книги / Управление проектами и системами в условиях цифровой экономики

Рис. 22. Иерархия критериев: а – МАИ; б – метод анализа сетей

Шаг 2. Анализ и сравнение кластеров

Определить подход, который наиболее удобен для оценки влияния кластеров. Выполнить попарные сравнения, отвечая на вопрос: «Какой критерий из пары является наиболее важным, оказывает наибольшее влияние?». Полученные, в ходе оценки веса нужно использовать в качестве весовых коэффициентов для матрицы.

Шаг 3. Синтез векторов приоритетов

Суммировать значения в каждом столбце матрицы. Разделить каждый элемент столбца матрицы на полученную сумму соответствующего столбца, т.е. нормализовать столбец. Суммировать элементы в каждой строке и разделить эту сумму на число элементов в строке. Приоритетные векторы должны быть получены для всех матриц сравнения.

Шаг 4. Формирование суперматрицы

Допустим, что сетевая структура имеет несколько элементов nh, которые обозначим как Сh, h = 1, …, m. Элементы некоторого компонента оказывают влияние на другие элементы системы, такое влияние можно представить как векторы приоритетов, которые получаются на основе парных сравнений. В методе AHP взаимные влияния элементов можно представить суперматрицей, воспользовавшись следующей формой представления:

Элементы Wij в вышеприведенной формуле называются блоками и представляют собой матрицы:

71

Каждый столбец в матрице Wij является главным собственным вектором влияния элементов i-го компонента сети на элементы j-го компонента. Если элемент вектора равен нулю, то он не оказывает влияния. Следовательно, когда проводятся парные сравнения, необходимо использовать не все элементы компонента, а только те, которые имеют влияние [15].

Шаг 5. Выбор решения

На основании полученной оценки (матрицы) выбрать наилучшее решение для достижения поставленной цели.

При участии Т. Саати была разработана свободно распространяемая программа SuperDecisions, которая реализует методы AHP и ANP. Программа доступна на сервере по ссылке – https://superdecisions.com.

2.2. Методы исключения (outranking methods)

Методы исключения опираются на принципы большинства, использование парных сравнений, близость к первоначальной постановке.

Применение методов этой группы основано на нескольких принципах:

1)Определение перечня потенциальных стратегий (формируется перечень конкурирующих решений).

2)Определение набора качественных и количественных критериев. При этом формирование множества критериев должно удовлетворять следующим требованиям:

•требованию полноты – должны быть учтены все критерии, оказывающие влияние на принятие решение. Однако чем больше критериев, тем сложнее становится задача;

•требованию о недопущении – если есть некоторые граничные условия, которые не могут быть нарушены, то они должны быть сформулированы;

•требованию о согласованности.

Если среди значений 10 критериев альтернатив A и B 9 эквивалентны, а по 10-му предпочтительнее вариант A, то надо выбрать вариант A. Если эксперт колеблется в выборе решения A, то это означает, что множество критериев не согласовано. Такие критерии называют псевдокритериями, и они должны быть заменены. Это говорит о том, что значение критериальной функции не является монотонно возрастающим или убывающим и имеет локальные спады предпочтений при некоторых значениях. Такие ситуации требуют дополнительной обработки, например, путем введения новых дополнительных функций для определения предпочтений.

2.2.1. Метод TOPSIS

The Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) представляет собой многокритериальный метод анализа решений, который был первоначально разработан Хвангом (Hwang) и Юном (Yoon) в 1983 г. с последующими дополнениями Юна (Yoon) в 1987 г.,

атакже Хванга (Hwang), Лая (Lai) и Лю ( Liu) в 1993 г.

Воснову TOPSIS положена концепция, согласно которой выбранная альтернатива должна иметь наименьшее геометрическое расстояние от идеально-позитивного решения (positive ideal solution – PIS) и наибольшее геометрическое расстояние от идеально-негативного решения

(negative ideal solution – NIS).

Работа метода TOPSIS основана на предположении, что значения критериев монотонно увеличиваются или уменьшаются. При этом, как правило, требуется некоторая стандартизация критериев, поскольку параметры, используемые в них могут иметь несравнимые размерности.

Консенсационные методы, такие как TOPSIS, допускают компромиссный подход между критериями, когда плохой результат по одному критерию может быть компенсирован хорошим

72

результатом по другому критерию. Это обеспечивает более реалистичную форму моделирования, чем неконсенсационные методы, которые включают или исключают альтернативные решения, основываясь на жестких отсечениях.

Работа метода может быть описана семью шагами.

Шаг 1. Создать матрицу оценок, состоящую из m альтернатив и n критериев (индикаторов), со значениями оценок в пересечениях альтернатив и критериев xij ; i = 1,…,m ; j = 1,…, n .

Шаг 2. Нормализуем матрицу из значений xij и получаем матрицу R, состоящую из элементов rij , вычисляемых по формуле

Шаг 3. Вычисляем взвешенную нормализованную матрицу решений: tij = rij wj , i, j,

где wj = Wj nk =1Wk , j, где Wj исходный вес присвоенный j-му критерию (индикатору). По-

n

лучаем значения весов, удовлетворяющие равенству wi = 1.

i=1

Шаг 4. Определяем худшую ( A− ) и лучшую ( A+ ) альтернативы:

j=1

где di− и di+ – евклидовы расстояния до худшего и лучшего решений. Шаг 6. Рассчитываем близость к лучшему или худшему состоянию:

si− = di− (di− + di+ ) или si+ = di+ (di− + di+ ).

Шаг 7. Ранжируем альтернативы по значениям si− или si+ , i.

В результате применения метода при решении многокритериальных задач мы можем сформировать Парето оптимальное множество, принцип формирования которого с использованием метода TOPSIS показан на рис. 23 (окружности показывают области равнозначных решений при их ранжировании по близости к наилучшему и удалению от наихудшего).

73

Рис. 23. Иллюстрация метода TOPSIS

Рассмотрим использование метода для ранжирования альтернатив на примере вариантов продвижения приложения для изучения английского языка.

На первом шаге создаем матрицу оценок со значениями оценок в пересечениях альтернатив и критериев, которые присвоим им в диапазоне от –8 до +8 (см. табл. 7).

На втором шаге производим нормализацию значений оценок альтернатив (табл. 23).

Таблица 23

Нормализованная матрица решений

На третьем шаге вычисляем взвешенную нормализованную матрицу решений (табл. 24). Таблица 24

Взвешенная нормализованная матрица решений

На четвертом шаге определяем худшую (NIS) и лучшую (PIS) альтернативы: PIS = {0,08; 0,11; 0,10; 0,06},

NIS = {-0,06; -0,09; -0,10; -0,05}.

На пятом шаге вычисляем евклидово расстояние для каждой из альтернатив до PIS – d +

(табл. 25) и NIS – d − (табл. 25, 26).

На шестом шаге рассчитываем близость к лучшему решению (табл. 27), а на седьмом ранжируем альтернативы (см. табл. 27).

2.2.2. Метод ELECTRE

За названием ELECTRE (ELimination Et Choix Traduisant la REalité – управление и выбор изменяющие реальность) скрывается целая группа методов. Родоначальником ее стал французский ученный Бернард Рой, который в 1968 г. предложил метод ELECTRE I. Метод разрабатывался как способ принятия решения о новых видах деятельности ПрС. Подход, положенный в основу метода, стал известен как «превосходящий метод» принятия решений.

Основная идея метода состоит в том, что всегда можно найти такую пару решений, одно из которой лучше другого. В развитие этой основной идеи метод ELECTRE I был сформулирован как последовательность следующих шагов.

Шаг 1. Подготовка матрицы решений.

Матрица строится как результат оценки по n критериям и m альтернативам.

Шаг 2. Нормируем матрицу решений.

Для нормализации матрицы вычислим следующее выражение:

Используя полученное значение, окончательно вычислим взвешенное значение:

76

1

Шаг 3. Составляем вектор весов криитериев.

Эксперты (лица, принимающие решения) расставляют коэффициенты важности каждого критерия wj :

W = (w1, w2 ,…, wn ),

n

wj =1.

j=1

Шаг 4. Вычисление нормализованной взвешенной матрицы.

Для получения данной матрицы каждую колонку матрицы r умножаем на значение веса wj , определенное экспертом (лицом, принимающим решение).

Шаг 5. Определение множеств индексов согласия и расхождения.

Множество индексов согласия {ckl } показывает, насколько суммарная оценка альтернативы Ak лучше, чем оценка альтернативы Al.

Ckl = { j|vkj ≥ vlj }, j = 1,…, n.

Множество индексов расхождения {dkl } получаем как

Dkl = { j|vkj < vlj }, j = 1,…, n.

Шаг 6. Вычисление матриц согласия и расхождения. Элементы матрицы согласия вычисляются по формуле

77

ckl = wj . j Ckl

Элементы матрицы расхождения определяются как отношения максимальной разницы критериев в соответствующем множестве расхождения к максимальной разнице среди всех критериев:

Шаг 7. Вычисление матриц доминирующего согласия и расхождения.

Для построения матрицы согласия вычислим пороговое значение c по формуле

c = mk =1 lm=1ckl .

m(m −1)

Альтернатива Ак будет доминировать над Al, если индекс согласия ckl превышает пороговое значение c, ckl ≥ с. Исходя из этого и элементы матрицы согласия определяются как

f = 1, если ckl ≥ c,

kl 0, если ckl < c.

Аналогично вычисляем матрицу расхождений на основе порогового значения d :

d = mk =1 lm=1dkl .

m (m −1)

Элементы матрицы расхождений будем определять как

g = 1, если gkl ≥ d,

kl 0, если gkl < d.

Шаг 8. Вычисление матрицы полного доминирования.

Матрица полного доминирования e представляет собой матрицу, каждый элемент которой является результатом умножения элементов матриц f и g по формуле

ekl = fkl x gkl.

Шаг 9. Отказ от менее благоприятной альтернативы.

Матрица e дает предпочтительный порядок каждого варианта, т.е. если ekl = 1, то альтернатива Ak лучше, чем Al. Таким образом, строки матрицы e, в которых ek1 = 1, могут быть исключены.

78

79

Таблица 29

Нормализованная матрица решений