книги / Расчёт и конструирование вибрационных питателей
..pdfс замедлением по замедляющему ход лотку (кривая e'f'), но быстрее
его. Уравнение движения заготовки на этапе торможения будет иметь вид:
XTi = |
—g (/cosа + |
А |
(13) |
sin а)-----~ /со2cosср; |
|||
х т, = |
— (/cosа + |
sin а) ср — 4^-/a>sincp. |
(14) |
Момент отрыва заготовки от лотка и параметр режима работы вибрационного питателя %. Во второй четверти периода движения ускорение лотка (кривая аЛЬл) станет отрицательным и сила инерции заготовки Qu(фиг. 3, б) будет направлена вверх, и в тот момент, когда нормальная реакция N станет равной нулю, произойдет отрыв за
готовки от лотка.
Фазовый угол с:0, при котором начинается отрыв заготовки от
лотка, можно найти из уравнения |
( |
(7), приняв N = |
0: |
То = arc cos |
2g cos а |
(15) |
|
\ |
Ан о>" |
Режим движения заготовки, время ее отрыва и время падения
на лоток зависят от |
величины |
амплитуды нормального ускорения |
|
А (О2 |
, которую |
удобно |
задавать обобщенным безразмерным |
лотка —^ |
|||
параметром |
£: |
|
А «о2 |
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
2 g COS а
12
Уравнение (15) для определения фазового угла отрыва заготовки от лотка с учетом выражения (16) примет вид:
(17)
Установившееся движение. С момента отрыва заготовки от лотка,
т. е. при ср0, начнется третий этап движения — микрополет заготовки в воздухе со скоростью, определяемой прямой f'm'. Абсолютное ускорение движения заготовки вдоль оси х, если пренебречь сопро
тивлением воздуха, определится:
х п = |
— £ 8Ш *; |
(18) |
хп = |
sin а. |
(19) |
После микрополета, длительность которого зависит от режима работы лотка, определяемого величиной параметра 5, заготовка па
дает на лоток — начинается четвертый этап ее движения. |
заготовки |
|
На фиг. 4 точка т' отвечает фазовому углу |
встречи |
|
с лотком срб; определение этого угла приводится |
дальше. |
удар заго |
Для упрощения выкладок примем, что при |
падении |
|
товки о лоток неупругий. При эффективных режимах работы пита теля скорость заготовки в момент встречи с лотком будет больше ско рости последнего, поэтому на протяжении четвертого этапа (этапа второго торможения) заготовка будет двигаться с отрицательным уско рением хтг, которое определится тем же соотношением (13), что и
ускорениеiV 1 , покаскорости заготовки и лотка не сравняются. Такое уравнивание скоростей произойдет в момент времени, соответствую щий точке п \
Далее начнется следующий цикл, в котором заготовка будет про скальзывать относительно лотка и скорость движения ее расти по кривой п е" (этап разгона); в точке е" скорости заготовки и лотка
сравняются и последуют остальные три этапа движения следующего периода.
Как видно из графика, в результате первого колебания заготовка приобретает скорость, определяемую точкой п’\ при втором колеба
нии заготовка разгоняется до несколько большей скорости (скорость в точке еп выше, чем в точке е'). В течение нескольких последующих
колебаний нарастание скорости заготовки будет продолжаться, пока не наступит режим установившегося движения (кривая Kelfmn). По
следний наступит тогда, когда приращение скорости на участке раз гона будет равно сумме падений скоростей на участках замедления. Поскольку скорость есть интеграл ускорения по времени, а вычис ляется интеграл как площадь, то условие установившегося харак тера движения заготовки можно записать:
площадь cpPi be <?р2= площадь cp;-2<pKd ср„ + площадь |
ср0 dd' срв + |
+ площадь <pLd"b*y'p . |
(20) |
13
При выполнении этого условия ордината точки к начала |
раз |
гона в любом предыдущем цикле будет равна ординате точки |
п на |
чала разгона в любом следующем цикле. Скорость заготовки в |
уста |
новившемся режиме в течение цикла будет изменяться по кривой кеЦтп и колебаться от vmax (в точке е) до vmin (в точке п).
Условия совместного движения заготовки с лотком. При опреде
ленных условиях, помимо рассмотренных четырех этапов движения,
возникает |
п я т ы й э т а п (el) |
совместного движения заготовки |
с лотком |
без проскальзывания. |
Такой этап может возникнуть или |
в конце участка разгона (срр2), или в его начале (cppi), если в эти мо менты ускорение лотка будет меньше критического. Наступление этого условия можно записать в общем виде, рассматривая сумму
проекций всех сил на ось х' (фиг. |
3, б): |
|
|
|
||||
|
m~Y о)2 cos ср < |
± F — mg sin а. |
|
(21) |
||||
В формуле |
(21) |
знак плюс — для |
участка |
разгона |
заготовки, |
|||
а знак минус — для |
участка торможения. |
|
|
|
||||
Определение фазового угла встречи срв |
заготовки с лотком. Фазо |
|||||||
вый угол встречи заготовки с лотком после ее микрополета |
опреде |
|||||||
ляется следующим образом. |
|
|
|
иметь одну и |
ту же |
|||
В момент встречи заготовка и лоток будут |
||||||||
ординату в нормальном к лотку направлении по оси оу' |
(фиг. 3, б). |
|||||||
Поэтому при |
фазовом угле |
срв должно |
удовлетворяться |
равенство |
||||
|
|
|
5 = |
s , |
|
|
|
(22) |
|
|
|
3 |
Л1 |
|
|
|
|
где s' — путь, |
проходимый |
заготовкой |
после отрыва в нормальном |
|||||
к лотку направлении;
s'A — путь, проходимый лотком в нормальном направлении. |
|
||
< = |
< + |
i 4 d<р; |
(23) |
|
|
<Ро |
|
<, = |
< + |
j ^d<p, |
(24) |
|
|
<Ро |
|
где s0 — путь, пройденный заготовкой и лотком в нормальном на-
правлении при их совместном движении до фазы отрыва; х/ — нормальная составляющая скорости полета заготовки; VA— нормальная составляющая скорости лотка.
» ; = » ; — # « * * ( ? — ?«); |
(25) |
= -у <“Sin ср, |
(26) |
где v'o — нормальная составлющая скорости лотка в момент отрыва
от него заготовки.
А
Подставляя значения s'3 и sAпри фазе срв в выражение (22), |
полу |
|||||
чаем |
|
Vo) J rfcp = |
|
|
||
\в |
|
ъ |
|
|||
j ~Y «> sin сро — "~"cosa (? |
a) sin cpdcp, |
(27) |
||||
<Po |
|
|
|
|
?<> |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
Л |
COS a V-----_ L |
= — — (cos cp6 — cos cp0). |
(28) |
|||
— sm cpo (cp6 — <p0) — |
||||||
Решая уравнение (28) с учетом выражения |
(16), получаем форму |
|||||
лу для определения фазового угла |
ср* |
момента встречи заготовки |
||||
с лотком: |
|
|
|
|
|
|
?e = <Ро + |
V ^ 2— 1 + |
V l 2+ |
2 5 cos cpe + 1. |
(29) |
||
Определениемаксима льной величины отрыва s'тах и фазового угла cps.
Расстояние между заготовкой и |
лотком s' |
во |
время микрополетз |
определяется из уравнения |
|
|
|
s = s 'a — s‘r |
|
(30) |
|
Подставляя в уравнение (30) |
значения s' |
и s' |
из формул (23) и |
(24) и решая с учетом выражения (16), получаем формулу для опре деления величины отрыва заготовки от лотка во время микрополета:
(<р — <Р») V t 2 — 1 — (У ■ ^ COS tp + 1 (31 >
Нетрудно доказать, что максимальное расстояние между заго товкой и лотком Smax будет в момент равенства их нормальных ско
ростей. Приравнивая значения v'g и v |
из формул (25) и (26) при фа |
|
зовом угле максимального отрыва cps, получаем: |
|
|
§ |
л |
(32) |
V0 — — COS а (<fs — ср0) = - J 0) sin <ps. |
||
Решая уравнение (32) с учетом выражения (16), получаем формулу
для определения фазового угла <ps: |
|
9s = V %2— 1 + 9о — 5 sin cps. |
(33) |
Максимальную величину отрыва заготовки от лотка получаем, подставляя в уравнение (31) значение <ps:
5max = 21 [(?* “ |
То) V |
+ S COS + 1 ]. |
(34) |
На графике фиг. |
5 показана |
зависимость величины |
s^ax от |
параметра g для нескольких частот колебаний, построенная по фор муле (34).
На графике фиг. 6 показаны зависимости фазовых углов ср0, срб, 9s, подсчитанные по формулам (17), (29) и (33).
15
Как видно из графика, длительность полета заготовки, опреде ляемая разностью ср* — <р0, зависит от параметра £.
При £ = I отрыва заготовки от лотка не происходит, а при £ = = 3 ,3 длительность полета равна 2тг, т. е. полет заготовки происходит
в течение всего цикла.
Критерий эффективности режима работы вибрационного пита теля. Как видно из анализа графика на фиг. 4, в зависимости от вы
бранных параметров движения лотка (величины £, определяющей фазовые углы отрыва и встречи заготовки с лотком, ср0 и и углов р и а), средняя скорость движения заготовки v3 будет приближаться
кмаксимальной скорости лотка vAmax, оставаясь всегда меньше ее.
Критерием эффективности режима работы вибрационного пи
тателя является коэффициент скорости Кс>показывающий, насколько
средняя скорость заготовки в данном режиме приближается к макси мальной скорости лотка:
Кс = ~ — , |
(35) |
ил max |
|
отсюда средняя скорость движения заготовки |
|
V3 = ХЭлтахКс* |
(36) |
Максимальная скорость лотка при колебательном движении по гармоническому закону определяется:
д |
to = тс V Ал, |
(37) |
VA max == ~ |
где v — частота колебаний в секунду.
Скорость движения заготовки с учетом формулы (37) можно вы
разить: |
|
v3 = тиv АлКс мм/сек. |
(38) |
Таким образом, для оценки эффективности режима работы вибра ционного лотка и определения средней скорости движения заготовки необходимо знать величину коэффициента скорости в различных режимах и факторы, влияющие на нее.
Определение величины коэффициента скорости Кс планиметриро-
ванием. Средняя скорость заготовки в установившемся режиме дви
жения определяется как путь, пройденный заготовкой на всех эта пах цикла, отнесенный к длительности цикла:
|
V3= 2^, |
(39) |
где |
i—n |
|
s = Е Si — путь, пройденный заготовкой на протяжении п эта- |
||
пов |
i = 1 |
|
цикла. |
|
|
Средняя скорость для данного режшма может быть определена планиметрированием графика скорости или аналитическим путем.
Метод планиметрирования заключается в следующем, В опре деленном масштабе на миллиметровой .бумаге строится график ско-
16
роста лотка vA (см. фиг. 4) и по уравнениям движения (12), (14) и
(19) для этапов разгона, торможения и полета на кальке вычерчи ваются кривые скорости.
По формулам (17) и (29) или графику (фиг. 6) определяются фа зовые углы отрыва ср0 и встречи срв заготовки с лотком; черед точки этих фаз, отмеченные на оси абсцисс, проводят вертикальные линии.
Перемещая вдоль этих линий кри вые скоростей, добиваются такого положения, когда при принятой схеме движения кривые на стыках совпадут и начальная точка перво го этапа (например, точка к на
Фиг. 5 |
Фиг. |
6 |
графике фиг. 4) и конечная точка последнего |
этапа |
(точка п) будут |
находиться на одной горизонтальной прямой. Это будет свидетельство вать о том, что принятая схема движения правильна и режим уста новившегося движения существует.
Зафиксировав положение кривых скорости на графике, можно планиметрированием определить площадь, ограниченную кривыми скоростей (на фиг. 4 кривой кеЦтп), ординатами, проходящими через
начальную и конечную точки цикла, и осью абсцисс. Эта площадь в масштабе будет равна пути, пройденному заготовкой в одном цикле. Затем по формуле (39) определяется средняя скорость заготовки v3>
а по формуле (35) — коэффициент скорости в данном режиме.
Аналитический метод определения Кс• Аналитический метод опре
деления коэффициента скорости более трудоемкий, но обеспечивает большую точность и большую возможность анализа всех существую щих режимов и факторов, на них влияющих. Методика его состоит в следующем: предполагаемую схему движения заготовки описывают уравнениями движения для каждого этапа, подставляя конкретные начальные условия так, чтобы получить установившийся режим.
Решением конкретных уравнений для данного режима определяют
2 Повидайло |
17 |
соответствующие стыковые фазы режима и условия его существо вания.
Выведем общие уравнения движения с начальными условиями
для характерных этапов установившегося режима. |
|
|
Для э т а п а |
р а з г о н а начальная скорость vm4 определится |
|
из уравнения (12): |
|
|
0«а., = |
Y / (Оsin <р„ач + ^ (/cos а — sin а) сриач + С, |
(40) |
откуда |
д |
|
|
(41) |
|
С = vHa4---- £?/(Dsin уНач— ~ (/ cos а — sin а) фнач. |
||
Подставляя значение уравнения (41) в уравнение (12), получаем
уравнение разгона с начальными условиями: |
|
|||
Хр = |
УнаЧ+ |
-j/o> (sin <Р— sin срнан) + |
f- (/cos а — sin а) (ср — срнач). |
(42) |
Для |
э т а п а т о р м о ж е н и я , |
произведя аналогичные |
пре |
|
образования из уравнения (14), получим |
|
|||
X I = |
отч |
f О) (sin <Р— sin срна») — |
(/ cos а + sin а) (<р — <р„ач). |
(43) |
Д л я эт а п а с в о б о д н о г о п о л е т а
%п — ^нач |
g_ |
00 sin а (ср — <р„а<). |
Для упрощения расчетов углы подъема а и бросания задавать соответственно коэффициентами ка и к»:
Ка = tgg. / ’
Ctg (р — а)
Кр
/
(44)
р будем
(45)
(46)
Определение стыковых фазовых углов в пятиэтапном режиме дви жения заготовки. Фазовые углы отрыва <р0 и встречи <рв заготовки с
лотком определяются по формулам (17) и (29).
Фазовые углы в последующем цикле движения заготовки будем
обозначать ср' |
срр> |
ср', |
ср' и о'к (см. фиг. 4). Они отличаются |
от соот |
ветствующих |
фазовых |
углов в предыдущем цикле на величину 2и; |
||
например ср' = |
<ро |
+ 2те и т. п. |
|
|
Фазовый угол |
конца совместного движения заготовки |
с лотком |
||
у'к определим следующим образом. Подставив в уравнение (21) зна чение F из выражения (8), получим:
т -jco2cos срK= —mgf cosa. — m ~ f ш2 cos <t’K — mg sin a. (47)
18
Решая уравнение (47) с учетом уравнений (16), (45) и (46), полу чаем:
= arc cos IГ— ' + |
1 + 2%. |
(48) |
Для определения фазовых углов ср'^ и ср^ на основании уравнений
(42), (43) и (44) составим уравнения с подстановкой конкретных на чальных условий для каждого стыкового фазового угла.
Подставляя в уравнение (42) начальные условия хр = v ' — ско
рость лотка вточке <рл и vHa4 = |
v9' |
— скорость лотка в точке |
ПО- |
|||||||||
лучаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГР«* |
|
. |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_л 0) Sin ср |
|
|
тsin |
+ Y fm (sin |
~ sin ^ |
+ |
|
|||||
2 |
|
Тр*J Y |
|
|||||||||
|
|
|
+ |
£■ (/ cos а — sin а) (<p'ft — |
. |
|
(49) |
|||||
Аналогично на основании уравнения |
(43) получим: |
|
||||||||||
|
Y |
шsin Ь, = |
Ve~ |
у |
/ w (sin Тр, — sin <рв) — |
|
||||||
|
|
|
— |
(/ cos а + sin а) (<р^ — <рв) ; |
|
(50) |
||||||
|
Y “ sin < = |
|
^ |
/ ® (sin Ч'к~ |
sin ?;) - |
|
|
|||||
|
|
|
- |
(/ |
cos а + |
sin а) (<?;— <£). |
|
(51) |
||||
На основании |
уравнения |
(44) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ve = |
v0 |
g sin a |
|
|
|
(52) |
||
где v0 — скорость |
|
|
0) (?e — ?o), |
|
|
|||||||
лотка в момент отрыва при ср0; |
|
|
||||||||||
ve — скорость |
лотка в момент встречи при срв. |
|
|
|||||||||
Решая четыре уравнения (49), (50), (51) и (52) с четырьмя |
неиз |
|||||||||||
вестными v09 |
v6i ср^ |
и у |
получаем уравнение, из которого можно |
|||||||||
определить <{/ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
ка |
|
, |
__ |
1 |
(1 + |
кр) sin ср^ + |
sin срб + |
sin <р'0 + ^- (<р* — |
|||
£ (1 + |
К$) ^Pi |
|
1 + |
Яр |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(53) |
и уравнение, |
из которого при известном ср^ |
можно получить |
ср • |
|||||||||
sin фп — г— |
1) |
|
sin ^ |
~ |
^ |
' |
(54) |
|||||
|
|
*Рг |
|
£ (/Ср |
|
|||||||
Уравнения (53) и (54) решаются графоаналитическим методом.
Определение коэффициента скорости К0 ** пятиэтапном режиме.
2* |
19 |
Для определения коэффициента скорости Кс запишем уравнения ско
рости заготовки во всех пяти этапах цикла (см. фиг. 4), подставляя в общие уравнения движения начальные условия.
Начиная с этапа свободного полета и идя слева направо, получаем:
для этапа свободного полета
vn = у |
шsin |
+ у f т(sin ?р, ~ sin *•) + f- (/ cos а + |
|
|
|
+ sin а) (ср^ — срв) + ^ - 2 - (сре — ср); |
(55) |
||
для этапа |
второго |
торможения |
|
|
vTi ==^u)sin<ppi+^f/u)(sincppi — sin cp) -f- |
|
|||
|
+ у |
(/ cos a + |
sin a) (срл — cp); |
(56) |
для этапа разгона |
|
|
|
|
|
Vp = у |
“> sin 9 p t — |
у / “ (sin b , — sin ? ) — |
|
|
— f - ( /c o s a - s in a )(tf’pt — ^); |
(5?) |
||
для этапа совместного движения с лотком |
|
|||
|
|
vA= |
А |
(58) |
|
|
у «> sin ср; |
||
для этапа первого торможения
АА
= у |
o>sin?^ + y / o > ( smcp^ — sin ср) |
|
|
+ |
у (/ cos a + |
sin a) (cp^ — cp). |
(59) |
Путь, проходимый |
заготовкой |
во всех этапах цикла, |
выразится: |
s = |
J vnd ср + { ' vTld(?+ |
f |
‘vpd ср |
+ j vAd ср + |
^ vTt d ср. |
||
|
90 |
9в |
v Pt |
|
v p,’ |
v K |
|
Из уравнения (35) с учетом выражений (37) и (39) получим |
|||||||
|
|
|
К* |
тсЛлсо* |
|
(61) |
|
Обозначим разности фазовых углов, соответствующих началу и |
|||||||
концу каждого |
этапа |
движения |
заготовки, |
следующим |
образом: |
||
<рр — срр8 ~Ъ р — угол |
разгона; |
|
лотком без проскальзывания; |
||||
% — |
= |
Ъл — угол движения с |
|||||
фр— ^ |
= ЬТг— угол |
торможения |
первый; |
|
|
||
срв — i |
=s Ьп — угол |
полета; |
|
|
|
|
|
Ъх — |
|
в— угол |
торможения |
второй. |
|
|
|
20
Произведя интегрирование уравнения (60) и подставив в уравнение (61) с учетом выражений (16), (45) и (46), получим формулу для определения коэффициента скорости в пятиэтапном режиме:
Кс‘ = L icos |
— cos + sin |
(2ir— |
— 8n) + |
|
||
+ sin ^ 8 ^ + 1 |
[2cos tpp( — cos <p^ — cos |
+ cos |
— |
|||
— cos epe + |
sin |
(8„ + |
8r a — 8P) — sin cpe8„ + |
sin tj/8 ^ j + |
||
1—л:а8р , |
i + |
i2 |
|
|
(62) |
|
T 8 |
rA |
S/Co 2 |
||||
Kp 5 |
2 + |
|
2 |
|||
Рассмотренный пятиэтапный режим является наиболее общим режимом с максимальным числом этапов движения.
Схемы режимов с различным числом этапов движения. При одном
и том же значении параметра режима Е, меняя продольную состав ляющую скорости лотка vA или изменяя величину угла бросания р,
задаваемую коэффициентом яр, можно |
получить шесть р е ж и м о в |
с различными этапами движения (фиг. |
7). |
Р е ж и м |
I, характеризующийся |
высокими |
скоростями |
движе |
||
ния лотка vA (наиболее |
часто |
применяемый в |
практике), |
состоит |
||
из трех этапов: э т а п а |
р а з г о н а |
Р, с в о б о д н о г |
о п о |
|||
л е т а П и |
т о р м о ж е н и я |
Т 2. |
Уменьшение vA (или |
/ср) при |
||
водит к появлению четырехэтапного режима II, в котором появляет ся этап торможения Тг.
21