книги / Управление проектами и системами в условиях цифровой экономики

деления (см. п. 1).

6. Сравнить полученные частоты: Niтеор и Ni для всех k-интервалов и выбрать наибольшее отклонение экспериментального распределения от проверяемого теоретического:

D = maxi Ni − Niтеор .

Вычислить параметр Колмогорова λ, который характеризует отклонение теоретического распределения от экспериментального:

Далее, используя табл. 17, следует принять или отвергнуть гипотезу о том, является ли эмпирическое распределение с заданной нами вероятностью Q теоретическим или нет. Для принятия гипотезы должно быть λ < λтабл.

Можно использовать критерий χ2 , критерий Андерсона-Дарлинга и другие.

Оценка рисков портфеля проектов (модели Марковица и CAPM)

Модель CAPM (Capital Asset Pricing Model) возникла как развитие теории выбора «портфеля Марковица». Марковиц ввел принцип сравнения по среднему и дисперсии. Если средние значения величин для альтернатив совпадают, то лучшей считается альтернатива с меньшей дисперсией. Если у одной альтернативы больше среднее, а у другой меньше дисперсия, то альтернативы считаются несравнимыми.

Принцип сравнения по среднему и дисперсии выражает предпочтительность альтернатив с большими значениями («чем больше, тем лучше») и меньшим разбросом («неприятие риска», «нелюбовь к риску») [14].

Рассмотрим два портфеля А и В. Обозначим через (mA ,σA ) и (mB ,σB ) пары средней до-

ходности и среднего квадратичного отклонения доходности. Говорят, что портфель А доминирует над В, если выполнено одно из двух отношений (mA ≥ mB ,σA < σB ) или (mA > mB ,σA ≤ σB ).

51

«Портфель» называется эффективным, если он не доминируется никаким другим «портфелем».

Каждому портфелю проектов можно поставить в соответствие точку на плоскости (m,σ), то-

гда множество возможных портфелей будет описываться выпуклым множеством, ограниченным кривой(рис. 18). Эталинияназываетсяграницейэффективности(показана жирнойлиниейЕ).

Ожидаемый доход (m)

риска ()

Рис. 18. Кривая эффективности портфеля проектов

Нетрудно заметить, что дисперсия доходности портфеля часто может быть уменьшена путем включения большего числа активов. Например, если бы доходности всех n активов были бы независимыми случайно распределёнными величинами, то для получения наименьшей дисперсии следовало бы составить портфель из всех n активов.

В портфельной теории рисками называют корень из дисперсии.

Модель CAPM предполагает возможность инвестирования в актив с безрисковой доходностью Rf . Тогда портфель может быть составлен из безрисковой и рискованной частей (на-

пример, рискованный портфель, соответствующий точке A). Можно найти такую точку M, которая будет иметь оптимальное сочетание доходности и риска, прямая, проведенная через точку М и Rf , будет касательной к области возможных портфелей (см. прямую BM). Для каждой точ-

ки прямой BA, находящейся внутри области возможных «портфелей», можно указать точку прямой BM, находящейся выше нее при равных значениях дисперсии. Эта прямая носит название прямой фондового рынка и её уравнение имеет вид

m = Rf + mMσ− Rf σ,

M

где Rf – величина гарантированного безрискового дохода; m – ожидаемый доход от портфеля М; mM – ожидаемый доход от «рыночного портфеля» M; σM – величина стандартного отклоне-

ния для портфеля M.

Из всех прямых, проходящих через точку B и точки границы эффективности, прямая BM обладает наибольшим угловым коэффициентом. Тогда правило отыскания «портфеля» можно записать в виде максимизации углового коэффициента:

m − Rf → max.

σ

52

Коэффициент наклона λ = mM − Rf называют рыночной ценой риска. Смысл становится

σM

понятен, если рассмотреть безрисковый портфель, к которому необходимо добавить рисковый портфель, и чем больше средств мы вкладываем в такой портфель, тем дальше движемся по прямой BM.

Сумма под риском (VaR)

Сумма под риском – Value at Risk (VaR) мера риска, применяемая преимущественно в финансовой, банковской, инвестиционной сферах и страховании.

Идея метода состоит в том, чтобы найти верхнюю оценку возможных потерь (определить величину потерь в наихудшем случае).

На практике вероятность потери всего что есть, крайне мала. Поэтому выбирают некоторый уровеньвероятности γ иоцениваютпотери, которыемогутбытьприданномуровневероятности.

Такой подход (подход VaR) приводит к квантильным5 оценкам: в качестве меры риска

выступает квантиль соответствующего распределения.

Формальное определение VaR: если X случайный убыток, то

VaRγ ( X ) = inf {w: Fx (w) ≥ 1− γ},

где Fx (w) = P(X < w) – функция распределения убытка.

Можно рассуждать не в терминах убытков, а в терминах доходов. Тогда нужно брать соответствующий квантиль распределения величины дохода X (величину дохода в наихудшем случае).

Если убыток распределен по нормальному закону распределения со средним mX и среднеквадратич-

ным отклонением σX , то выражение для VaR записывается как

1.5.Вопросы и задания для самоконтроля

1.Попробуйте определить сценарий развития проекта, который вы реализуете в рамках подготовки магистерской диссертации или диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. Для этого:

♦обозначьте от 3 до 5 внешних трендов, значимых для проекта;

♦применяя любой из методов сценирования, кратко опишите свой вариант сценариев технологического развития области на период 20 лет;

5Квантиль в математической статистике – значение, которое заданная случайная величина не превышает

сфиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем. Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг» означает, что 90% мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10% мальчиков рождаются с весом, большим 4 кг.

53

♦определите, в какой сценарий попадает выбранный проект;

♦найдите готовый форсайт со схожим сценарием.

2.На основе результатов сценирования выберите цель для проекта.

3.Определите 5–20 непротиворечивых показателей, выполнение которых приведет к достижению выбранной цели.

4.В подразд. 1.2.2 рассмотрены методы оценки того, как мы движемся к достижению поставленной цели. Как вы думаете, какой из них является лучшим и почему? Учитывайте при ответе, что некоторые методы могут иметь разные реализации.

5.Разработайте 3–5 планов достижения определенной при сценировании цели и значения для индикаторов для каждого из планов. Объясните, исходя из каких соображений были выбраны значения индикаторов.

6.Какие способы формирования будущего вы знаете (7 правильных ответов)?

а)  сценирование; б)  форсайт; в)  метод аналогий;

г)  метод Делфи; д)  метод дерева целей;

е)  методы имитационного моделирования; ж)  когнитивные карты; з)  программно-целевой подход; и)  по отклонению.

7.Какое количество индикаторов KPI рекомендуется использовать для управления выполнением плана реализации программы развития?

а)  1–2; б)  5–20; в)  20–50;

г)  50–100.

8.Выберите методы контроля достижения запланированных показателей (нужно выбрать 4 ответа).

а)  DEA;

б)  геометрический подход; в)  алгебраический подход; г)  оценка отклонений; д)  оценка эффективности;

е)  оценка уровня достижения цели в процентах; ж)  метод индикаторов.

9.Какие уровни управления организационными системами вы знаете (необходимо выбрать 3 варианта)?

а)  институциональный уровень; б)  управленческий уровень; в)  уровень принятия решений; г)  технический уровень; д)  уровень обеспечения; е)  уровень общения;

ж)  государственный уровень.

54

10.Какую систему называют гетерогенной? а)  неоднородную систему;

б)  систему, состоящую из нескольких подсистем;

в)  систему с выделенными уровнями управления; г)  гомогенную6 систему.

11.Какие факторы рисков можно выделить?

а)  социофакторы; б)  психологические; в)  математические;

г)  экономические, финансовые, юридические; д)  коммерческие; е)  художественные; ж)  организационные; з)  маркетинговые.

6 Гомогенная система – однородная система, состав и свойства которой во всех частях одинаковы или меняются непрерывно.

55

РАЗДЕЛ 2. РАНЖИРОВАНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ ПО МНОЖЕСТВУ КРИТЕРИЕВ

При принятии решений существуют два подхода – качественный и количественный. При использовании количественного подхода альтернатива a называется доминирующей

по отношению к альтернативе b, если по всем критериям оценки a не хуже альтернативы b и хотя бы по одному критерию оценка лучше.

Множество альтернатив, которые попарно не доминируют друг над другом называются множеством Парето7.

Активное развитие методов принятия решения в многокритериальной постановке началось в 1968 г. с разработки метода ELECTRA I.

Многокритериальная постановка в пригодном для количественного решения формате наиболее часто возникает, когда мы рассматриваем задачи, подобные приведенным в табл. 18–20.

7Итальянский ученый XIX века Вильфредо Парето.

8G – хорошо (good), B – плохо (bad), VG – очень хорошо (very good), VB – очень плохо (very bad).

56

Таким образом, задача сводится к формированию множества альтернатив и критериев. Альтернативы могут иметь стабильные значения, менять их в ходе развития/реализации, иметь взаимоисключающие позиции, рассматриваться как комбинации действий.

Критерии могут иметь разные формы представления: 1) описываться численными значениями (количественная оценка); 2) характеризоваться качественной оценкой (использовать шкалу оценок (9 уровней), принимать значения да/нет, ++,/+/0/-/--, ++/+/-/--).

Еслисравниватьдвеальтернативыa иb, тоонимогутнаходитьсявследующихотношениях:

1)преобладание одной альтернативы над другой aPb или bPa;

2)равнозначность альтернатив aIb;

3)несравнимость альтернатив aRb.

Определение. Упорядоченным множеством называют любое множество A с бинарным отношением ≤ , которое удовлетворяет законам рефлексивности9, антисимметричности10 и транзитивности11.

Для любого отношения a ≤ b (читается: a предшествует b) на множестве A можно определить такие a < b, что означает a ≤ b и a ≠ b. Тогда говорят, что b покрывает (доминирует над) a, если a < b и если a < c < b невозможно ни для какого c.

Упорядоченные множества с конечным числом элементов могут быть представлены направленным графом. Каждый элемент системы представлен вершиной так, что дуга направлена от b к a, если a < b .

В целом альтернативы на множестве выбора могут обладать следующими свойствами: 1) Логические свойства:

•асимметричность P aPb ¬bPa;

•рефлексивность I aIa;

•симметричность I aIb bIa;

•нерефлексивность R ¬aRa;

•симметричность R aRb bRa.

2) Отношения P, R и I определяют структуру отношений между альтернативами. Все пары альтернатив a и b могут быть описаны одним из отношений aPb или bPa, или aIb, или aRb.

Введем некоторую функцию оценки альтернатив g на пространстве выбора A. Тогда в традиционном однокритериальном подходе будет выполняться

a,b A : aPb g (a) > g (b),aIb g (a) = g (b),

и, как следствие, множество отношений R будет пустым, а множества отношений P и I транзитивны. Это позволяет получить полное ранжирование всех альтернатив.

Однако на практике всегда существует некоторый порог безразличия, который можно продемонстрировать так называемым парадоксом чашек кофе или парадоксом Люче, сформулированным в 1956 г.

9Бинарное отношение ≤ на множестве A рефлексивно, если всякий элемент a этого множества находится

вотношении с самим собой a ≤ a.

10Если элементы a и b на множестве A находятся в отношениях a ≤ b и b ≤ a, то a = b.

11Если элементы a, b и c на множестве A находятся в отношениях a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c. В общем виде транзитивность – свойство бинарного отношения. Бинарное отношение R на множестве A называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества a, b, выполнение отношений aRb и bRc влечёт выполнение отношения

aRc. Формально отношение R транзитивно, если a,b,c A,aRb bRc aRc.

57

Суть парадокса состоит в том, что у нас, например, есть 402 чашки кофе: если c0 чашка из

(aIb,bIc,¬aIc), что существует некоторый порог чувствительности, который мы часто не принимаем во внимание, а операции на самом деле обладают следующими свойствами:

a,b A : aPb g (a) > g (b) + q,aIb g (a) − g (b) ≤ q.

В этом случае задача сводится к определению некоторого квазипорядка в условиях транзитивности P и нетранзитивности I, что характеризуется:

•интервальными порядками (пороги предпочтений и безразличия);

•псевдопорядком (имеются несравнимые альтернативы);

•частичной упорядоченностью (ограниченная структура и множество предпочтений). Существующие метолы многокритериального принятия решений можно разделить на

следующие группы:

•теория многопараметрических функций (MAUT – Multiattribute utility theory, американская школа принятия решений);

•методы исключения (Outranking methods, французская школа принятия решений);

•методыколлективногопринятиярешенийиметоды, основанныенаэкспертныхоценках. Теория многопараметрических функций посвящена способам получения одного критерия

(аггрегирования): U (a) = U (g1 (a), g2 (a),…, gk (a)). Проблемы, с которыми связан такой под-

ход, – это проблема существования такой функции, проблема её получения и поиска ее математической формы. Широкое распространение получила аддитивная форма:

k

U (a) = U j (g j (a)).

j=1

Даннаятеорияхарактеризуетсяспособом построенияфункции(прямойиобратный), объемом информации для лица, принимающего решения, негибкостью (необходимостью проведения анализачувствительности), отличиемполучаемойзадачиотпервоначальной постановкизадачи.

2.1. Методы коллективного выбора альтернатив (экспертный выбор)

2.1.1. Выбор большинством

Рассмотрим 3 альтернативы A, B, C которые были отранжированы нашими экспертами следующим образом:

Больше всего голосов было отдано за альтернативу A. Её и выбираем. Проблема при таком выборе заключается в том, что большее количество голосов предпочитают другие альтернативы альтернативе A (B и C суммарно набирают большее количество голосов).

58

2.1.2. Метод голосования Кондорсе

Мари Жан Антуан Никола де Карита, маркиз Кондорсе (Condorcet) (1743 – 1794) предложил другой вариант выбора наилучшей альтернативы. Его идея состояла в том, что нужно рассматривать предпочтения (B дважды оказывается лучшей оценкой):

При таком подходе наиболее предпочтительной оказывается альтернатива B. Проблема заключается в том, что в определенных случаях возникают ситуации, когда ни одна из альтернатив не может быть выбрана. Например, рассмотрим ситуацию с 9 экспертами:

Тогда получаем

В такой ситуации альтернатива не может быть выбрана, ни одно из лучших решений не повторяется (они противоречивы). Такая ситуация получила название парадокса Кондорсе12.

2.1.3. Метод с двумя турами

Рассмотрим 4 альтернативы A, B, C, D с 63 экспертами:

В первом туре победителями оказываются B и C, а во втором может победить C с 41 голосом против 22. При этом

Рассмотрим другой пример:

12 При наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективное ранжирование альтернатив может быть цикличным (не транзитивным), даже если ранжирования всех избирателей не являются цикличными (транзитивными). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.

59

В этом примере во второй тур выходят A и B, где A перевешивает B 11 голосами против 6. Однако если изменить выбор 2 экспертов в последней колонке (поменять местами A и B), то во второй тур проходят A и C, где C побеждает 9 голосами против 8:

2.1.4. Метод Борда (начисление баллов)

Жан-Шарль Шевалье де Борда (1733–1799) предложил метод, основанный на использовании баллов для решений.

Рассмотрим 3 альтернативы A, B и C и 81 голос:

Тогда получаем за A = 31×2+39×1=101 балл, за B = 11×2+11×1=33 балла, за C = 39×2+ +31×1=109 баллов. Проблема заключается в том, что A предпочитают С 30+10+1 голос из 81 (т.е. больше половины).

Рассмотрим еще один пример с 4 альтернативами A, B, C, D:

Тогда A получает 13 голосов, B 12 голосов, C 11 голосов, D 6 голосов. Теперь если исключим альтернативу D,

Получаем результат: A – 6 голосов, B – 7 голосов, C – 8 голосов. Такое изменение результата говорит о возможности манипуляции мнением. Рассмотрим пример введения фэйковой альтернативы x (кандидата спойлера на выборах).

Без введения альтернативы х получаем: A – 46, B – 36, C – 20, а с введением альтернативы x: A – 68, B – 70, С – 42, x – 24.

Если же фэйковую альтернативу все поставят на второе место, то она побеждает: A – 58,

B – 48, С – 30, x – 68.

60