книги / Свойства строительных материалов в примерах и задачах
..pdf91
ние сплошного круглого стержня из малоуглеродистой стали, использу емой для тяг, установлено, что пределу пропорциональности материа ла соответствует статическая продольная сила в 68,49 кН, а пределу текучести - статическая сила в 78,54 кН. Известно, что истинная плотность материала стержня - 7,85 г/см3 , масса стержня - 1000 г, длина его - 405,5 мм, расстояние между рисками для замеров деформа ций: первоначальное - 200 мм, после разрушения образца - 252 мм, площадь сечения шейки образца - 142 мм2 . Определить первоначальный диаметр стержня, его остаточное относительное удлинение и остаточ ное относительное сужение, а также предел пропорциональности и пре дел текучести стали.
С х е м а т и ч е с к о е |
р е ш е н и е представлено на рис. |
||
25. |
|
|
|
П о д с ч ё т |
ч и с л о в ы х |
з н а ч е н и й . |
Остаточное относительное удлинение образца (между рисками) по форму ле (104)
^ост |
252 - 200 100 |
26,0 (%). |
|
200 |
|
Средняя плотность стальных стержней, применяемых в качестве тяг, должна равняться истинной плотности (в связи с отсутствием в матери але пор):
=р = 7,85 г/см3 .
Линейная плотность стального стержня по формуле (7) |
|
||||||
Р< |
m |
_ |
1000 |
24,66 |
(г/см ). |
||
7 |
|||||||
|
40,55 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Первоначальная площадь поперечного сечения стального |
стерш и, исхо |
||||||
дя из форцул (2) и (7 ) , |
|
|
|
|
|
||
F |
= * |
|
7 ,8 5 |
. 3,1415 |
(см2) . |
||
|
Т |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Диаметр стального |
стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
4 х 3 .I4 I5 |
2 , 0 0 |
(см ). |
||
|
|
|
|
|
92
Рчго. 26. Схеиатияееяее решение задачи примера 13
Остаточное относительное сужение стального стержня по формуле (105)
F - F |
|
4LОСТ_ = ------- 100 = |
ю о = 5 4 ,8 (55). |
р |
3,1415 |
Предел пропорциональности малоуглеродистой стали по формуле (77)
спп
б„ |
= |
0 .06649 |
- |
218,0 |
(МПа). |
0,00031415 |
|
|
|||
|
F |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Предел текучести малоуглеродистой стали |
по формуле |
(77) |
|||
|
р |
|
|
|
|
б т |
= — |
= <^07654----- |
= 250,0 |
(МПа). |
|
т |
р |
0,00031415 |
|
|
|
О т в е т : |
первоначальный диаметр |
стального стержня - 2 , 0 0 см; |
остаточное относительное удлинение - 25,0 %; остато^^е относитель
ное сужение - |
5 4 ,8 |
%\ предел пропорциональности малоуглеродистой |
|||
стали - 218,0 |
МПа; предел текучести стали - |
250,0 |
Ша. |
||
|
|
Пример |
13 |
|
|
(включает |
статическую |
и динамическую |
|
||
твёрдость |
берёзы) |
|
|
|
|
У с л о в и е |
з а д а ч и . |
Образец |
берёзы |
со стороны ради |
альной своей поверхности испытан на статическую и динамическую твёр дость. При определении статической твёрдости в образец был вдавлен
на глубину 5,6 4 |
мм полусферический индентор радиусом 5,64 мм силой |
|||
3,63 |
кН. При определении динамической |
твёрдости на образец |
был сбро |
|
шен с |
высоты 50 |
см стальной шар массой |
64,5 г, в результате |
чего на |
поверхности образца образовалась вмятина эллепсоидальной формы с диаметрами: вдоль волокон - 6,63 мм, поперёк волокон - 7,53 мм. Чему равна статическая и динамическая твёрдость испытанного образца берё зы и каково соотношение в этих показателях твёрдости по установлен ным данным?
С х е м а т и ч е с к о е |
р е ш е н и е |
представлено на |
|
||
рис. 26. |
|
|
|
|
|
И о д с ч ё |
ч и с л о в ы х |
з н а ч е н и й . Диаметр |
от |
печатка индентора на поверхности образца берёзы при статическсм ис пытании будет равен двум «го радиусам, так как в данног случае глу бина вдавливания индентора равна его радиусу:
94
d oxn = 2 ^„иA = 2 x 5,64 в и.28 (мм).
Площадь проекции отпечатка индентора при статической испытании
Snc = — = S х4П ’2е2 - 99,933 (мм2)
или 9,9933 х КГ5 м2 .
Статическая твёрдость берёзы со стороны радиальной поверхности образ ца по формуле 1124)
нсм |
_ |
- |
3 .63 |
36324 (кПа) |
$ |
|
9,9933 X КГ5 |
||
|
ПС |
|
||
|
|
36,324 МПа. |
|
|
|
|
или |
|
Сила удара падающего на образец берёзы шара при динамическом испыта
нии по формуле |
(19) |
|
|
|
|
|
|
?А |
= |
m u i$ |
= |
° > 0 6 4 5 х |
9 »8 0 7 |
“ |
0.63255 (к г -н /с2 ) |
|
|
или 0,63255 Н. |
|
|
|
||
Работа, совершённая падающим на образец берёзы |
стандартным шаром по |
||||||
формуле (126) |
|
|
|
|
|
|
|
А |
= |
Рц* |
= |
0,63255 |
х 0 ,5 |
- |
0,31628 (Н м) |
|
|
или 0,31628 Дко |
|
|
|
Площадь проекции отпечатка шара на поверхности образца по форцуле
(127) |
|
|
|
5 |
= f . V " » |
- £ - Х |
6 ,63 х 7 ,53 _ ад 2 Ю (мм2 ) |
пл |
4 |
|
4 |
|
или 0,39210 |
сь^. |
Динамическая твёрдость берёзы со стороны радиальной поверхности об
разца по формуле |
(125) |
|
|
|
ц |
= _ |
_ 0,31628 |
0,80663 (Дк/ем2 ) . |
|
* |
с |
0,39210 |
||
|
Соотношение между Показателями динамической и статической твёрдости
Ц см |
_ |
36.324 |
и 45,032, то еоть по установ- |
Н д |
~ |
0,80663 |
’ |
9Ъ
денным данным I Дк/см^ динамической твёрдости соответствует 45,032 Mila ( » 45 МПа) статической твёрдости.
О т в е т : статическая твёрдость берёзы со стороны радиального среза - 36,324 МПа; динамическая твёрдость берёзы со стороны того же среза - 0,60663 Дк/см? ; по установленным данным I Дй/ см^ динами ческой твёрдости соответствует 45 МПа статической твёрдости.
Пример 14
(включает статическую прочность и показатели плотности арматурной стали)
У с л о в и е з а д а ч и . Гл дкая арматурная сталь была
разорвана при её испытании на разрывной машине под действием стати ческой силы в 157 кН. Установить диаметр арматуры и её коэффициент конструктивного качества при растяжении, если известно, что эта ар
матурная сталь характеризуется истинной плотностью |
7,35 г/см3 , |
ли |
||
нейной плотностью |
2,466 кг/м. |
|
|
|
С х е м а т и ч е с к о е |
р е ш е н и е представлено на |
рис. |
||
27. |
|
|
|
|
П о д с ч ё т |
ч и с л о в ы х з н а ч е н и й . |
Средняя плот |
ность арматурной стали равна её истинной плотности, так как арматур ная сталь пор не имеет:
Jf = р - 7,85 г/см3 .
Площадь поперечного сечения арматурной стали, исходя из формул (2) и (7 ) ,
F = |
— |
= |
= 3 ,1 4 (см2 ) или 0,000314 м2 . |
Г7 *8 5
Диаметр арматурного стержня
аЧт ■ l i ' - i F ? |
2 (см) или 2 0 мм. |
Предел прочности арматурного стержня при растяжекли по формуле (131)
р .
R |
= — |
= — |
* 500000 (кПа) или 500 МПа . |
Р |
р |
0,000314 |
|
|
|
96 |
Рв |
М 5 ? к Н — |
р |
|
|
|
Pz |
= 2 ,4 6 6 кг/м |
F |
р |
« 7,65 г /с м 3- |
|
Яиго = 1 г /с м 3-----
Рис. 27. Схематическое решение задачи примера 14
d c = 25 мм
£= 9,80? м /с
а^ И З у д д р ,
|
Рис. 28. Схематическое решение задачи примера 15 |
3 |
= 5 ,6 х 10 ' М Дж /м |
2Л |
= "1,9? х 10 |
J* |
= 0,223 |
|
|
& |
= 29.9-1 ГПа |
Е>д = 29,50 ГПа р я о= -1000 кг/м
Рис. 29. Схематическое решение задачи примера 16
97
Относительная средняя плотность арматурной стали по формуле (5)
^ |
_ |
7,85 |
7,8 6 . |
|
|
|
* : - р 2
Г Н
Коэффициент конструктивного качества арматурной стали при растяже
нии по формуле |
(135) |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
Ш - = 6 3 ,7 (МПа). |
|
||
к к к |
= |
— |
= |
|
|||
|
? |
гио |
|
7 *65 |
|
|
|
О т в е т : |
диаметр арматурной стали |
- |
20 мм; коэффициент конст |
||||
руктивного качества стали |
при растяжении |
- |
63,7 Ша. |
|
|||
|
|
|
Пример |
15 |
|
|
|
(включает динамическую прочность |
сиенита) |
|
|||||
У с л о в и е |
з а д а ч и . |
Образец |
сиенита в виде |
прямого |
|||
кругового цилиндра с диаметром основания и высотой по |
мм был ис |
||||||
пытан на лабораторном |
копре. Определить ударцую прочность |
этого об |
разца, если известно, что первые признаки его разрушения были обна
ружены после 13 удара, а масса |
падающей бабы копоа |
составляла |
2 ,0 кг |
||||||||
С х е м а т и ч е с к о е |
р е ш е н и е |
представлено |
на рис. |
||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П о д с ч ё т |
ч и с л о в ы х |
з н а ч е н и й . |
|
||||||||
Объём образца |
сиенита а |
естественном состоянии |
|
|
|
||||||
|
|
5г oL К |
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
У |
= |
------------- |
= |
|
У. З»5. - |
х-£ » 5 |
= |
12,27 (см3 ) . |
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Сила удара падающей бабы копра по формуле (19) |
|
|
|
||||||||
|
|
РА = |
m g . |
= |
2 ,0 |
х |
9,807 |
= 19,61 |
(кг-м /с2 ) |
|
|
|
|
или 19,61 Н. |
|
|
|
|
|
|
|||
Суммарный путь, пройденный падающей бабой копра до |
начала разруше |
||||||||||
ния образца,, по формуле (139) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
р |
- |
I + 2 |
+ 3 + |
. . . |
+ |
(гх - |
I) |
|
|
|
|
* |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
i
Так как числитель дроби в этой формуле представляет сумму членор
96
арифметической прогрессии, то суммарный путь бабы копра может быть представлен после соответствующих преобразований в виде
а ( а - 1
200
где первый сомножитель числителя г\ - пройденный бабой копра путь только за перБый и предпоследний удар вместе, а второй сомножитель числителя (^п - 1 ) общее число ударов за исключением послед него разрушительного удара. Таким образом,
I _ |
13 (13 - I) я о 7 8 (м ). |
|
200 |
Работа, затраченная падающей бабой копра до доведения образца сие нита до разрушения, по формуле (138)
А = Рд { = 19,61 X 0 ,7 8 = 15,30 (Н-м) или 15,30 Дк.
Ударная прочность образца сиенита по формуле (137)
Rvn |
= |
—' = |
= 1.25 (Дк/см3). |
vn |
|
V |
12,27 |
|
|
6 |
о |
О т в е т : ударная прочность сиенита - 1,25 Дж/см .
Пример 16
(включает теоретическую прочность» упругость
иплотность оконного стекла)
Ус л о в и е з а д а ч и . Определить среднюю плотность и теоретическую прочность оконного стекла, если известны следующие его характеристики: удельный модуль продольной упругости - 29,50 Ша, модуль упругости при сдвиге - 29,91 ГПа, коэффициент поперечной де
формации |
- 0 ,2 2 3 , |
удельная поверхностная энергия материала - |
|
|||||||
- 5 ,6 |
х I0"7 |
МДж/м |
и межатомное расстояние |
- |
1,97 х 10" м. |
|
||||
|
С х е м а т и ч е с к о е |
р е ш е н и е |
представлено |
на |
||||||
рис. |
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П о д с ч ё т |
|
ч и с л о в ы х |
з н а ч е н и й . |
|
|||||
Модуль продольной |
упругости стекла, |
исходя |
из |
формулы (9 6 ), |
|
|||||
|
Е |
- |
2 С |
О |
. , 0 |
= 2 х |
29,91(1 |
+ 0,223) = 73,16 |
(ГПа) |
или 73160 Ш а.
99
Относительная средняя плотнгсть стекла, исходя из формулы (8 3 ),
|
|
у* |
_ |
Е |
_ |
|
73.16 |
2 ,4 8 . |
|
|
|
||||
|
|
° |
’ |
F |
|
” |
|
29,50 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Средняя плотность стекла, исходя из формулы (5 ) , |
|
|
|
||||||||||||
|
|
У |
= |
ХоРи2о = |
2,48х 1000 = 2480 (кг/м3Ь |
|
|||||||||
Теоретическая |
прочность |
стекла |
по формуле |
(148) |
|
|
|
||||||||
I сор |
|
|
|
|
|
|
|
73160 X 5 .6 |
X |
Ю~7 |
I442I |
(Ш1а) |
|||
|
|
-д |
|
V |
1,97 X 10--10 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
или |
|
14,421 |
ГЛе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : |
средняя |
плотность стекла |
- |
2480 |
кг/м |
; теоретичес |
|||||||||
кая прочность |
стекла |
- 14,421 |
ГПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Пример |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(включает истираемость и плотность известняка) |
|
||||||||||||||
У с л о в и е |
|
з а д а ч и . |
Образец плотного известняк'' в ви |
||||||||||||
де прямого кругового цилиндра с диаметром основания и высотой по |
|||||||||||||||
100 мм был испытан на истираемость, |
в результате |
чего масса |
его |
||||||||||||
уменыпиласо |
на |
II I г , |
а |
истираемость |
по объёму составила |
|
|||||||||
0,549 CM'V CM^. |
Определить |
первоначальную массу испытанного |
образца |
||||||||||||
и его истираемость по массе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С х е м а т и ч е с к о е |
|
р е ш е н и е |
|
представлено на |
|||||||||||
рис. 30. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
П о д с ч ё т |
ч и с л о в ы х |
з н а ч е н и й . |
|
||||||||||||
Площадь истирания образца |
плотного известняка |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
= |
—— - |
|
= |
|
|
х 1р2 |
|
« |
78,54 |
(см2 ) . |
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1'стираемость |
плотного |
изьестняка по |
массе |
по формуле |
(149) |
|
|||||||||
и |
= |
---------------- |
= |
|
ТТТ |
= |
|
|
|
2 |
|
||||
—i i i |
1,413 (г/см 2 ) . |
|
|||||||||||||
м |
|
|
|
р |
|
|
|
78,51 |
|
|
|
|
|
|
Объём образца в естественном |
состоянии |
до |
испытаний |
\ / = FH |
= 78,54 |
х 10 |
- 785,4 (см3 ) . |
100
К - "100 м м ------
d и = 'lOO м м ------
m H- m K - /['[/\ г
И0 - 0 ,5 4 9 см 3/с м '
Рис. 30. Схематическое решение задачи примера 17
Pt |
= 5 4 к г /м — y F |
m H- m K= '135 г |
|
Им |
= 0 ,6 г /с м 2 |
р н2о = ^ г/см
к к к ри = Л ,2 5 М П а
a = 2 сосредоточ.сил.
Р„ = П 2 5 к Н
Рис. 31. Схематическое решение задачи примера 18