книги / Научно-исследовательская работа магистров по технологии машиностроения

Спланировать полный факторный эксперимент, по результатам получить уравнение регрессии, провести проверку воспроизводимости результатов, значимости коэффициентов регрессии, адекватности математической модели.

Решение

В качестве факторов выбираем содержание (массовая доля) первого компонента в присадке (x1), содержание второго компонента в присадке (x2), содержание присадки в масле (х3). Содержание компонентов в присадке может колебаться от 0 до 100 %. Поэтому принимаем для x1 и x2 основной уровень 0,5 (50 %), интервал варьи-

рования 0,25 (25 %).

Содержание присадок в масле не превышает 4 %. Поэтому в качестве основного уровня x3 принимаем 0,02 (2 %), интервал варьирования 0,01 (1 %). Условия проведения эксперимента сведем в табл. 1.

В качестве отклика будем рассматривать разницу изменения массы ролика трения после проведения испытаний в стандартных условиях с маслом с присадкой и изменения массы ролика трения при испытаниях на масляной основе без присадки.

Расширенный план эксперимента представлен в табл. 2. Составляем серии опытов:

1-я cерия: 1,3,5,7,8,6,4,2;

2-я серия: 3,7,6,4,2,1,5,8;

3-я серия: 4,2,6,5,3,1,8,7.

Эксперимент спланирован.

21

Таблица 2

Расширенный план эксперимента

Проведем обработку результатов эксперимента и построим уравнение регрессии.

Пусть получены результаты, представленные в табл. 3.

Расчет коэффициентов регрессии удобно вести в виде таблицы

(табл. 4).

Расчет начинаем с определения значения величин y i и ji2 по

зависимостям (2) и (19) соответственно. Результаты представлены в табл. 4. Рассчитываем значения коэффициентов регрессии аi по зависимостям. Результаты представлены в табл. 4.

Проверим воспроизводимость результатов эксперимента (однородность дисперсий). Расчетное значение критерия Кохрена,

рассчитанное по зависимости, Gp = 0,29. Критическое значение нахо-

22

дим по таблицам G-распределения (прил. 3) по числу степеней свободы числителя f1 = K–1 = 2, знаменателя f2 = N = 8 и доверительной вероятности α = 0,95, Gкр = 0,52. Gp < Gкр, следовательно, дисперсии однородны.

Таблица 4

Расчет коэффициентов регрессии

Значимость

Проверяем значимость коэффициентов регрессии. Расчетные значения критерия Стьюдента ti, вычисленные по зависимостям для каждого коэффициента, приведены в табл. 4. Критическое значение находим по таблице t-распределения (прил. 2) по числу степеней свободы f = N(K–1) = 8(3–1) = 16 и уровню значимости α = 0,95; tкр, = 2,120. Для коэффициента a23 tр < tкр, следовательно, этот коэффициент не значим и может быть приравнен к нулю. Для остальных коэффициентов tр > tкр и коэффициенты значимы.

Уравнение регрессии в нормированном масштабе факторов имеет вид

y = 18,73 + 6,96x1 – 2,48x2 + 5,17x3 –

– 2,75x1 x2 + 4,37x1 x3 –1,02x1 x2 x3.

Рассчитываем по уравнению значения ypi в каждой точке факторного пространства, результат представлен в табл. 4.

23

Рассчитываем по зависимостям значения дисперсии адекватности, дисперсии воспроизводимости и F – критерия Фишера:

Fp ад2 0,03.

2y

Критическое значении критерия Фишера Fкр находим по таблице F-распределения (см. прил. 4) по числу степеней свободы числи-

теля f1 = K(N–L) = 3(8–6) = 6, знаменателя f2 = N(K–1) = 8(3–1) = 16

и уровню значимости α = 0,95. Fкр = 2,74. Так как Fр < Fкр, математическая модель признается адекватной.

Переводим математическую модель в натуральный масштаб:

y = 18,73 + 6,96x1 – 2,48x2 + 5,17x3 – 2,75x1 x2 + 4,37x1 x3 –1,02x1 x2,

После математических преобразований уравнение регрессии примет вид

y =14,07 –1,44 х1 – 4,24 х2 – 765 х3 – 11,36 х1 х2 + + 2564 х1 х3 + 816 х2 х3 – 1632 х1 х2 х3.

Задача решена.

24

Пример многофакторного планирования экспериментов

Планирование эксперимента при протягивании жаропрочных сплавов

Для широкого использования рекомендаций по оптимизации процессов резания при протягивании необходимо располагать не только теоретическими и экспериментальными данными о влиянии технологических факторов на основные показатели обрабатываемости, но и иметь экспериментальные математические зависимости для более достоверного быстрого и надежного расчета этих показателей и возможности управления процессом протягивания. Кроме того, имея эти экспериментальные зависимости, можно провести сравнение с ранее полученными теоретическими расчетами оптимальных значений скорости и температуры резания. В связи с этим поставлена задача установить экспериментальные математические зависи-

мости для расчета оптимальных значений скорости резания Vo, температуры резания То и интенсивности износа hозо для группы, например, деформируемых и литейных жаропрочных сплавов на никелевой и железо-никелевой основах, имеющих наиболее ярко выраженные зависимости. При этом использовалось доказанное положение о постоянстве оптимальной температуры резания и метод математического планирования экспериментов.

Для нахождения зависимости Vo = f( -фаза, Sz, , ) при протягивании жаропрочных сплавов протяжками ВКВ в качестве независимых переменных были приняты: подача на зуб Sz, передний угол, задний угол и процентное содержание в обрабатываемом сплаве упрочняющей -фазы.

В экспериментах участвовали жаропрочные деформируемые сплавы ЭИ437БУВД ( =12,5 %), ЭИ787-ВД ( =23 %) и ЭП109ВД

( =38 %). Протягивались образцы с длиной резания 60 мм и шириной 5мм, что соответствовало в среднем размерам обычно обрабатываемых поверхностей деталей. Каждый опыт повторялся от 2 до 5 раз в зависимости от величины разброса получаемых данных. На основе априорных данных о характере искомой зависимости для Vо принят следующий ее вид:

25

Это уравнение (1) после логарифмирования, замены обозначения независимых переменных факторов и введения членов, учитывающих взаимодействие этих факторов, примет линейный вид:

где у – значение исходного фактора (Vo) в логарифмическом масштабе; bо, b1,...., b34 – коэффициенты уравнения.

Полученное уравнение (2) представляет собой постулированную эмпирическую модель зависимости оптимальной скорости резания от переменных факторов , Sz, , . Для определения коэффициентов этого линейного уравнения использован полный факторный эксперимент типа 24. Кодирование независимых переменных и уровни их варьирования приведены в табл. 1.

Преобразование независимых переменных Хi к безразмерным переменным хi проводилось с помощью уравнения преобразования, где за единицу нового масштаба принято выражение 1/2(lgXimax – lgXimin).

Таблица 1 Кодовые обозначения независимых переменных

Матрица планирования и результаты экспериментов приведены ниже.

26

Матрица планирования и результаты экспериментов

Регресионный анализ и расчет коэффициентов регрессий проводились методом наименьших квадратов на ПЭВМ.

Реализация плана позволила получить следующую математическую модель:

y= lgVo = 1,3368 – 0,1492х1 – 0,105х2 + 0,008х3 + 0,006х4 +

+0,01х1x2 + 0,009х1x3 + 0,004x1x4 + 0,006x2x3 + 0,009x2x4 + x3x4. (5)

Проверка значимости каждого коэффициента уравнения (5) проводилась по t – критерию Стьюдента [t = 2,04](32, 0,05). Значимыми оказались коэффициенты при x1 и x2 ( bi = 0,013) Остальные коэффициенты незначимы (ti расчет < tкр и |bi| bi), поэтому могут быть отброшены без пересчета всех остальных. После этого математическая модель получила следующий вид:

27

Проверка модели на адекватность по F – критерию Фишера показала, что данное уравнение (с уровнем значимости 0,05) описыва-

ет процесс адекватно (Fрасч = 1,00 Fкр(13; 32; 0,05) = 2,06).

После подстановки значений xi по формуле (3) и потенцирования получаем искомую степенную зависимость длянатуральных величин:

Интерпретация уравнения (7) показывает, что повышение содержания -фазы и величины подачи Sz приводит к снижению величины Vо. Сравнение опытных данных Vo и подсчитанных по формуле показало достаточно хорошую их сходимость для деформируемых жаропрочных сплавов (табл. 2).

Таблица 2

Экспериментальные и расчетные значения Vо (м/мин) для деформируемых и литейных жаропрочных сплавов

Задание на работу

Получить от преподавателя номер варианта и решить аналогичную задачу по планированию эксперимента.

28

Приложение 1

Таблицы вариантов

При проведении полного факторного эксперимента, аналогичного типовой задаче лабораторной работы, получены результаты y1, y2, y3, представленные в таблице вариантов ниже. Получить уравнение регрессии, провести проверку на воспроизводимость результатов эксперимента, значимость коэффициентов регрессии, адекватность математической модели.

29

Приложение 2

ТАБЛИЦА t-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с числом степеней свободы n.

Примечание. Допускается интерполяция только по аргументу n. Погрешность линейной интерполяции не превышает 0,007.

30