книги / Методы испытаний и диагностики кабелей и проводов

жество независимых факторов, то эта функция соответствует нормальному закону распределения.

Для построения гистограммы число измерений должно быть велико. Значение и,- для каждого интервала должно быть не меньше 5— 10. Найденная гистограмма соответствует кон­ кретному значению ха. Если р (А) зависит от х, то для нахождения этой зависимости необходимо производить мно­ гократные измерения при различных значениях х. Трудоемкость таких экспериментов очевидна.

Функция р (А) обладает следующими свойствами:

Наиболее важными числовыми характеристиками закона распределения вероятностей является математическое ожидание Ас (см. рис. 12.1) и среднеквадратическое отклонение с (или дисперсия а 2):

-00

-00

Величину Лс в метрологии принято называть систе­ матической погрешностью. Систематическую погрешность можно рассматривать как среднее значение погрешностей, которые получаются при многократных измерениях одной и той же величины. В общем случае величина Дс может изменяться как детерминированная функция некоторых

171

аргументов (измеряемой величины А, времени, температуры и других влияющих факторов).

При любом законе распределения погрешность измерения

Величину А' в метрологии принято называть случайной погрешностью. Математическое ожидание величины А' равно нулю.

Если величина Ас известна (например, определена экс­ периментально), то ее целесообразно исключить из результата измерения, переходя от него к исправленному результату хисп:

*исп=*-Ас. (12.6)

Для достаточно точной оценки систематической погреш­ ности обычно достаточно произвести 10—20 измерений, тогда

Среднеарифметическое значение из п измерений для ве­ личины х

Тогда оценка среднеквадратического отклонения от среднего

П1 1 = 1

Причем s стремится к а, если п стремится к бесконечности. Величина хср является случайной, и ее среднеквадратическое отклонение от математического ожидания Jc (среднего значения)

закон распределения величины хср стремится к нормальному независимо от того, какому закону распределения подчиняются единичные измерения величины х .

172

В дальнейшем, если это специально не оговаривается, мы будем считать, что систематическая погрешность в основном исключена (в результате измерений включены поправки) или достаточно мала, т. е. значение Лс много меньше а. Принципи­ ально важно, что систематические погрешности не могут быть исключены полностью по следующим причинам:

действительное значение ха никогда не равно точно ис­ тинному я:и;

величина Дс определяется приближенно, так как количество опытов ограничено;

измерительную аппаратуру практически можно проверить только в отдельных точках шкалы х.

Случайную погрешность А' в (12.5) можно уменьшить, повторяя измерения п раз и вычисляя лсср по (12.8). Тогда среднеквадратическое отклонение для хср по (12.10) уменьшается с увеличением п. При использовании автоматических измери­ тельных систем число измерений п можно получить очень большим. Но не следует делать вывод о том, что таким путем случайную погрешность можно снизить до любого малого значения. При малых промежутках времени между измерениями и по другим причинам может существовать статистическая зависимость случайных погрешностей в каждом измерении между собой.

В качестве количественной меры статистической зависимости между двумя случайными величинами используется коэффици­

где г,7— коэффициент корреляции между погрешностями на­ блюдения i и j (суммирование ведется по всем /</).

При независимых наблюдениях все гц равны нулю и из (12.12) следует (12.10). Наиболее сильной зависимости между погрешностями соответствуют г1у равные единице. В этом случае можно показать, что значение стс будет максимальным и равным ст, т. е. увеличение числа наблюдений не увеличивает точности измерения. В большинстве практических случаев погрешности наблюдений в той или иной степени коррелированы, при этом справедливы неравенства

Различают две составляющие погрешности измерения: ин­ струментальную, определяемую погрешностью средств измере­ ния, и методическую, связанную с несовершенством метода измерений. Например, при измерении температуры образца

173

термопарой методическая погрешность определяется рядом факторов (см. гл. 9), которые приводят к тому, что температура термопары отличается от действительной температуры образца. Инструментальные погрешности определяются точностью при­ бора, измеряющего ЭДС термоэлектродов, и точностью их градуировки.

12.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

По способу нахождения числового значения измеряемой величины у измерения подразделяются на прямые, косвенные, совместные и совокупные:

при прямых измерениях искомая величина у равна опытному значению х, т. е. у = х ;

при косвенных измерениях величину у находят на основании имеющейся математической зависимости от наблюдаемых

измерения нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними;

при совокупных измерениях измеряется несколько одноимен­

При совместных и совокупных измерениях число уравнений обычно больше, чем число искомых величин, т. е. т>п. Тогда систему решают методом наименьших квадратов на ЭВМ.

Примером совместных измерений может служить измерение сопротивления изоляции в зависимости от температуры.

Рассмотрим вычисление погрешности измерений при прямых измерениях.

На практике наиболее часто встречается нормальный закон распределения погрешностей, для которого плотность вероят­

174

Всоответствии с (12.2) вероятность попадания погрешности

винтервал (— Д2)

(12.15)

Функция Ф (z) называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей, для нее составлены таблицы (см. табл. П4

нормальном законе распределения вероятность того, что по­ грешность однократного измерения превысит по абсолютному значению 3 ст будет не больше 0,3%. Этой вероятностью часто пренебрегают и называют величину За максимально возможной погрешностью.

Формулы, аналогичные (12.14)— (12.15), можно записать и для самой измеряемой величины х (вместо Д будет л\ вместо Аср—хср величины Д2 и Дх будут отклонениями х от математического ожидания х).

Обычно доверительную вероятность Рд принимают равной 0,95. В особенно ответственных случаях принимают Рд равной

Если задано значение Рд, то из (12.16) по таблице функции Ф можно найти интервал для погрешности Дь в который попадают все измерения с вероятностью Рд, но при этом должно быть известно среднеквадратическое отклонение для нормального закона распределения, которому подчиняется данная совокупность измерений.

Для уменьшения интервала случайных погрешностей по (12.8) вычисляют среднее значение х из п измерений. Сред­ неквадратическое отклонение для среднего вычисляется по (12.10). Тогда доверительный интервал для среднего вычисля­

функции Ф (/р— функция, обратная Ф); а с = а /Л/й .

175

На основании экспериментальных данных из п измерений по (12.9) определяется s, которая является лишь приближенной оценкой а. В этом случае коэффициент /(Рд, п) является функцией Рд и числа измерений п и выбирается по таблицам статистики Стьюдента (см. табл. П1 приложения 1). При увеличении п этот коэффициент стремится к значению, опре­ деляемому по интегралу вероятностей Ф.

При увеличении числа измерений вероятность распределения случайной величины хср стремится к нормальному закону распределения. Если л = 5-И 0 или более, то для л*ср пред­ полагается нормальный закон распределения. Методы проверки этой гипотезы показаны ниже.

В практике измерений встречаются и другие законы рас­ пределения, которые оговариваются в ГОСТ 8.011—72.

Для равномерного распределения функция плотности веро­

При этом плотность вероятности р(х) постоянна в интервале между х х и х2 и равна нулю за пределами этого интервала. Примерами случайной погрешности, имеющей равномерное распределение, является погрешность отсчета по шкале прибора и погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах. Обычно равномерное распределение в пределах допускаемых границ принимают для погрешности измерительного прибора. Иногда равномерное распределение принимают в тех случаях, когда закон рас­ пределения неизвестен.

Соотношение (12.19) использовано в ГОСТ 8.207—76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов измерений» для учета неисключенных систематичес­ ких погрешностей.

Полагая, например, Д равным За, получим, что Рд превыша­ ет 0,9. Неравенство (12.20) дает грубую оценку величины Рд снизу. Например, как уже отмечалось, для нормального закона распределения при Д= 3а значение Рд составляет 0,997.

176

кривыми 1 и 2. Поэтому для приближенной оценки коэф­ фициента tp можно использовать среднюю кривую 3.

При косвенных измерениях необходимое значение у вычис­ ляют по результатам непосредственных измерений х и х 2, ..., хп:

xh получаемой методом непосредственного наблюдения; pki— оценка коэффициента корреляции между случайными погреш­

где xktCp и xr/>cp— средние значения из п проведенных измерений.

для сильнокоррелированных зависимостей принимается р = ± 1 , а для слабокоррелированных р = 0.

Зависимые погрешности обычно обусловлены одной общей причиной. Например, если в измерительном устройстве имеется ряд измерительных усилителей, которые питаются от общего источника питания, то при уменьшении напряжения питания коэффициенты усиления всех усилителей будут падать. Воз­ никающие при этом погрешности отдельных усилителей будут сильнокоррелированными (р= +1).

Если Ptt=pkj=±l, то два слагаемых для к и / под корнем

Из этого следует, что сильнокоррелированные частные погрешности необходимо сначала сложить алгебраически, а за­ тем уже сумму включить в общую формулу для оценки s.

Если принимать для слабокоррелированных погрешностей р = 0, то из (12.22) следует

178

Закон распределения оценки я, вычисленной по (12.23), является композицией законов распределения измерений от­ дельных величин X в формуле (12.21). Эта композиция зависит также от соотношения величин слагаемых частных погреш­ ностей в (12.23). Если слагаемых больше, чем четыре-пять, то закон распределения погрешностей у близок к нормальному и коэффициент определяется для нормального закона рас­ пределения. В общем случае приближенную оценку tp можно произвести по рис. 12.2. Для более точных вычислений необ­ ходим обширный статистический анализ.

Ранее, в § 12.1, было показано, что систематическая погреш­

стематической погрешности этот интервал составит tp1>/сг2(.т)+ + ст2(Дс). Следовательно, поправку целесообразно вводить, если

где а(х )— среднеквадратическое отклонение измеряемой вели­ чины JC; сх(Дс)— среднеквадратическое отклонение систематичес­ кой погрешности Дс. Коэффициенты tp и tpl выбираются при одинаковой доверительной вероятности в соответствии с за­ конами распределения величин х и (л*—Дс).

Следовательно, вводить поправку на систематическую по­ грешность не всегда целесообразно.

Для обнаружения, оценки и исключения систематических погрешностей требуется тщательное изучение конкретных при­ меняемых методов, средств и условий измерения.

Систематическая погрешность может быть определена путем применения более точного метода и средств измерений и будет равна Ас=л:Ср—хТ, где хт— результат точного измерения.

Оценку систематической погрешности можно произвести расчетным путем. Например, если измеряют вольтметром

171)

напряжение между двумя точками в электрической цепи, то влияние входного сопротивления вольтметра на напряжение при подключении вольтметра можно учесть расчетным путем. Разность напряжений без вольтметра и с вольтметром будет систематической погрешностью.

После анализа методов измерений, возможного влияния различных внешних факторов можно исключить систематичес­ кие погрешности либо техническим совершенствованием уста­ новки, либо применением специальных приемов измерения.

Систематическую погрешность можно определить, если в качестве измеряемого значения использовать точную меру, например, если с помощью моста измерить емкость эталонного конденсатора. Тогда разность измеряемого значения и значения меры будет равна систематической погрешности.

После исключения ряда систематических погрешностей и по­ лучения исправленного значения х остаются неисключенные систематические погрешности, которые по ряду причин рас­ сматриваются как случайные величины, подчиняющиеся своим законам распределения и имеющие свои границы интервалов. Если известны границы систематической погрешности и нет оснований для конкретной оценки закона распределения, то обычно принимается равномерное распределение, для которого используется формула (12.19).

Оценки среднеквадратического отклонения случайных по­ грешностей должны быть учтены в качестве слагаемых в фор­ муле (12.22). Если производятся прямые измерения (jp= JC), то в этой формуле одно слагаемое будет учитывать случайные погрешности, а другие— систематические.

Рекомендации для определения границ суммарной погреш­ ности даются в ГОСТ 8.207—76.

Если известны только границы отдельных неисключенных систематических погрешностей 0 £, а распределение предполага­ ется равномерным, то границы неисключенной систематической погрешности при т>4 рекомендуется вычислять по формуле

i

При доверительных вероятностях 0,9; 0,95; 0,99 коэффициент к соответственно равен 0,95; 1,1; 1,4. При 4 используется спе­ циальный график, рекомендуемый соответствующим стандартом.

Далее все операции производятся с исправленными величинами измерений х, (введена поправка на систематическую погрешность). Грубые погрешности должны быть исключены (ГОСТ 11002— 73).

Величины х ср и s вычисляют по (12.8) и (12.9). Доверитель­ ный интервал определяется по (12.24) и коэффициенту tp ста­ тистики Стьюдента.

180