды в день, некоторый процент продукции, группируемой на почасовой или ежедневной основе, доля с выдержанны­ ми сроками поставки и т.д. При этом можно опираться на оценку одной характеристики или многих характеристик. Важно то, что каждая компо­ нента, часть или изделие, будучи проверены, записываются как соответст­ вующее или несоответствующее (даже если изделие имело несколько кон­ кретных несоответствий). Результаты контроля группируются, и несоот­ ветствующие изделия выражаются в виде долей от объема подгруппы.

5.3.1. Сбор данных

Выбор объема, частоты отбора и числа подгрупп. Объем под­ групп. Для ведения карты по альтернативному признаку требуются по под­ группе большие объемы (например, от 50 до 200 или больше), чтобы иметь возможность своевременно обнаружить умеренные сдвиги в процессе. Для того чтобы карта показывала неслучайное поведение процесса, поддаю­ щееся анализу, объем подгрупп должен быть таким, чтобы имелось не­ сколько несоответствующих единиц на подгруппу (например, пр > 5). Од­ нако большой объем подгруппы может быть недостатком, если каждая подгруппа отбирается в течение длительного периода работы процесса. Наиболее удобно, если объемы подгрупп постоянны или меняются не бо­ лее чем на ±25 %, но это требуется не всегда. Также полезно выбирать объем подгрупп достаточно большим, согласовывая с /?, чтобы при расчете

обеспечить нижнюю контрольную границу, позволяющую фиксировать запланированные причины усовершенствования процесса.

Частота отбора подгрупп должна быть сопоставимой с периодами производства, что поможет при анализе и коррекции проблем качества. Короткие интервалы времени между выборками позволяют ускорить полу­ чение информации о течении процесса, но это требование вступает в кон­ фликт с требованием больших объемов подгрупп.

Число подгрупп должно быть достаточным, чтобы обеспечить дли­ тельный период сбора данных, позволяющий выявить все вероятные ис­ точники изменчивости, воздействующие на процесс. Обычно он должен включать 25 или более подгрупп, чтобы провести хорошую проверку на стабильность и, если она есть, дать надежную оценку пригодности процес­ са.

Вычисление доли несоответствующих единиц для каждой подгруппы (р). Для каждой подгруппы на бланке должны быть записаны число проверенных единиц п и число найденных несоответствующих единиц пр как основа для начального анализа. С учетом этого вычисляем долю несоответствующих единиц:

(5.5)

п

Если известны недавние данные, то они также могут использоваться для ускорения анализа.

Выбор шкалы для контрольной карты (рис. 5.4). Карта, на кото­ рую наносятся данные, должна иметь вертикальную шкалу для долей (или процентов) несоответствующих единиц и горизонтальную шкалу для обо­ значения подгрупп (час, день и т.п.). Вертикальная шкала должна пере­ крывать значения от нуля до 1,5- 2-кратного наибольшего значения доли несоответствующих единиц, отмеченного в исходных данных.

• Нанесите значения р для каждой подгруппы. Соедините точки ли­ ниями, выделив неслучайное поведение и тренды. Если некоторые точки существенно выше или ниже других, убедитесь, что вычисления правиль­ ны.

• Запишите в карты изменения процесса или необычные события, способные повлиять на процесс, и время, когда они наблюдались.

5.3.2. Вычисление контрольных границ

Вычисление средней доли несоответствующих единиц для про-

цесса (р). Среднюю долю несоответствующих единиц для периода изуче­ ния т подгрупп определяем по формуле

Когда объемы подгрупп изменяются более чем на 25 %, требуется определить отдельные контрольные границы для периодов с особенно ма­ лыми или большими выборками. Для этого:

•определите размах объемов выборки, который даёт изменение объ­ ема от среднего на ±25 %, и отметьте все подгруппы с объемами вне этого размаха;

•пересчитайте точные границы для этих подгрупп по формуле

где щ- объем выборки отдельной подгруппы. От точки к точке меняется только значение п\

• нанесите новые верхнюю и нижнюю границы на карту для изме­ няющихся подгрупп и используйте их как основу для идентификации осо­ бых причин воздействия на процесс.

Любая процедура обработки меняющихся контрольных границ явля­ ется сложной и может вызвать затруднения у людей, пытающихся анали­ зировать карты. Лучше подготовить план сбора данных так, чтобы исполь­ зовались постоянные объемы выборок.

Пример построения /7-карты. Из процесса литья были взяты 20 вы­ борок. Результаты контроля этих выборок занесены в карту (рис. 5.5). Рас­ считать контрольные границы по нормам Форда и построить /?-карту.

Средняя доля дефектов

Р= I А = 0,674 = 0,0337,

т20

средний объем выборки

т20

Контрольные границы по нормам Форда

OEGp = р + З^ -1^ - = 0,<>,0337 + 0,0337(1-0,0337) = 0,058, 499,25

та, - р-JSES ,0,0337_ J O.0337Q-O.O337) ,

ботает на прежнем уровне, т.е. вышел из-под контроля, и принять надлежа­ щие действия. Точки за контрольными границами, очевидные тренды или

неслучайное расположение точек указывают на наличие особых причин изменчивости.

Анализ данных на наличие нестабильности процесса.

При анализе выявляются следующие случаи:

1. Точки за контрольными границами. Наличие одной или несколь­ ких точек за любой из контрольных границ - свидетельство нестабильно­ сти процесса в этой точке. Если процесс стабилен и присутствуют только обычные причины изменчивости, то точки за' контрольными границами крайне редки и поэтому мы предполагаем, что на выпавшее значение по­ влияла особая причина. Она может быть вредной или полезной, а это зна­ чит, что каждая ситуация требует немедленного исследования. Это - осно­ вание для начала действий по любой контрольной карте. Каждая точка за контрольными границами должна быть помечена.

Точка выше верхней контрольной границы - обычно признак одной или более из следующих причин:

-контрольная граница или точка ошибочны;

-пригодность процесса ухудшилась или непосредственно в этой точке, или в этой точке как части тренда;

-изменилась система оценки (например, контролер, прибор). Точка ниже нижней контрольной границы - обычно признак одной

или более из следующих причин:

-контрольная граница или точка ошибочны;

-пригодность процесса улучшилась (это следует изучить, чтобы в дальнейшем внедрить необходимые усовершенствования);

-измерительная система изменилась.

2.Неслучайное поведение процесса или тренды внутри контрольных границ. Наличие необычного хода процесса или тренда, даже когда все точки внутри контрольных границ, может быть свидетельством неуправ­ ляемости процесса или изменения уровня его пригодности на протяжении такого периода или тренда. Это может быть упреждающим признаком ус­ ловий, которые, будучи не исправленными, могут в будущем дать точки за контрольными границами.

ЗАМЕЧАНИЕ. Когда среднее число несоответствующих единиц на подгруппу {пр) достаточно велико (9 или больше), то распределение зна­ чений р для подгрупп близко к нормальному и может использоваться ана­ лиз трендов, подобный используемому для Jc-карт. Когда пр становится малым (5 и меньше), анализ неслучайного поведения затруднен и указан­ ные правила впрямую не применимы.

Неслучайное поведение внутри контрольных границ проявляется в виде сдвига точек или очевидного неслучайного их расположения.

Серии точек. Для управляемого процесса при достаточно большом пр примерно одинаковое число точек должно находиться по обе стороны